基于三种时间序列模型的矿井涌水量预测

刘晓丹，潘国营

(河南理工大学 资源环境学院，河南 焦作 454000)

矿井涌水量是煤炭开采过程中的一个重要技术指标[1]，与煤矿采掘方案和排水能力设计有直接的关系，因此对其进行准确的预测具有重要意义。国内外常用的矿井涌水量预测方法有很多，如解析法[2]、均衡法[3]、数值法[4]、水文地质比拟法[5]、相关分析法[6]、灰色理论[7]、神经网络[8]等方法。但因矿井涌水量受矿区气候、水文特征、地形地貌、地层岩性及断裂构造等多种因素的影响[9]，水文地质参数确定较为复杂，因此有学者开始应用时间序列分析来预测矿井涌水量。在使用该方法预测时,开采煤层应为同一煤层，且含水层富水性变化均一，无大的构造等。曲兴玥等[10]运用乘法分解模型对青龙煤矿月最大涌水量进行了预测；贾伦[11]建立了ARIMA(1,1,1)模型，对陕西某矿的涌水量进行了预测，模型拟合趋势与实际趋势基本一致；王猛等[12]建立了SARIMA(2,1,1)×(1,1,1)12模型，对矿井涌水量进行预测，预测结果与实测结果最大误差为3.43%，预测效果较好。

鹤壁八矿位于河南省北部的鹤壁—安阳太行山山前地带，开采二叠系山西组二1煤，矿区煤层形态整体为一向东倾伏的单斜构造。对矿井有充水作用的含水层有奥陶系灰岩岩溶水含水层，太原组二层、八层灰岩岩溶水含水层，二1煤顶底板砂岩裂隙水含水层，新近系砾岩孔隙水含水层。其中新近系砾岩孔隙水含水层直接覆盖于矿区煤系地层之上，裂隙及孔洞发育，富水性强，接受大气降水和地表水补给，涌水量大，对矿区开采有重要充水作用。笔者根据鹤壁八矿2009—2019年的月度涌水量数据，分别建立X12季节调整模型、ARIMA模型和SARIMA模型，比较3种模型预测结果的误差，以探讨鹤壁八矿矿井涌水量预测的最优模型，为煤矿安全生产提供理论依据。模型计算已嵌入Eviews9.0软件中，简化了繁琐的计算过程，易于操作。

1 资料与方法

1.1 资料来源

选取鹤壁八矿2009—2019年的月度涌水量数据，涌水量序列如图1所示。

图1 鹤壁八矿2009—2019年涌水量序列图

从图1可以看出，涌水量序列存在季节性波动，在一年之中呈现先增加再减少的趋势，在 7—10月出现峰值。2009年涌水量的波动变化较大，且观察期内的最大值和最小值均出现在2009年，最大值为475 m3/h，最小值为273 m3/h。在2017—2019年中，涌水量变化趋于平缓，波动较小。用2009—2018年的月度涌水量数据建立时间序列模型，将2019年1—12月的数据作为对比数据，检验预测效果。

1.2 研究方法

1.2.1 X12季节调整模型

X12季节调整模型是美国商务部人口普查局提出的季节调整方法，是对X11模型的优化和补充[13]。该模型将原始时间序列分解为趋势循环要素、季节要素和随机要素3个部分，各要素之间的关系模型包括加法模型、乘法模型、伪加法模型和对数加法模型等[14]。

1.2.2 ARIMA及其衍生SARIMA模型

ARIMA模型全称为差分自回归移动平均模型，即ARIMA(p,d,q)[15]，其中p、q分别为自回归和移动平均阶数，d为差分次数。ARIMA模型是在ARMA模型(自回归移动平均模型)上发展而来的，由于ARMA模型只适用于平稳序列，对于非平稳序列，应先进行差分处理使其变为平稳序列，再进行建模，即ARIMA模型，故ARMA模型是ARIMA模型的一个特例。对于平稳化处理后的序列，其模型结构如下：

Xt=c+φ1Xt-1+φ2Xt-2+…+φpXt-p+et-θ1et-1-

θ2et-2-…-θqet-q

(1)

式中：Xt为平稳化处理的时间序列；c为常数；φp、θq分别为自回归和移动平均系数；et为白噪声序列。

SARIMA模型全称为季节性自回归移动平均模型，即SARIMA(p,d,q)×(P,D,Q)S,其中P、Q分别为季节自回归和移动平均阶数，D为季节差分次数，S为季节周期。模型结构如下[16]：

(2)

模型建立过程：

1)建立ARIMA和SARIMA模型，首先需要对原始序列进行平稳性检验，可采用普通差分或者季节差分进行平稳化处理。

2)通过观察平稳化处理后序列的自相关和偏自相关图，根据其截尾与拖尾性质确定模型的大致阶数p和q[17]。利用赤池信息准则、施瓦茨准则来确定最优阶数。

3)对未知参数进行估计，验证各参数t统计量是否通过检验。

4)采用对残差序列白噪声检验的方法对模型进行误差检验。

5)使用建立好的模型对未来数据进行预测和评价。

1.2.3 模型评价指标

通过平均绝对误差、均方根误差、平均绝对百分比误差来评价模型拟合效果，3个量值越小，说明拟合效果越好。

2 实例应用分析

2.1 X12季节调整模型

使用Eviews9.0软件中的Seasonal Adjustment模块对矿井涌水量序列进行分解，分解结果如图2所示。

图2 矿井涌水量序列分解结果图

从图2可以看出，趋势循环要素显示在2009年和2014年涌水量有明显的峰值，2015年之后涌水量基本保持稳定，无明显的增加或减少趋势。对于趋势循环要素，使用GM(1，1)模型，此种模型预测方法的相关文献很多[18]，在此不再作阐述。

由季节要素可以发现涌水量的季节性规律十分明显，每年的季节性低点出现在2月至4月，季节性高点出现在7月至10月。按“近大远小”的原则对历史季节因子要素同期值赋予一定的权值并求和[19]，将其值作为当月涌水量的季节因子，即：

XSi,j=αXSi-1,j+α(α-1)XSi-2,j+…+

α(α-1)n-1XSi-n,j

(3)

式中：XSi,j为第i年第j月的涌水量季节因子；α为加权系数，当季节要素波动不大时，α为0.1～0.5，若有迅速且明显的变动趋向，α为0.6～0.8[20]，α取0.4。

根据随机要素序列可以发现随机要素没有明显的上升或下降趋势，围绕着1.0上下波动，且无规律性。采用对历史同期值取平均值的方法来求随机分量，即：

(4)

式中XIi,j为第i年第j月的涌水量随机分量。

将计算出的趋势循环要素的预测值、季节要素预测值、随机要素预测值列于表1中；根据X12季节调整乘法模型，可以计算得到模型的涌水量预测值，结果如表1所示。

表1 各要素及其涌水量预测值

2.2 ARIMA及其衍生SARIMA模型的建立

2.2.1 ARIMA建模

观察2009—2018年矿井月度涌水量数据，发现该时间序列基本平稳。进行ADF单位根检验，t检验统计量值为-4.027 8，小于Eviews9.0给出的1%水平的临界值；概率P为0.18%，小于5%，检验结果表明序列已平稳。将序列进行自相关和偏自相关检验，检验结果如图3所示。

图3 原序列自相关和偏自相关图

从图3可以看出，概率P均远小于5%，说明序列具有相关性，可以建立模型。自相关系数(AC)和偏自相关系数(PAC)都呈现出拖尾现象，故应选择ARIMA模型。为了确定最优的模型参数，p、q从0逐步迭代，利用赤池信息准则、施瓦茨准则来进行准确定阶。当模型为ARIMA(2,0,2)时，赤池信息准则的值最小；当模型为ARIMA(2,0,1)时，施瓦茨准则的值最小。

对ARIMA(2,0,2)和ARIMA(2,0,1)模型进行参数估计，结果如表2所示。

表2 模型参数估计结果

从表2可以看出，当模型为ARIMA(2,0,2)时，θ2系数概率为17.37%，超过允许概率5%，故该模型不符合条件要求。而ARIMA(2,0,1)模型的系数均符合概率要求，故选择ARIMA(2,0,1)模型进行预测研究，模型的表达式如下：

Xt=392.939 5+1.591 4Xt-1-0.764 1Xt-2+et+

0.665 7et-1

(5)

对ARIMA(2,0,1)模型进行误差检验，残差序列的自相关和偏自相关分析如图4所示。

图4 ARIMA(2,0,1)模型残差的自相关和偏自相关图

从图4可以看出，残差序列自相关系数(AC)全部落入2倍标准差范围以内，且P值都大于5%，即各序列值之间相互独立，无相关性。说明该残差序列是白噪声序列，模型符合要求，可以用来预测矿井涌水量。使用ARIMA(2,0,1)模型对2019年矿井涌水量进行预测，预测结果如表3所示。

表3 ARIMA(2,0,1)模型2019年矿井涌水量预测结果

2.2.2 SARIMA建模

观察矿井月度涌水量数据，可以发现序列具有明显的季节性波动，涌水量序列自相关系数呈明显的正弦波动轨迹，也验证了该序列具有以年为单位的季节波动。对涌水量数据进行12步季节差分以消除季节周期性，差分后序列在0附近波动，初步认为差分运算后的序列平稳。进行ADF单位根检验，t检验统计量值为-4.164 4，小于Eviews9.0给出的1%水平的临界值，且概率P为0.11%，小于5%，检验结果表明差分后的序列已平稳。之后建模步骤与ARIMA模型相同，最后确定模型为SARIMA(2,0,1)×(0,1,1)12。对SARIMA模型进行诊断检验，残差序列是白噪声序列，模型提取比较充分，该模型可以用来预测矿井涌水量。预测模型的表达式如下：

(6)

使用SARIMA(2,0,1)×(0,1,1)12模型对2019年矿井涌水量进行预测，预测结果如表4所示。

表4 SARIMA(2,0,1)×(0,1,1)12模型2019年矿井涌水量预测结果

3 预测结果对比与分析

采用X12季节调整模型、ARIMA(2,0,1)模型、SARIMA(2,0,1)×(0,1,1)12模型对鹤壁八矿2019年涌水量进行拟合，用于比较模型在涌水量预测中的准确性。3种模型均通过了模型检验，均可用于涌水量的外推预测。3种模型的平均绝对误差、均方根误差、平均绝对百分比误差如表5 所示。

表5 矿井涌水量预测评价结果

从表5可以看出，3种模型的平均绝对百分比误差均小于10%，说明模型的预测精度较高。在3种评价指标中，ARIMA(2,0,1)模型的值均要小于其他2种模型，说明该模型预测精度要优于其他2种模型，SARIMA(2,0,1)×(0,1,1)12模型次之，X12季节调整模型略差。

X12季节调整模型可以有效地预测矿井涌水量。尽管矿井涌水量受诸多因素影响，但X12季节调整模型可通过分析序列本身变化特征，将其分解为趋势循环要素、季节要素、随机要素，从不同方面描述序列的变化情况。由于各要素存在不同的组合方式，在应用该模型时要选择合适的要素组合方式，同时对各个要素预测时要选择合适的预测方式，否则会导致预测结果误差偏大。

ARIMA及其衍生SARIMA模型建立过程需要注意，当序列非平稳时，需要进行平稳化处理，对差分阶数、差分步数的选择尤为重要。当差分阶数、差分步数较大时不仅会增加模型复杂度，而且会导致过度差分，损失一定的数据信息，导致预测结果的误差偏大。在模型定阶过程中，通过序列自相关和偏自相关图确定模型阶数往往存在主观性，可以根据赤池信息准则、施瓦茨准则等确定最优模型阶数，可减小模型预测中的误差。在ARIMA建模时应注意，要求原始时间序列至少需要50个或 7～8个周期的数据，且ARIMA模型建成之后并不是一劳永逸的，还应及时对数据进行更新，调整模型参数以确保预测精度。

4 结论

1)基于鹤壁八矿矿井涌水量数据，运用时间序列分析软件EViews9.0建立了合适的X12季节调整、ARIMA(2,0,1)、SARIMA(2,0,1)×(0,1,1)12模型。3种模型对原始序列的拟合效果整体较好，可用于矿井涌水量的预测，并可为矿井涌水量预报和水害防治工作提供依据。

2)将3种模型预测值与实际数据进行了对比分析,从平均绝对误差、均方根误差、平均绝对百分比误差方面来评价预测结果，ARIMA(2,0,1)模型最优，SARIMA(2,0,1)×(0,1,1)12模型次之，X12季节调整模型略差。但X12季节调整模型可以预测出序列的趋势循环要素、季节要素、随机要素，其具有独特的优势。

3)X12季节调整模型在应用的过程中应注意模型的选择,以及对各要素的预测。SARIMA模型在应用过程中应注意差分阶数、差分步数的选择，可采用最小信息准则来确定模型阶数以提高预测精度，减小模型误差。

4)运用时间序列分析软件Eviews9.0可较快实现涌水量时间序列的建模，并快速预测矿井涌水量，为矿井生产提供理论依据，应用潜力较大。