弹道目标跟踪滤波方法研究*

孙照强，魏巍，王志贵，陈燕

（1. 北京无线电测量研究所，北京 100854；2. 中国卫星导航系统管理办公室，北京 100053）

0 引言

弹道导弹是现代高技术战争中的重要作战武器，具有射程远、威力大、机动强、精度高等优良的战术性能，在现代战争中占有极其重要的位置。正因为如此，弹道导弹的防御正逐渐成为各国关注的焦点。为了实现对弹道导弹的成功拦截，地面探测雷达的跟踪精度是至关重要的。因此，弹道目标跟踪滤波方法的选择和设计就成了重中之重。

弹道导弹从发射到落地的整个飞行过程可分为3 个阶段：主动段、自由段和再入段［1-2］。在各个运动阶段弹道导弹受到的作用力不同，其动力学特性具有显著的差异性［3］。在实际应用中，弹道导弹跟踪系统都是非线性的，一般采用对于非线性系统具有良好跟踪性能的滤波算法，其中最具代表性的有扩展卡尔曼滤波（extended Kalman filter，EKF）［4-5］、无敏卡尔曼滤波（unscented Kalman filter，UKF）［6-8］和粒子滤波（particle filter，PF）［9-10］。其中，PF 相比于EKF和UKF 不受高斯噪声的假设，并且对任意状态模型均有较好的适应性，但是PF 需要已知状态向量的后验概率密度，因此在实际应用中，对于弹道导弹的跟踪最常用的还是EKF 和UKF 算法。然而，由于这2种滤波方法所采用的线性化手段不同，导致其滤波精度、计算量、收敛时间等不尽相同，在实际应用中需要针对具体的跟踪场景进行综合考虑。

针对以上问题，本文从现有的几种弹道导弹跟踪方法出发，分别对其应用关键点、优缺点进行了详细分析。通过仿真实验对比了几种滤波算法的跟踪精度，给出了不同滤波算法在实际应用中需要重点考虑的问题，为弹道导弹目标跟踪滤波方法的选择和设计提供参考和依据。

1 目标跟踪滤波方法综述

1.1 滤波坐标系的选择

当雷达处于跟踪状态时，雷达波束指向角会随着目标的运动而变化。为了唯一定量地描述目标的空间运动状态，需要以某一参照系为基准建立坐标系。对于相控阵雷达来说，目标量测的获取一般是先在阵面余弦坐标系下获得雷达测量误差，然后结合波束指向得到目标的距离、角度等信息。在滤波过程中所用到的量测值可以有以下几种选择：一是阵面余弦坐标系下的距离以及各方向余弦；二是雷达球坐标系下的径向距离R、方位角Az和俯仰角E；三是雷达大地直角（北天东）坐标系下的x，y，z，具体采用哪种量测值进行跟踪滤波，需要依据雷达类型以及跟踪环境进行选择。

1.2 线性滤波和非线性滤波

通常，滤波过程可分为线性滤波和非线性滤波2 种。判断是线性滤波还是非线性滤波取决于2 个方面：一是目标的观测方程，即雷达测量值与目标状态值之间的关系。在许多实际情况中，雷达测量值是在球坐标系下得到的，而目标的状态值是在直角坐标系下表示的，此时观测方程是目标状态变量的非线性函数，需要采用非线性滤波进行处理。二是目标的状态方程，或者叫运动方程。运动方程如果选择匀速模型、匀加速模型或者类似的能够将目标的状态转移矩阵与状态变量分离开来，这样的就是线性的运动方程，反之就是非线性的。

1.3 滤波方法分析

由于弹道导弹在不同飞行阶段所受作用力不同，其状态方程以及雷达观测数据与导弹运动状态参数之间的关系是非线性的，需要采用非线性滤波方法进行处理。在实际应用中，以选择目标量测值为雷达球坐标系下的径向距离R、方位角Az、俯仰角E，目标状态量为雷达大地直角（北天东）坐标系下的(x，y，z，ẋ，ẏ，ż)T为例。在弹道导弹目标跟踪中常用的非线性滤波方法包括EKF、转换测量卡尔曼滤波（conversion measurement Kalman filter，CMKF）［11］、基于弹道运动方程的扩展卡尔曼滤波（ballistic EKF，BEKF）［12］、基于弹道目标运动方程的无敏卡尔曼滤波（ballistic UKF，BUKF）4 种方法。篇幅所限，本文对上述4 种滤波方法的详细滤波过程不作介绍，而是重点对4 种方法的关键点、优缺点以及仿真条件进行分析。

为方便后续方法比较，首先给出非线性系统状态估计的一般描述。

非线性系统的状态方程可表示为

测量方程为

为此，系统的状态估计值可表示为

（1）EKF

为了解决弹道导弹跟踪滤波的非线性问题，通常处理方法是将非线性滤波问题转换为近似线性滤波问题，其中一种线性化方法是泰勒级数展开，由此得来的方法即是EKF 滤波。即对式（1），（2）中的非线性函数在̂(k|k)附近进行泰勒级数展开，并保留一阶项为

式中：fX(k)为状态方程的雅克比矩阵，可表示为

同理，可得到测量方程的雅克比矩阵。

由于在滤波过程中目标量测值为雷达大地球坐标系下的R，Az，E，目标运动方程为雷达大地直角坐标系下的匀加速模型。可见，此时只有测量方程为非线性函数。因此，只需利用泰勒级数展开求出量测方程的雅可比矩阵，然后利用卡尔曼滤波过程即可完成滤波。EKF 算法相对简单，计算量较小。

（2）CMKF

在上述EKF 滤波过程中，滤波器将状态预测转换到测量坐标系下，用测量信息来更新状态的均值和方差。在弹道导弹跟踪中，将非线性过程转换为线性化问题处理的另一种手段，是将目标的量测值转换到直角坐标系，这样导弹的状态方程与观测数据之间的关系就变为线性关系，就可利用线性滤波方法进行滤波处理，这种方法被称之为CMKF方法。

然而这种方法需要求出目标转换量测值和转换量测误差的协方差矩阵［13］。其中，求解转换量测误差的协方差矩阵相对复杂，计算量较大。同时，还需要估计出雷达量测值R，Az，E的方差。但是，估计R，Az，E的方差在实际应用中存在一定的困难和不确定性，应用起来受到一定限制，滤波效果不佳。

（3） BEKF

BEFK 与EKF 的差别是目标运动方程由匀加速模型变为雷达大地直角坐标系下的弹道目标运动方程，运动方程中考虑了目标引力、离心惯性力、葛氏惯性力和空气阻力的影响［14］。在实际应用中，需要求出量测方程和运动方程的雅可比矩阵，求解过程相对复杂，但是由于其采用了弹道目标的运动方程，对弹道目标的滤波精度比常规的EKF和CMKF都高。

（4）BUKF

为了进一步改善非线性问题对滤波的影响，UKF 方法在处理目标状态方程时采用无敏变换对状态方程的概率密度分布进行近似，用一系列采样点来逼近状态的后验概率密度，而不对非线性函数进行近似［15］。无敏变换基本原理如下：

假设随机变量x的维数为nx，非线性方程为y=h(x)，假设x的均值和协方差分别是和Px，利用无敏变换方法计算y的一、二阶矩的步骤如下：

计算2nx+ 1 个采样点xi，及其相应的权值wi

式 中：λ为尺度参数为矩阵(nx+λ)Px开方运算的第i行或第i列向量，可以利用Cho⁃lesky 分解进行计算。以上采样点集通过非线性方程得到y的采样点集为

状态y的均值和协方差以及y与x的互协方差，可近似通过后验采样点的加权值的均值和方差得到，即

由于UKF 算法没有线性化近似过程，未忽略高阶项，因此相比EKF 来说精度较高［16］。

将雷达在大地直角坐标系下的弹道目标运动方程作为状态方程推导而来的UKF 算法在本文中被称为BUKF。由于滤波过程中需要进行多次无敏变换，该算法计算量较大，正常情况下大约是BEKF的5~6 倍［17］，但是由于其采用了弹道目标的运动方程，同时不存在线性化近似，因此估计精度是4 种方法中最高的。

2 滤波算法的仿真与分析比较

2.1 仿真场景

雷达在球坐标系下对弹道导弹的观测误差充分考虑了雷达威力、目标RCS（radar cross-section）、热噪声、量化噪声等多项测量误差影响因素，且假设雷达距离、方位和俯仰量测噪声服从相互独立的零均值正态分布，其方差按照雷达方程实时计算得到。仿真的弹道目标其射程为2 500 km，在地面雷达看来其径向距离、方位角、俯仰角和全速度变化曲线分别如图1~4 所示，目标再入速度最大近4.5 km/s。

图1 目标距离随时间的变化关系Fig.1 Change of target range with time

图2 目标方位角随时间的变化关系Fig.2 Change of target azimuth with time

图3 目标仰角随时间的变化关系Fig.3 Change of target elevation with time

图4 目标全速度随时间的变化关系Fig.4 Change of target velocity with time

2.2 滤波仿真

基于2.1 节仿真场景给定的弹道目标运动及雷达测量误差的设定下，通过50 次蒙特卡罗求RMES平均值的方法，进行CMKF，EKF，BEKF 以及BUKF 4 种滤波器的性能比较。其中，基于弹道运动方程的BUFK 滤波方法采样点数为13，尺度参数设为0.1。4 种滤波器的滤波误差结果如图5~7 所示。

图5 距离的均方根误差曲线Fig.5 Range root-mean-square error

图6 方位角的均方根误差曲线Fig.6 Azimuth root-mean-square error

图7 俯仰角的均方根误差曲线Fig.7 Elevation root-mean-square error

为了特别验证质阻比参数对BEKF 和BUKF 在目标再入段精度的影响，进行了质阻比失配条件对滤波器精度影响的仿真，如图8~11 所示。

图8 质阻比对距离的影响Fig.8 Effect of mass-to-drag ratio on range

2.3 分析比较及结论

（1）滤波精度分析时

图9 质阻比对方位角的影响Fig.9 Effect of mass-to-drag ratio on azimuth

图10 质阻比对俯仰角的影响Fig.10 Effect of mass-to-drag ratio on elevation

图11 质阻比对全速度的影响Fig.11 Effect of mass-to-drag ratio on velocity

BEKF 和BUKF 都是基于弹道目标的运动模型进行的滤波，滤波精度都较高，比较而言BUKF 算法略优于BEKF，但是两者精度相差不大。然而，UKF计算量约为EKF 的5~6 倍（运动模型不一样还会有变化）。

CMKF 和EKF 都是采用匀加速模型，滤波精度一致。从使用角度来讲，EKF 与CMKF 相比运算量较小，鲁棒性更好一点。

（2）再入段跟踪性能

由于BEKF 和BUKF 运动方程中考虑了空气阻力的影响，同时将空气阻力的影响动态地反映在运动方程中，因此能够根据跟踪情况实时调整相关参数，跟踪性能优于基于CA 模型的EKF 和CMKF。

（3）质阻比参数的影响

在BEKF 和BUKF 中，质阻比参数对目标再入时跟踪精度也有影响。质阻比参数与真实质阻比相差越小，滤波精度越好。在实际应用中，根据情况可选择恰当的质阻比参数，以提升再入时滤波精度。

3 算法分析结果和体会

选择和设计目标跟踪滤波方法时，需要考虑几个问题：

（1）滤波精度

滤波精度是选择滤波算法考虑的首要指标，对弹道目标的滤波精度由高到低依次为BUKF，BEKF，EKF，CMKF。

（2）计算量

以目前的计算机水平，计算量应该不是大问题，计算量由大到小依次为：BUKF，BEKF，CMKF，EKF（后3 种计算量相差不明显）。

（3）算法收敛速度

算法收敛速度与滤波器初值、初始协方差矩阵、运动模型、算法本身等很多因素有关，可通过调整相应参数达到快速收敛的目的。

（4）算法对不同类型目标的适应能力，即鲁棒性

4 种 算 法 中，BUKF 和BEKF 采 用 弹 道 运 动 模型，对弹道目标的滤波精度较高，但是其对其他类型的目标滤波精度就会受到限制。在实际使用中，如果采用空气动力目标如飞机进行校飞，就不能真实反映其对弹道目标的滤波效果。EKF 和CMKF 采用匀加速模型，能够跟踪不同类型的目标，但是其对弹道目标的滤波效果就不如BUKF 和BEKF。综合而言，应该根据雷达的任务，在鲁棒性和滤波精度方面做出选择。

4 结束语

本文首先对弹道目标的跟踪滤波方法进行了综述，对4 种滤波算法的关键点、优缺点进行了剖析，利用仿真的弹道数据对4 种滤波方法进行了分析和验证。分析了滤波器的滤波精度和再入目标的跟踪性能，以及质阻比对滤波性能的影响，提高了算法的适应能力和滤波精度。最后给出选择和设计目标跟踪滤波方法时需要考虑的几个问题，为雷达滤波方法的选择和设计提供参考和依据，可指导工程应用。