计算错误找原因、解答粗心寻对策

⦿上海七宝中学 肖 岚

1 引言

教学中经常碰到这样的学生，思维敏捷，一点就通，但就是计算频错、粗心不断.本文中梳理了一些原因，不过高中数学题目综合性强，原因多种多样，互相影响，相互作用，恶性循环，此处不可能面面俱到，只求抛砖引玉.分析问题所在的同时，尝试更新和设计针对性练习，采取有效可行的方案，长期不断坚持下来，让学生们从中受益.教与学正是这样做而获其惑，惑而求其解，解而求其用，不亦乐乎？

2 错因分析

2.1 心理性问题

2.1.1 没有信心，裹足不前

不能洞见条件和结论的联系，没有目标，也不敢尝试.消极的心理暗示容易造成优柔寡断，墨守成规.

认定函数y=f(x)关于点(m,n)成中心对称的充要条件是对定义域中任意x，都有f(x)+f(2m-x)=2n.那么，不要犹豫!目标明确!没有退路！立马计算!

我们发现无论多少字母只要抓住关键点都能迎刃而解，此时教师辅以适当的鼓励，对学生心理产生积极暗示，长此以往，提升学生数学自我效能感.先在心理上突破，再在方法上突破.

2.1.2 计算内容缺少故事性，学习情绪没有起伏

教师可以根据学生认知规律设计有故事的组团式练习(变式练习、探究练习等)，让学生在解锁一个个问题时有过关斩将的情绪波动，从而更好地内化知识、优化运算.数学用数字编码世界，心理用人性编码世界.数学问题需要对编码储存、提取.当一个问题被各种角度编码时本质就会更完整地呈现、记忆会更加深刻，这样建立的知识结构更有高瞻远瞩性.高中数学为我们提供了很多这样的契机，下面举一例由三个问题构成的组团练习.

图1

|OA|2|OB|2=(|OA|2+|OB|2)r2.

问题一的定值放在直角三角形中就是斜边上高与直角边关系，于是有了问题二；定值的逆代求范围也是对不等式的灵活运用，于是有了问题三.学生发现它们的联系后思考的维度被打开了，对某些定值的复杂运算也不再抗拒了.计算有方法，问题有源头，解答有乐趣.这三个问题包括组合性、逆向性、结合性、同一性等变式设计.让学生对数学的学习有更深和更全面的认识和理解.当题目的外延增大时，计算会变得更有意义.

2.2 逻辑性问题

2.2.1 转化时疏忽等价性

分析：

4sinA+2cosB=1

①

②

由式①、式②平方和得：

学生因为没有意识到平方不一定是等价变形，很可能产生增根.错误地保留了2个答案.

另外，充分不必要条件会造成失根，必要不充分条件则易造成增根.

2.2.2 片面不严谨，审题不严密，挖掘信息不够全

例3设数列{an}的通项公式为an=pn+q(n∈N*，p>0).数列{bn}定义如下：对于正整数m，bm是使得不等式an≥m成立的所有n中的最小值.

(2)是否存在p和q，使bm=3m+2(m∈N*)？若存在，求p和q的取值范围；若不存在，请说明理由.

解：(1)略.

(2)仔细审题，条件一：n=3m+2满足an=pn+q≥m(n∈N*，p>0)，所以有p(3m+2)+q≥m.

条件二：n=3m+2是最小的满足an=pn+q≥m(n∈N*，p>0)的解，再小不行了，所以有p(3m+1)+q

三个条件缺一不可，而学生通常不能全部挖掘，自然就算不出答案.逻辑是思维品质的中心环节.清晰、严密、理性和严谨是数学最重要的特点之一.

2.3 知识性问题

以不等式为例，没有深刻理解不等式的性质：误认为分母为正；取倒数时想当然认为分母越大分数越小；移项时正负号混乱.

例4直线y=kx+1与双曲线x2-y2=1的左支分别交于A，B两点，

(1)求k的取值范围；

(2)直线l过点P(-2,0)及线段AB的中点，CD是y轴上一条线段，对任意的直线l都与线段CD无公共点，试问CD长得最大值是否存在.

(1-k2)x2-2kx-2=0

(取倒数时很多学生会不注意分正负情况，忽略不等式的性质做出错误答案.)

这类问题建议择机择时订正，建议分行写步骤，建议限时训练，建议整理错题本.

2.4 策略性问题

不同的策略计算量大不相同，寻找最佳策略、优化解题方法可以规避复杂的运算和人为陷阱.

策略1：沉溺于多字母代数处理剪不断理还乱.

图2

设AB中点为C(x，y)，在等边△OAB中可得：

2.5 概念性问题

例6空间四边形ABCD中，E,F分别是AC,BD的中点，AD=6,BC=8,且AD与BC成60°角，求线段EF的长.

很多同学没有深刻理解异面直线所成角的概念，只给了一种答案，漏了A′BCD这种情况(如图4).

图3

图4

3 总结

布鲁纳曾经说：“学生的错误都是有价值的.”运算错误和粗心大意不是独立存在的，是以上种种问题导致的多米诺效应，互相影响，很有可能导致数学焦虑，进而影响毅力、自我效能感，最终影响数学成绩.提高运算能力减少粗心发生实际上是一种综合能力的提高.教师层面上，应该更充分理解学生的认知心理、认知过程，确定学生自己的操作运输、知识存储、组织情境的方法，使学生能够积极地参与到情感沟通中，教师鼓励越多，学生收获越大，能力提高越快.学生层面上，应该优化记忆系统，提高感觉、知觉、视觉等观察品质，减少错觉，审题全面；注重新旧知识联系、正反两方面论证、总结归纳类比，逐渐丰富知识结构，促进数学学习的整体观念；多加练习、经常反思、深思熟虑，形成在解题中集中而稳定的注意力；增加学习的动机和自我要求，突破一些关于数学的消极和情绪化的信念，更多正面自我暗示.Z