图形旋转应用的一点看法

黄丽芳

摘 要：本文通过对点的旋转、线的旋转、面的旋转等图形旋转的应用的例题的分析，阐明了对图形旋转的应用的一点看法，针对学生遇到图形较复杂的题目往往束手无策的情况，通过把复杂的问题简单化，把综合性的难题分解成几个较简单的小问题，把这些小問题一个一个地解决，让学生能按照所提示的步骤一步一步地尝试着通过思考来解决问题，让学生能够通过自己动脑思考，找到解决这个问题的方法，从而达到训练学生独立自主学习、灵活学习、学以致用的目的。

关键词：旋转;旋转角;对应点

前言

九年级上册的图形的旋转是继图形的平移、对称之后的基本变换，现实生活中旋转的应用十分广泛，教学过程中重要的是传授给学生数学意识、数学思想和研究方法。因此本节课在教学中要力图让学生了解知识的形成和应用过程，让学生感知数学来源于生活又应用于生活。但是很多学生对类似这样的应用题心存畏惧，有的学生一看到相对比较复杂的题目、图形就想放弃，有的学生有心想去解题却又找不到有效的解题方法，有的学生虽然能解答，但是却耗时太长从而影响后面题目的解答，因此，能不能找到有效的解题方法是关键。

本论

图形旋转的应用题中，很多学生不能很好找到图形旋转时对应的点、线、面，从而不能很好的解决旋转的应用问题。下面就图形的旋转从几个方面谈谈对图形旋转的应用的一点看法：

一、点的旋转

例1： 如图所示，已知正方形ABCD中的△DCF可以经过旋转得到△ECB。

（1）图中哪一个点是旋转中心？

（2）按什么方向旋转了多少度？

（3）如果CF=3cm，求EF的长。

分析：找到不动的点即旋转中心、对应点，从而找出相等的量：旋转角相等、对应线段相等，如上题，依题意得，不变的点是点C，找到旋转中心为点C，旋转角∠DCB=∠FCE=90°，BC=DC，FC=EC，得到△FDC≌△EBC，EC=EF=3，在等腰直角三角形EFC中，EF= 。

例2：（2015湘潭）如图，将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED，若线段AB=3，则BE= 。

分析：找到不动的点A即旋转中心，旋转角∠EAB=∠DAC=60°，对应线段AB=AE，得到△BAE是等边三角形，BE=AB =3。

变形练习：（2010 江苏镇江）如图，在△ABC和△ADE中，点E在BC边上，∠BAC=∠DAE，∠B=∠D，AB=AD。

（1）求证：△ABC≌△ADE;

（2）如果∠AEC=75°，将△ADE绕着点A旋转一个锐角后与△ABC重合，求这个旋转角的大小。

小结：以上两题都是利用旋转找到对应边相等，构成特殊的等腰直角三角形或等边三角形来进行求解。

二、线的旋转

例3：在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E.

（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：①△ADC≌△CEB;②DE=AD+BE;

（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证：DE=AD-BE;

（3）当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE，AD，BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明。

分析：此题中∠ACB=90°，AC=BC是固定不变的量，直线MN才是旋转的量。

（1）中，∵∠ACB=90°

∴∠DCA+∠BCE=90°

∵AD⊥MN，BE⊥MN

∴∠ADC=∠CEB =90°

∴∠DCA+∠DAC =90°

∴∠BCE=∠DAC

∵AC=BC

∴△ADC≌△CEB

（2）中，∵∠ACB=90°

∴∠DCA+∠BCE=90°

∵AD⊥MN，BE⊥MN

∴∠ADC=∠CEB =90°

∴∠DCA+∠DAC =90°

∴∠BCE=∠DAC

∵AC=BC

∴△ADC≌△CEB

同理求解（3）。

小结：例3中三个小题的图形是不同的，但只要紧紧抓住∠ACB=90°，AC=BC这两个固定不变的量，三个小题的思路、求解过程是基本一样的，这是图形旋转中经常出现的异图同解。

三、面的旋转

例4：用两个全等的等边三角形△ABC和△ACD拼成菱形ABCD，把一个含60°角的三角尺与这个菱形叠合，使三角尺的60°角的顶点与点A重合，两边分别与AB、AC重合，将三角尺绕点A按逆时针方向旋转。

（一）当三角尺的两边分别与菱形的两边BC、CD相交于点E、F时（如图所示），通过观察或测量BE、CF的长度，你能得出什么结论？并证明你的结论;

（二）当三角尺的两边分别与菱形的两边BC、CD的延长线相交于点E、F时（如图所示），你在（1）中得到的结论还成立吗？说明理由。

分析：先找到题中给出的已知条件，AB=AC=BC=CD=AD， ∠ABC=∠ACD=∠BAC=60°，关键是不能漏了∠EAF=∠EAC

+∠CAF=60°。

（1）∵两个全等的等边三角形△ABC和△ACD

∴AB=AC， ∠ABC=∠ACD=∠BAC=60°

∵∠EAF=∠EAC+∠CAF=60°

∴∠BAE=∠CAF

∴△ABE≌△ACF

（2）∵两个全等的等边三角形△ABC和△ACD

∴AD=AC， ∠ACB=∠ADC=∠CAD=60°

∵∠EAF=∠EAD+∠DAF=60°

∴∠CAE=∠DAF

∵∠ACE=180°-∠ACB，∠ADF=180°-∠ADC

∴∠ACE=∠ADF

∴△ABE≌△ACF

小结：题目中已知不变的量是两个全等的等边三角形△ABC和△ACD，三角尺的60°角的顶点与点A重合，隐含的条件是∠EAF=60°，在三角形这个面在动时，对应的边对应的角都不变，得到需要的条件，求证两个三角形全等，从而得到对应边相等。

变形练习：如图，正方形ABCD的对角线相交于点H，点H是正方形EFGH的一个顶点。如果两个正方形的边长相等，且面积为1，那么正方形EFGH绕点H旋转，两个正方形重叠部分的面积等于多少？证明你的猜想。

结语

根据这几年对学生的观察和了解，发现学生不爱动脑筋的现象有越来越严重的趋势。如果想让学生不畏惧难题，能根据已学的知识灵活地解决所遇到的问题，首先要让学生了解所有的综合题都是有几个简单的知识点组成的，一般问题都是由浅到深，没有什么大不了的，只要按照几个基本的解题步骤很多题就能迎刃而解了：

首先要认真审题，把题目里给的已知条件一一找出来，然后通过已知得到想要求的量，了解出题人想要考什么，需要用到什么知识点，题目中有哪些是明显的已知条件，哪些是隐藏的已知条件，如果思考了一段时间仍然没有头绪，那么就回归原点，重新读题，以免漏了已知条件。

很多题目中需要用到如例1用到的两个角的和等于90度，或等角的余角相等、等角的补角相等等条件证明角相等。

图形旋转的题目中通常图形会相对比较复杂，学生不要急躁，耐心地找到不动的点（旋转中心）、对应点，从而找到对应角、对应边。

通常第一小题都比较简单，学生能较易求得，而后面的第二、三小题相对可能比较难，这个时候要求学生不要着急，后面没有头绪的时候，可以回头看看第一小题的解题方法，通常第一小题的结论是提示下面需要用到的知识点，或者是第二小题与第一小题的解题思路是基本一致的，只是个别条件略有不同而已。

总之，遇到旋转的应用的题目，不要畏惧，一切从已知出发，当你把题目读懂了，问题就解决了。