基于局部样本三轴磁传感器校准参数求解

庞学亮，江鹏飞，杨 慧

(武汉工程大学，湖北 武汉 430205)

0 引言

三轴磁传感器用于测量外部磁场的三分量，在地磁导航、航空磁探、空间磁场测量方面具有广泛的应用。在传感器设计生产中，由于工艺等原因，三轴很难做到完全正交，同时三轴也存在一定差异，接收器电路存在漂移、噪声，接收器铁芯存在剩磁，数据采集存在截断误差等，这就给测量带来两方面影响：1) 由于地磁场的存在，当传感器姿态发生变化时，在相对稳定的地磁场下，其标量输出不是一个稳定的值，会产生很大干扰信号；2) 由于三轴已经偏离了正交，致使按照理想情况进行计算的标量值也产生了偏差[1]，这就需要对三轴磁传感器进行校准。目前校准的思路是先建立三轴磁传感器信号输出模型，通过在稳定地磁场下测量的数据求解模型系数，然后再根据模型系数进行输出信号校准。三轴磁传感器校准的关键是校准模型精度和模型系数的求解，对于校准模型通常考虑三轴正交性、灵敏度一致性和剩磁三个因素，而模型系数求解的方法有很多种，比如文献[2]提出极大似然方法校准方法，文献[3]采用支持向量回归(support vector regression)方法进行校准，文献[4]提出非线性最小二乘法参数估计，文献[1]提出共轭梯度法进行系数求解，文献[5]提出模型系数自动搜索方法，文献[6]提出自适应系数求解法，本文作者之前也提出了基于遗传算法参数求解方法[7]。归纳起来这些方法对模型参数求解都是在样本空间分布比较均匀的情况下，具有很好的效果[8-10]，但是当求解的样本为局部样本时，其求解的精度大幅度下降。本文针对在局部样本下，三轴磁传感器校正椭球模型参数求解精度差的问题，提出基于局部样本三轴磁传感器校准参数求解方法。

1 三轴磁传感器校准椭球体模型

(1)

B0=K-1(B-b)。

(2)

当空间校准磁传感器时，B0的变化轨迹为一球面，其半径为常量，令L=K-1，可以得到

(3)

该式子展开可以整理成如下形式：

(4)

该方程为椭球体模型，对于泊松模型12个参数，L矩阵非对角元将按对称关系两两合并，模型的参数简化为9个；通过对测量的磁传感器数据进行椭球体拟合，采用最小二乘法就可求解出9个参数a1到a9，将式(3)展开，和式(4)对比，可以得到

(5)

式(5)中，k为椭球拟合过程求得的半径，为一常数因子；根据椭球拟合求得的a1到a9和k。根据式(5)，可以得到L矩阵和b，再利用B0=L(B-b)对三轴磁传感器进行校正。

2 局部样本下椭球体模型求解

三轴磁传感器的校准核心为椭球体模型参数的求解，在校准过程中，采集的磁场数据空间遍历性越好，其参数求解的精度越高，校准效果越好；但在实际应用过程中，受设备空间体积限制等，往往只能得到局部的一些数据样本，其拟合的结果往往不是椭球体，而变成二次抛物面，其偏差非常大，导致三轴磁传感器的校准失效。为了保证局部样本情况下，拟合的模型为椭球体，将式(4)写成

(6)

如果保证拟合的为一椭球体，拟合过程中需要增加约束条件，根据椭球方程的性质，当4J-I2>0，可以保证拟合的二次曲面为椭球面，这是拟合方程为椭球面的一个充分条件，这里我们取该条件为椭球拟合的约束条件[12]。

对于校准测量的磁场数据，令

满足4J-I2>0约束条件下式(6)最小二乘法参数求解等价为：

min‖DV‖24J-I2=1。

(7)

这里D=[X1,X2,…,Xn]，n为采样数据点数。令

4J-I2=1可以表示为VTCV=1，这样式(7)求解采用拉格朗日因子方法变为：

DDTV=λCV，

(8)

VTCV=1，

(9)

式(8)、式(9)的唯一解为正特征值所对应的特征向量；对于矩阵C，当行或列大于6时，元素都为零[13]，令

(10)

式(10)中，S11、S12、S22分别为6×6、6×4、4×4矩阵，V1、V2分别为6×1、4×1向量。式(10)可以写成

(S11-λC1)V1+S12V2=0，

(11)

(12)

可以求得

(13)

将式(13)代入式(11)得

(14)

(15)

3 数值仿真

表1 参数假设值Tab.1 Hypothetical parameters

仿真样本分别选取全椭球面、半椭球面、1/3椭球面，如图1—图3所示。根据文献[12]分析，当样本取椭球体顶端端面，其最容易拟合成非椭球二次曲面，为了算法性能，这里选取的方法为顶端椭球面。

图1 全椭球面图Fig.1 Total ellipsoid

图2 半椭球面Fig.2 Half ellipsoid

图3 1/3椭球面Fig.3 1/3 ellipsoid

通过数值仿真，当选取全球面和半球面时，进行20次仿真计算，两种方法均可以准确求解参数，且具有较高的求解精度；当样本选取1/3椭球面时，进行20次仿真，传统最小二乘法出现3次误差异常大情况，计算4J-I2值，发现其尽管还为正值，但已经非常接近零值；而采用带约束最小二乘，尽管其精度下降，但不会出现误差异常大情况，4J-I2值都大于3.1；这说明带约束最小二乘在局部小样本情况下，求解椭球体模型参数的有效性。表2列出了其中一次参数求解结果。

表2 参数求解结果Tab.2 Parameter solution results

4 实测数据

三轴磁传感器校准选取的样本空间遍历性越好，校准效果越好，但为了简化校准程序，也不能选取过多的样本。一般在整个椭球面选取遍历性好的有代表性的20个左右样本点，结合工程实际，选取的方法为X、Y和Z平面各每间隔90°取4个点，X平面倾斜60°下，在Y和Z平面间隔90°各再取4个点，总共20个点。该选取方法经过验证可以保证求解精度，如图4所示。为了验证局部样本下，提出方法的有效性，选取水平样本12点，倾斜30°情况下样本12点，如图5所示。该选取方法便于实际设备校准取样，需要设备俯仰的角度又不大，属于局部样本情况，相对于仿真取的1/3椭球面，更满足实际需求。分别采用传统二乘和带约束最小二乘方法进行椭球体模型参数求解，结果如表3所示。

图4 20点全空间样本Fig.4 20 Point sample

图5 24点局部样本Fig.5 24 Point sample

表3 不同样本下参数求解结果

通过实测数据对椭球体模型参数进行求解，当样本为全空间情况，两种方法均可准确求解出模型参数；但当采用局部样本是最小二乘法求解的参数误差非常大，而带约束最小二乘仍然可以准确求解出椭球体参数，说明了该方法的有效性。

5 结论

本文提出基于局部样本三轴磁传感器校准参数求解方法。该方法能准确求解局部样本下椭球体参数，当参数求解的样本为整个椭球面取样时，最小二乘方法可以准确求解出参数。在实际应用中，会存在只有局部样本取样情况，这时最小二乘法参数求解精度就会很差，可能拟合的是抛物线方程，为此利用带约束的最小二乘法，以保证求解的方程为椭球体方程。数值仿真和实测数据计算结果表明，该方法验证了在局部样本情况下椭球体参数求解的有效性。该方法不仅适用最小二乘，还可以推广到椭球体模型参数求解的其他方法,例如神经网络、遗传算法等最优参数估计的方法，通过增加约束条件，理论上可以保证在局部样本情况下，参数估计还具有较高的精度。