一种基于Lamb波的结构损伤检测波形选择方法

(1.中国飞行试验研究院测试技术研究所，陕西 西安 710089；2.中国飞行试验研究院飞机飞行试验技术研究所，陕西 西安 710089)

0 引言

近几十年来，随着航空航天领域的快速发展，复杂工程结构内部的应力变得越来越高，加之使用环境也越来越恶劣，结构中的微小损伤有可能会导致结构损伤失效事故层。因此对于这些结构需要进行实时在线监控。

由于Lamb波具有传播距离远、对结构微小损伤敏感等特点，基于Lamb波的主动监测技术被认为是有效的结构损伤检测方法，并成为了国际研究热点之一[1]。在基于Lamb波的结构健康监测中，通过对损伤散射信号的处理分析，能够实现对结构损伤的监测与评估[2]。Lamb波在结构中传播时具有无方向性、频散及多模式等特点，这就为损伤特征的提取增加了很多困难。同时，目前结构健康监测技术发射的波形固定，检测环境发生改变时，仅依靠对结果信息的分析难以达到理想的检测效果。因此激励信号波形选择在提升结构的损伤检测效率方面有着重要的研究意义。

1 Lamb波激励信号

基于Lamb波的主动结构健康监测方法中，通常采用宽带激励或窄带激励的方式激发出被测结构中的Lamb波。本文的研究工作使用窄带Lamb波信号，因此下文中将对窄带激励进行阐述。

通常情况下，选择调制正弦信号作为Lamb波窄带激励信号，其表达式[3]如下：

sin2πfct

(1)

式中，n为信号波峰个数；fc为信号中心频率；A为信号的幅度调制；H为Heaviside阶梯函数。

图1为中心频率为300 kHz的五周期正弦调制信号的时域波形及其傅里叶变换后的频域波形。

图1 五周期激励信号及其傅里叶变换

根据Lamb波频散特性，由于部分模态具有截止频率，为了减少激发的模态数量，避免多模态的混叠，因此需要选择合适的激励信号中心频率，以确保被测结构中的Lamb波只存在S0与A0两种模式。激励信号的周期数一般在3.5～13.5之间较为合适[4]。

由于Lamb波的自身特点会造成其传播过程较为复杂，因此通过数值计算的方法模拟Lamb波激励信号传播一段时间后的波形变得十分有意义，本节将对此展开介绍。

设激励信号为F(t)，激励信号传播一段距离后的信号为u(x，t)，其中，x为传播距离，t为传播时间。激励信号在t=0时刻作用于坐标系上x=0的位置，二者之间的关系可由以下初始条件确定：

u(x，0)=0

(2)

u(0，t)=F(t)

(3)

由文献[5]可推导出结构内任意一点的信号为：

(4)

式中，k(ω)为角频率为ω时的波数；F(ω)是f(t)的傅里叶变换信号。

当激励信号遇到类似于边界或损伤的反射源时，反射后的信号为g(t)，信号接收点接收到的第j个反射源的反射信号为gj(t)，设激励点到反射源的距离为dj，反射源到接收点的距离为xj，反射系数为Aj(ω)，则gj(t)可表示为：

(5)

在MATLAB里进行编程模拟激励信号传播一段时间后的波形，以中心频率为300 kHz的五周期正弦调制信号为激励信号，模拟激励信号传播一段距离(10.7 cm)，波形如图2所示，现只讨论其中S0直达波的波达时间。

从图3可以看出，该算法所得数值模拟得到的直达波波形与在ANSYS中进行仿真模拟得到的直达波波形，除个别峰值外，每个周期峰值的波达时间基本吻合，可认为该算法在一定条件下，可准确模拟激励信号在频散情况下的传播。这为后续的波形选择算法奠定了基础。

图2 模拟传播一段距离后的波形

图3 数值解与仿真模拟S0模式对比

2 波形选择

无论是在雷达领域还是在结构健康监测系统，环境噪声的干扰一直是重要的影响因素，为了排除噪声干扰，提高对目标的测量精度，近年来雷达领域兴起了对认知雷达的研究，而结构健康监测也引入众多的滤波方法。同时，结构健康监测系统本身与雷达系统具有相似的特点，所以可以在结构健康监测领域中引入雷达系统中的先进方法。

本节旨在给出一种提高静态目标检测精度的方法，将新兴的认知雷达跟踪动态目标[6]转化为结构损伤检测的静态目标。首先从信号的回波模型出发，由信号估计理论推导测量噪声协方差的卡拉美罗下界(Cramer-Rao Low Bound，CRLB)，得出波形参数对其影响与意义，然后在Kalman滤波的基础上增加波形选择，选择合适波形使滤波协方差最小，从而提高对目标状态的检测精度。

2.1 信号参量估计

2.1.1 回波信号模型

Lamb波在板结构中传播形式较为复杂，为了降低计算量，本节提出激励信号传播一段距离后波形的简化计算模型。激发出的Lamb波信号f(t)，所激发的场量用u(x，t)表示，其中t与x分别为激励信号传播时间与传播距离，激励器处可表示为：

u(x，t)=f(t)

(6)

板中任意一点处：

(7)

根据图3数值解与仿真模拟S0模式对比，MATLAB仿真得出的传播一段距离后的S0波形与ANSYS仿真情况下得出的S0波形相似度极高，即MATLAB仿真波形与及ANSYS仿真波形的频散特性基本相同。这里我们使用MATLAB数值模拟传播一段距离后的S0波形，并与激励信号作对比。图4为传播0.27 cm的S0波形与激励信号的对比。

图4 MATLAB数值模拟的S0波形与激励信号的对比

同时，使用ANSYS有限元软件仿真模拟激励信号传播一段距离后的S0波形与激励信号对比如图5所示。

图6显示的是在损伤长度为4 cm裂缝的条件下，激励信号与ANSYS仿真模拟的损伤散射信号进

图5 ANSYS仿真模拟S0波形与激励信号的对比

行的对比。在对幅值进行归一化处理后，能够看出损伤散射信号与激励信号的波形较为相似。

图6 ANSYS仿真模拟S0波形与激励信号的对比

通过图5、图6对比可以得出，在小频散的情况下，传播一段距离后S0模式波形和损伤散射波与激励信号的波形十分相似。这里提出一个简化的计算模型，接下来在本文的研究中我们使用式(8)代替式(7)。

(8)

其中，θ1表示损伤或者边界反射后幅值的衰减程度，θ2为反射信号的时延。

2.1.2 无偏估计量的CRLB

在信号处理中，我们通常要根据观测信号来估计信号的某些特征参量，这就需要用到信号参量估计的相关知识。在结构的损伤检测中，本文将着重研究信号的振幅、时延的联合估计，即多参量估计。本文采用的是最大似然估计，最大似然估计对于解决复杂估计问题具有较好的性能。

在本文中，对接收到的信号进行观测时，我们只研究信号的幅值及时延，故设观测矢量x=[x1x2]T，由于噪声的干扰造成的观测结果不准确，待估计参量设为θ=[θ1θ2]T，则以θ为参量的概率密度函数为f(x|θ)。在已观测到的观测值x=x1的条件下，似然函数f(x=x1|θ1)反映了θ1取各个值的可能性大小。估计问题其本质是根据观测值确定未知量，换言之，根据已知观测值x=x1来估计未知量θ1的值。

(9)

若似然函数是可导函数，那么最大似然估计的必要条件为：

(10)

我们假定真实信号为s(t，θ)，s(t，θ)是关于t的连续函数，θ=[θ1，θ2，…，θM]T，包含M个未知参量，θi可以是信号的频率、时延、幅度等。在一段观测时间[0，T]内，观测到的混入噪声的信号为：

x(t)=s(t，θ)+n(t)，0≤t≤T

(11)

式中，n(t)是功率谱密度为N0/2的高斯白噪声。

在得到一个估计量后，为了衡量其性能是否达到最佳，且使参量估计为有效估计，我们引入克拉美罗下界[7]来揭示无偏估计量的估计误差的最小值。

假定概率密度f(x|θ)满足正则条件：

(12)

(13)

式中，

(14)

(15)

I-1(θ)即为无偏估计量的CRLB，其倒数I(θ)称之为费希尔信息。

如果有效估计量存在，即存在达到CRLB的估计量，那么这个估计量必定是最大似然估计，此时的参量估计具有很好的性能。这里CRLB会随发射的波形参数的变化而改变，是下文中波形选择的关键。

2.1.3 测量噪声方差的CRLB

由信号参量估计理论，我们接下来推导基于简化模型的测量噪声方差的卡拉美罗下界。

将(8)式带入(11)式，信噪比表示为SNR。

x(t)=

(16)

由(10)式：

(17)

(18)

由(14)式：

(19)

则无偏估计量的CRLB为：

(20)

计算可得测量噪声协方差的CRLB：

(21)

根据测量噪声协方差的CRLB可以得出以下结论：

1)信噪比越大，信号时域脉冲宽度(这里对应于n/fc)越小，信号的时延估计方差就越小，精度也就越高。

2)对于信号的幅值，信噪比越大，信号的带宽越小(时域脉冲宽度越大，即n/fc越大)，其估计方差就越小，精度也就越高。

2.2 基于Kalman滤波的波形选择

Kalman滤波理论是由Wiener波理论的发展而发展起来的。随着Kalman滤波理论的发展，它在随机过程参数估计中的应用越来越广泛，其后来广泛的应用于解决各种最优滤波问题[8]。在本节中，在Kalman滤波基础上添加目标状态的一步预测是算法的关键内容。

2.2.1Kalman滤波系统模型

首先引入一个离散控制过程的系统，其状态方程可表示为：

X(k)=AX(k-1)+W(k)

(22)

离散时间系统的测量方程可表示为：

Z(k)=HX(k)+V(k)

(23)

其中，A为状态转移矩阵，由于本文的研究对象为检测结构的损伤状况，且结构的损伤状态不随时间而改变，故A为单位矩阵。H为测量矩阵，由于测量值反映了结构的损伤状况，故同样为单位矩阵。W(k)和V(k)对应的协方差分别为Q和R，分别表示预测和测量过程中的噪声。

首先利用系统的过程模型预测下一状态，基于系统的上一状态预测现在状态：

X(k|k-1)=AX(k-1|k-1)

(24)

X(k-1|k-1)是上一状态最优的结果。用P表示X(k|k-1)的预测协方差为：

P(k|k-1)=P(k-1|k-1)+Q

(25)

Kalman增益K为：

K(k)=P(k|k-1)/(P(k|k-1)+R)

(26)

当前时刻目标状态的最优化估算值X(k|k)：

X(k|k)=

X(k|k-1)+K(k)(Z(k)-X(k|k-1))

(27)

更新X(k|k)的协方差以为保证Kalman滤波器继续运行下去，则：

P(k|k)=(E-K(k))P(k|k-1)

(28)

而如果要在Kalman滤波的基础上增加波形选择部分，我们需要更进一步计算出滤波协方差的一步预测。

预测协方差的一步预测为：

P′(k+1|k)=P(k|k)+Q

(29)

Kalman增益的一步预测为：

K′(k+1)=P′(k+1|k)/(P′(k+1|k)+R)

(30)

滤波协方差的一步预测为：

P′(k+1|k+1)=(E-K′(k+1))P′(k+1|k)

(31)

滤波协方差的一步预测满足一定波形选择准则后，所选取的波形参数会对下一时刻的目标状态的最优化估算值产生影响，进而使得基于Kalman滤波的目标状态的最优化估计循环计算下去。

2.2.2 波形选择准则

为使每一时刻状态估计误差的均方差最小，引入均方误差最小准则作为波形选择的依据，这一准则使状态空间每个维数上误差的平方和最小。即：

(32)

Zk为k时刻的测量值集合，滤波协方差定义为：

P(k|k)=

(33)

等号两边同时取迹，则：

Tr{P(k|k)}

(34)

则：

(35)

由(34)式与(35)式，可得：

Tr{Pk|k(αk)}=

Tr{Pk|k-1-Pk|k-1(Pk|k-1+R(αk))-1Pk|k-1}

(36)

根据(36)式可以得出，由预测协方差和测量噪声方差能够求得k时刻的滤波协方差的迹。由此可知，在均方误差最小准则这一波形选择的依据中，测量噪声方差是与波形的参数相关的变量，也正是前文中所提到的是波形选择的关键所在。

2.2.3 基于Kalman滤波的波形选择流程图

如图7所示，图中左边的两部分为常规Kalman滤波，右边的部分为所增加的波形选择模块。

图7 基于Kalman滤波的波形选择流程图

根据流程图，可以看出在整个波形选择过程中，包含有两个循环计算过程，其一是状态估计协方差的循环计算过程，这其中包括了协方差的一步预测与波形选择；其二是目标状态的估计，包括了目标状态的预测方程与测量方程，其状态估计的对象为前文中所提到的信号的时延与幅值，信号的时延与幅值精度是反映本算法是否可行的关键指标。

3 基于MATLAB的模拟计算

本节通过在MATLAB中进行模拟计算，验证基于Kalman滤波的波形选择这一算法的有效性，并与不带有波形选择模块的Kalman滤波结果对比，验证上文所述算法的计算精度。

在模拟计算环境时，我们将上一时刻最优值作为该时刻的预测，并且假定测量目标的真实状态对应的信号时延为2.4×10-5s，对应的幅值变化为0.4。目标初始状态设为：时延3.5×10-5s、幅值变化为0.5。为了检验所研究的波形选择方法在不同强度的噪声下的滤波效果，信噪比分别设为15 dB与25 dB，初始发射的波形为五周期汉宁窗调制函数，其波形参数为n=5以及fc=300 kHz。根据Lamb波的传播特性以及频散曲线，波形库的建立周期数的取值区间为3～8，中心频率取值区间为[250 kHz，350 kHz]，步长为10 kHz，整个波形库包含有66种波形。

在经过50次迭代计算后，将不含有波形选择的Kalman滤波与带有波形选择模块的Kalman滤波作对比，比较信号的时延误差与幅值变化的误差。如图8与图9所示，虚线、点线、实线分别表示带有波形选择的Kalman滤波、不带有波形选择的Kalman滤波、参量的真实值。其中图10为信号的时延估计误差的对比，图11为信号的幅值变化估计误差的对比。

图8 时延估计对比图(SNR=25dB)

图9 幅值估计对比图(SNR=25dB)

图10 多次平均的时延估计对比图(SNR=25dB)

图11 多次平均的幅值估计对比图(SNR=25dB)

为了检验算法在不同强度噪声下的适用性，当信噪比为15 dB时，信号的时延估计与幅值估计显示在图12和图13中。

图12 时延估计对比图(SNR=15dB)

图13 幅值估计对比图(SNR=15dB)

根据图14和图15，在经过Kalman滤波后，信号的时延估计与幅值估计的精度都较初始值有了较明显的提高。在经过一定次数的迭代计算之后，在初始值误差比较大的情况下，Kalman滤波仍能将误差显著的减小。并且，无论是信号的时延估计还是信号的幅值估计，虚线(带有波形选择的Kalman滤波)比点线(不带有波形选择的Kalman滤波)更接近实线(真实值)，这表明了带有波形选择的Kalman滤波的计算结果要好于不带有波形选择的Kalman滤波。

图14 多次平均的时延估计对比图(SNR=15dB)

图15 多次平均的幅值估计对比图(SNR=15dB)

根据图8与图12、图9与图13的对比，在噪声强度改变时，经过50次的迭代计算之后，带有波形选择的Kalman滤波精度均较初值有所提高，但是当噪声强度比较大时，波形选择后结果的误差相对就会大一些。信号的时延估计与幅值估计精度的提升验证了波形选择算法在信噪比不同时均具有良好的效果。

4 结论

研究基于Kalman滤波的波形自适应选择，从建立简化的回波信号模型出发，经过信号估计理论中的最大似然估计，详细推导了基于简化回波模型的测量噪声协方差的卡拉美罗下界，然后在Kalman滤波的基础上增加波形选择模块，并以均方误差最小准则作为波形选择的依据，最后通过模拟计算验证了经过波形选择后信号的时延与幅值精度有了较大的提高。波形选择依据的是均方误差最小准则，由于是在原有激励信号波形的基础上进行波形选择，且在波形选择的准则下，所选择的新波形对应的Kalman滤波的协方差会比原有激励信号波形对应的Kalman滤波协方差更小，这是带有波形选择模块的Kalman滤波精度更高的根本原因。证明了波形选择方法是提高噪声干扰下的结构损伤定位精度的另外一种思路。