脂润滑条件下塑料齿轮稳态温度场仿真与试验研究

余国达 刘怀举 卢泽华 魏沛堂

重庆大学机械传动国家重点实验室，重庆，400044

0 引言

近年来，高性能工程塑料及其复合材料的出现极大地提高了塑料齿轮的综合服役性能(如高强度、长寿命、耐高温、耐磨损等)，为塑料齿轮的应用场景从运动传递领域拓宽至动力传动领域提供支撑。然而，塑料齿轮服役期间过高的运行温度对塑料齿轮的力学特性有显著影响，以聚甲醛(POM)齿轮为例，在室温23 ℃时POM齿轮的弹性模量约为2600 MPa，在100 ℃时其弹性模量仅为1200 MPa左右，降低了50%以上。过高的运行温度会影响塑料齿轮包括疲劳寿命、振动噪声、磨损行为等在内的服役性能，甚至会引起失效形式的转变。MAO等[1]研究发现，存在一个临界载荷使塑料齿轮的啮合温度到达熔点，此时塑料齿轮的磨损率显著上升。KALIN等[2]通过30 ℃、50 ℃、70 ℃三个恒定温度下的钢-POM齿轮疲劳磨损试验发现，温度是影响聚合物疲劳性能的关键参数之一，POM齿轮在低温(30 ℃)条件下的疲劳寿命是高温(70 ℃)条件下疲劳寿命的4倍。GHAZALI等[3]指出，高温引起的热损伤是一种常见的塑料齿轮失效形式。由此可知，研究塑料齿轮的运行温度场对探明塑料齿轮的失效形式，改善服役性能和提高承载能力具有重要意义。

塑料齿轮运行温度分析中存在以下三个难点。首先，塑料齿轮主要采用热塑性塑料制备而成，力学服役行为表现为动态黏弹性行为[4-5]，其应变变化滞后于应力变化引发的滞后生热[6-7]。滞后生热作用于接触齿廓的次表面区域，需要被考虑进塑料齿轮的运行温度场分析中。其次，热塑性材料的力学性能受温度的影响显著，温度升高将显著降低塑料齿轮的模量[8]，致使塑料齿轮服役过程中的应力-应变-温度场呈现一个复杂的多场耦合问题。最后，塑料齿轮的黏弹性接触行为不能直接套用赫兹接触理论来描述，这是因为赫兹接触理论基于小变形、光滑表面等假设[9]，而塑料齿轮强度低、变形大、易磨损，不适用于赫兹接触理论。

脂润滑是目前塑料齿轮系统中最常用的润滑方式，然而塑料齿轮在脂润滑下的温升机理和影响因素需要进一步探明。本文针对塑料齿轮运行温升这一基础共性问题，建立了摩擦热流-滞后热通量多热源塑料齿轮运行温度分析模型，讨论了脂润滑条件下塑料齿轮稳态温度的分布规律以及载荷、转速等敏感因素对稳态温度的影响，为高性能塑料齿轮运行温度场分析和正向设计体系建设提供了支撑。

1 数值模型

1.1 有限元接触模型

本文以某POM-POM齿轮副为例，研究了塑料齿轮运行温度场的分布规律和变化机理，其基本齿廓参数见表1。该齿轮原材料采用POM材料，牌号为DUARCONPOM M90-44。POM是热塑性结晶性高分子聚合物，具有优异的综合力学性能(如硬度、强度、模量等)，在宽温度范围内具有良好的自润滑性、耐磨损性、耐疲劳性、抗腐蚀性等，其材料基本参数见表2。

表1 POM-POM齿轮副基本齿廓参数

表2 DUARCON POM M90-44基本材料参数

Tab.2 The basic material parameters of DUARCON POM M90-44

表2 DUARCON POM M90-44基本材料参数

POM参数数值弹性模量(MPa)(23℃)2600泊松比0.3密度(kg/m3)1.41×103热导率(mW/(mm·K))0.3质量热容(mJ/(kg·K))1.47×106熔点(℃)165长期运行温度(℃)110

润滑脂的型号为Uni610，该型号润滑脂是一种白色合成润滑脂，无毒无害，常用于塑料零部件的润滑，其性能参数见表3。

表3 润滑脂Uni610基本参数

由于POM-POM齿轮副为直齿圆柱齿轮，齿轮横截面的大小与形状沿齿宽方向保持一致，载荷垂直于齿宽且载荷幅值沿齿宽方向不变，齿轮两端受到固定约束，因此，考虑计算代价又不失一般性，本文将直齿圆柱齿轮副接触简化为二维问题。所建立的二维塑料齿轮副热黏弹性有限元接触模型，如图1所示。

图1 考虑热黏弹性的塑料齿轮接触模型

1.2 摩擦因数测试

齿轮的主要热量来源之一是接触齿面间的摩擦生热，摩擦因数对塑料齿轮的温度场分析至关重要。由于齿轮副之间复杂的宏观几何限制，直接测量啮合齿面的摩擦因数非常困难。为了准确获取POM-POM齿轮副的摩擦因数，采用Rtec多功能摩擦磨损试验机的摩擦磨损模块测试了本文中POM材料摩擦块在脂润滑状态下的摩擦因数，如图2所示。通过将对啮合齿面摩擦因数的测量转化成对摩擦块摩擦因数的测量，既保证了摩擦因数的可靠性又节约了测试时间。

图2 POM材料摩擦因数测试

摩擦因数测试试验在恒温环境下进行，环境温度为23 ℃，环境湿度为50%，测试时间为10 min。测试工况为：脂润滑条件，法向载荷20 N·m，滑动速度0.2 m/s。图3所示为测试得到的POM材料在润滑脂型号为Uni610的脂润滑条件下的摩擦因数，取均值后为0.04。

图3 脂润滑条件下POM摩擦因数

关于齿廓摩擦热流密度和滞后热通量密度的计算方法可参考文献[10]，在此不再赘述。

1.3 热平衡分析

获取齿廓摩擦热流密度和滞后热通量密度后需要对齿轮进行热平衡分析。塑料齿轮在运行期间，其齿体温度场是时间和空间的函数，即θ=f(x，y，z，t)。塑料齿轮的齿体导热微分方程可以表征齿体温度场随着时间和空间的变化规律，其表达式为[11]

(1)

式中，ρ为齿轮材料的密度，kg/m3；c为齿轮材料的质量热容，J/(kg·K)；θ为齿体温度场，℃；t为时间，s；λ为齿轮材料的热导率，W/(m·K)。x、y、z为以齿轮圆心为原点、齿廓中间截面为x-y平面的笛卡儿坐标。

当齿轮处于热平衡状态时，齿体各位置的温度不再随着时间变化而变化，则齿体稳态温度场分布可以表示为

(2)

导热微分方程是导热问题的普适性方程，要获得齿轮温度场的特定解，需要在齿体导热微分方程上附加初始温度条件和边界条件。

脂润滑条件下，润滑脂油膜覆盖在接触齿廓表面，但实际参与热对流的是环境中的空气，因此将齿体周围空气的温度θair作为介质温度θmed(即θair=θmed)。由于塑料齿轮各边界面的对流换热强度不一样，因此采用不同的热边界条件方程控制各齿面的热量传递。POM主动轮的边界面主要包括：承载齿面s、齿顶圆周面a、非承载齿面s′、齿根面d、齿轮端面e以及截面u、u′。图4为POM主动轮的热平衡分析示意图。

图4 POM主动轮热平衡分析示意图

对于承载齿面s，边界条件方程可以表示为

(3)

对于非承载齿面s′，边界条件方程可以表示为

(4)

对于齿顶圆周面a，边界条件方程可以表示为

(5)

对于齿根面d，边界条件方程可以表示为

(6)

对于齿轮端面e，边界条件方程可以表示为

(7)

当塑料齿轮处于稳定运行期间，齿轮截面的边界条件方程可以表示为

(8)

式中，n为齿面热交换的外法线方向；h为齿面对流传热系数，mW/(mm2·K)；qv为齿体输入的瞬态热流密度，mW/mm2。

齿轮的内孔与转轴之间的热传导可以忽略不记，其边界条件可近似认为是绝热条件。端面边界条件方程影响齿宽方向的温度分布，导致沿齿宽方向运行温度值呈现出近似抛物线函数的分布[12]。然而，对于中等到较大宽度的齿轮，端面的对流换热对中间部分的温度影响轻微[13]，二维热分析可以相对准确地预测塑料齿轮中间截面的温度场，因此在计算分析中不用考虑齿轮端面的边界条件。

对流传热系数可以表征边界面上热对流的强弱程度，与换热过程中流体介质的物理性质、换热表面的几何形状、部位以及流体的流动速度等均有密切关系[14]。根据传热学相关知识，齿顶圆周面与周围介质的对流传热系数可以通过将齿顶面近似地等效为流体介质扫掠细长平板来确定[11]，因此，齿顶圆周面上流体介质的雷诺数Re可以表示为

(9)

式中，ω为角速度，rad/s；ra为齿顶圆半径，mm；υf为介质的运动黏度，m2/s。

经计算，在研究的工况范围内，雷诺数Re<2×105，表明齿顶圆周面的流体为层流，因此齿顶圆周面的对流传热系数可以表示为[15]

(10)

Nu=0.664Pr1/3Re1/2Pr=ρfυfcf/λf

式中，Nu为努赛尔数；Pr为普朗特数；ρf为介质密度，kg/m3；cf为介质质量热容，J/(kg·K)；λf为介质热导率，W/(m·K)。

德国著名物理学家、斯图加特大学教授哈肯（Hermann Haken）1971年提出协同（synergy）的概念，并在1976年发表的《协同学导论》中系统地阐述了协同理论［2］。协同理论认为，某个主体作为一个系统，内部要素与要素之间、要素与系统整体之间，以及系统与系统外部之间是相互联系、相互作用的，有序架构、沟通合作使得整个系统创造出新的价值，获得原来分散个体简单汇总所无法达成的效果［7］。从这层意义上来说，协同过程的本身就是管理创新和制度创新，协同的结果就是知识创新、技术创新，因此，“协同”与生俱来就是与“创新”紧密相联的。

为计算锥齿轮齿面与流体介质之间的对流换热，HANDSCHUH[16]提出通过下式来确定努赛尔数Nu：

Nu=0.228Re0.731Pr1/3

(11)

直齿轮齿面与周围流体介质的对流换热机理同锥齿轮齿面与周围流体介质的对流换热机理相似[17]，因此直齿轮承载齿面与流体介质间的对流传热系数可以表示为

(12)

式中，L为特征长度，脂润滑条件下换热介质为周围空气，特征长度可取为节圆半径，mm。

除啮合瞬间外，承载齿面和非承载齿面的冷却散热条件是相同的，因此可以认为两者的对流传热系数相等[17](即hs′=hs)。有文献报道将齿根面的对流传热系数近似地等效为承载齿面对流传热系数[18-19](即hd=hs)。由于POM材料的热导率小且啮合点间的温差很小，故POM-POM齿轮副的接触热导率被认为是0。至此，得到了二维POM齿轮的承载齿面对流传热系数hs、非承载齿面对流传热系数hs′、齿根面对流传热系数hd和齿顶圆周对流传热系数ha，结合材料热导率等约束条件可进行POM齿轮的散热分析。

2 结果与讨论

2.1 稳态温度场分布

以脂润滑、输出转矩20 N·m、输入转速1000 r/min工况为示例，分析POM主动轮的稳态温度场分布，其他的工况条件可以此类推。塑料齿轮的热源包括滞后生热和摩擦生热，因此分析了两种热源引起的温升差异，并讨论了稳态温度场的大小和分布规律。

图5为脂润滑、输出转矩20 N·m、输入转速1000 r/min工况下POM主动轮滞后生热引起的稳态温升(简称“滞后稳态温升”)云图，可以看出，滞后稳态温升Δθh在齿宽中间位置的截面上呈现为近似椭圆形状，长轴约为2.81 mm、短轴约为0.75 mm，其长轴沿着齿廓切向方向分布在齿廓节线的次表面区域。在节线区域的次表面、距离齿轮表面的深度约0.2 mm位置处的滞后稳态温升最大，最大值为0.18 ℃。

图5 POM主动轮的滞后稳态温升云图

图6为脂润滑、输出转矩20 N·m、输入转速1000 r/min工况下POM主动轮摩擦生热引起的稳态温升(简称“摩擦稳态温升”)云图，可以看出，节线区域的摩擦稳态温升Δθf相比于节线靠近齿根区域和节线靠近齿顶区域而言最小，这是因为齿廓节点在节线区域的相对滑动效应最弱。摩擦稳态温升最大值出现在节线靠近齿根区域的齿廓表面上，最大值为13.33 ℃，与节线靠近齿顶区域的摩擦稳态温升峰值12.15 ℃相比高出约9.7%。

图6 POM主动轮的摩擦稳态温升云图

图7为脂润滑、输出转矩20 N·m、输入转速1000 r/min工况下POM主动轮的稳态温度场分布云图，可以看出，在节线靠近齿根区域的齿廓表面处的稳态温度θs最高，最大值为36.45 ℃，且位置与摩擦稳态温升的最大值位置基本重合。此外，节线靠近齿顶区域的轮齿表面稳态温度的峰值为35.48 ℃，与最高稳态温度值36.45 ℃相比降低了2.66%。图8为脂润滑、输出转矩20 N·m、输入转速1000 r/min工况下POM主动轮的齿廓稳态温度沿啮合线分布图，可以看出，节线区域的稳态温度为32.69 ℃，与最高稳态温度值36.45 ℃相比降低了10.32%。。

图7 POM主动轮稳态温度场

图8 POM主动轮稳态温度沿啮合线分布

图9所示为脂润滑、输入转速1000 r/min工况下，最高稳态温度在不同输出载荷水平下沿着齿廓内法线方向的变化趋势，可以看出，最高稳态温度位置处的温度值随着齿廓内法线方向深度的增大而逐渐减小，在内法线方向0.5 mm深度处的温度约为表面温度的90%左右。在输出转矩To=20 N·m载荷下，0.5 mm深度处的最高稳态温度为33.85 ℃，可达到齿廓最高稳态温度的92.87%；当深度达到1 mm时，最高稳态温度为32.40 ℃，可达到齿廓最高稳态温度的88.89%。在To=40 N·m载荷下，0.5 mm深度处的温度为齿廓最高稳态温度的88.91%，1 mm深度处的温度为齿廓最高稳态温度的83.37%；在To=60 N·m载荷下，0.5 mm、1 mm深度处的温度分别为齿廓最高稳态温度的89.21%和83.76%。分析最高稳态温度沿着齿廓内法线方向的变化规律对了解塑料齿轮齿体热变形及热损伤演化等具有重要作用。

图9 最高稳态温度沿齿廓内法线方向变化

对比图5、图6和图7可以发现，滞后稳态温升的分布规律对POM主动轮稳态温度场分布影响比较小，摩擦稳态温升分布规律占主要影响。其原因在于滞后稳态温升的数量级相比于摩擦温升数量级而言过小，仅为摩擦稳态温升的1.35%。

为进一步探究滞后稳态温升、摩擦稳态温升对总稳态温升的贡献，对脂润滑、输入转速1000 r/min、不同输出转矩条件下的POM主动轮进行了稳态温度场分析，并计算了滞后稳态温升、摩擦稳态温升占总稳态温升的比值，如图10所示，可以看出，滞后稳态温升占总体稳态温升的比例较小，在计算的载荷(输出转矩)范围内没有超过2%，但与干运行条件相比[10]，该比例有所上升。摩擦稳态温升是稳态温升的主要组成部分，占98%以上。随着载荷的增大，滞后稳态温升的比值逐渐增大。

图10 滞后稳态温升和摩擦稳态温升与总稳态温升比值

2.2 温度场影响因素分析

载荷水平对塑料齿轮的服役寿命、失效形式的影响研究已经较为清晰[20]，但载荷水平对塑料齿轮运行温度变化的影响规律还不明确。本节通过基于多热源的塑料齿轮运行温度场数值模型，考虑温度-模量效应，计算了脂润滑、输入转速1000 r/min、输出转矩5～60 N·m工况下POM-POM齿轮副主动轮的稳态温度场，研究了齿廓最高稳态温度随不同载荷水平的变化规律。

图11为脂润滑、输入转速1000 r/min条件下，不同输出转矩载荷水平对POM主动轮最高稳态温度的影响图，可以看出，在脂润滑状态下最高稳态温度随着载荷的增大逐渐升高。但随着载荷的增大，最高稳态温度的升高速率在逐渐降低。当载荷水平从5 N·m增大至13 N·m时，最高稳态温度从26.30 ℃升高到31.94 ℃，单位载荷下最高稳态温度的升高速率为0.71 ℃/(N·m)；当载荷水平从50 N·m增大至60 N·m时，最高稳态温度从50.5 ℃升高到54.31 ℃，单位载荷下的升高速率仅为0.37 ℃/(N·m)。

图11 脂润滑下载荷水平对最高稳态温度的影响

载荷增大会导致齿廓接触区域的接触压力增大，进而会增大摩擦热流密度，导致最高稳态温度随之升高。但温度随载荷的变化没有表现出线性增大的趋势，主要原因在于模型中考虑了温度-模量效应：运行温度越高，温度对弹性模量衰减作用越明显，材料软化导致啮合点的接触面积增大，实际齿面接触压力与没有考虑温度-模量效应时的计算结果相比有所降低。以脂润滑、输出转矩60 N·m、输入转速1000 r/min条件下的主动轮为例，如图12a所示，可以看出，考虑温度-模量效应的最大齿面接触压力与没有考虑该效应的最大齿面接触压力相比减小了18.22%。而考虑温度-模量效应与否对最大切向位移增量的影响并不显著，如图12b所示。考虑温度-模量效应的平均摩擦热流密度最大值与没有考虑该效应的平均摩擦热流密度最大值相比减小了14.44%，如图13所示。

(a)齿面接触压力

图13 温度-模量效应对平均摩擦热流密度的影响

塑料齿轮的运行温度仿真中考虑温度-模量效应可以更加真实地模拟塑料齿轮实际服役过程中应力-应变-温度场之间复杂的耦合作用关系，提高稳态温度的计算精度。

塑料齿轮副在服役过程中，转速对塑料齿轮运行温度的影响非常复杂，增大转速不仅会增大齿面的摩擦热流密度，而且会增大齿廓对流换热强度并最终影响齿廓温度。通过基于多热源的塑料齿轮运行温度场数值模型，考虑温度-模量效应，计算了脂润滑、输出转矩20 N·m、输入转速1000～2800 r/min工况下POM-POM齿轮副主动轮的稳态温度场，研究了齿廓最高稳态温度在不同转速水平下的变化规律。

图14为脂润滑、输出转矩20 N·m载荷条件下，不同转速水平对POM主动轮最高稳态温度的影响图，可以看出，在脂润滑状态下POM主动轮的最高稳态温度随着转速的增大而逐渐升高。当输入转速从1000 r/min增大至1300 r/min时，最高稳态温度从36.34 ℃升高到38.48 ℃，单位转速下最高稳态温度的升高速率为7.13×10-3℃/(r·min-1)；当转速从2500 r/min增大至2800 r/min时，最高稳态温度从45.15 ℃升高到46.52 ℃，单位转速下最高稳态温度的升高速率仅为4.57×10-3℃/(r·min-1)。

图14 脂润滑下转速对最大稳态温度的影响

转速水平同时影响齿廓的摩擦热流密度和齿廓各边界面的对流换热强度。图15为脂润滑条件下，不同输入转速对齿廓对流传热系数和摩擦热流密度的影响图，可以看出，脂润滑、输出转矩20 N·m载荷条件下，齿廓上的平均摩擦热流密度随着输入转速的增大而线性增大，其最大值从1000 r/min转速下的3.41 mW/mm2增大到2800 r/min转速下的9.54 mW/mm2。同时，齿廓的对流传热系数也随着转速的增大而线性增大，转速从1000 r/min增大至2800 r/min时，齿面对流传热系数从0.110 mW/(mm2·K)增大到0.234 mW/(mm2·K)，齿顶对流传热系数从0.038 mW/(mm2·K)增大到0.064 mW/(mm2·K)。转速通过改变齿廓摩擦热流密度和对流换热强度进而改变齿轮的运行温度。

图15 转速对对流传热系数和摩擦热流密度的影响

3 试验对比

在脂润滑条件下，本文基于多用途摩擦-磨损试验台开展试验来研究不同转矩和转速对POM-POM齿轮副稳定运行温度的影响规律，并且将试验实测的稳定运行温度值与数值模型求解的仿真温度值进行对比。试验台和温度表征设备如图16所示。文献[21]已对试验台架和表征手段进行了介绍，在此不再赘述。

图16 试验台与温度表征设备

图17为脂润滑、输入转速1000 r/min、不同输出转矩条件下POM主动轮试验温度与仿真温度对比图。与干运行条件相比，脂润滑条件可以显著降低塑料齿轮的运行温度，提高其承载能力，在输入转矩27 N·m、输入转速1000 r/min工况下，塑料齿轮在干运行条件下、试验温度124.8 ℃且9.5×104转后迅速失效[22]，在脂润滑条件下、试验温度为39.2 ℃可保持长期运转而不失效。此外，POM主动轮的试验温度随着转矩的增大而升高，最低5 N·m转矩下的试验温度为31.50 ℃，最高60 N·m转矩下的试验温度为51.40 ℃。试验温度值与仿真温度值吻合良好，仿真温度的最大误差点出现在5 N·m转矩下，此时，仿真温度值为26.30 ℃，试验温度值为31.50 ℃，最大预测误差为16.51%。由此可知，基于多热源的塑料齿轮运行温度场数值模型预测脂润滑下POM齿轮的最高稳定运行温度与输出转矩关系时，预测精度超过了83%。图18为脂润滑、输出转矩60 N·m、输入转速1000 r/min条件下齿廓稳定运行温度的红外热成像图，可以看出，试验拍摄的最高温度点处温度θt,max为51.40 ℃，而仿真温度为54.31 ℃，模型精度接近95%。

图17 脂润滑条件下载荷与温度关系的试验与仿真结果对比

图18 脂润滑条件下的典型红外热成像图

图19为脂润滑、不同输入转速条件下POM主动轮的试验温度与仿真温度对比图，可以看出，在研究的转速范围内，仿真温度随着输入转速的变化趋势与试验温度随着输入转速的变化趋势基本一致，即仿真温度随着转速的增大而线性升高。仿真温度与试验温度在数值上吻合良好，在输出转矩17 N·m和20 N·m两个载荷下，分别将不同输入转速下的仿真温度值与试验温度值进行比较，最大误差点出现在20 N·m、2500 r/min工况下，此时，仿真温度值为45.15 ℃，试验温度值为47.60 ℃，最大预测误差不超过5.15%。由此可知，基于多热源的塑料齿轮运行温度场数值模型预测脂润滑下POM齿轮的最高稳定运行温度与输入转速关系时，预测精度接近95%。

图19 脂润滑条件下转速与温度关系的试验与仿真结果对比

脂润滑条件下，油膜的形成能够较好地保护齿面，可将齿面的摩擦因数维持在一个较低且稳定的范围内。试验温度与转矩和转速的关系具有规律性，仿真温度能够很好地与试验温度值及其变化趋势保持一致。基于多热源的塑料齿轮运行温度场数值模型可以较好地预测塑料齿轮的稳定运行温度而不出现较大的偏差。

4 结论

(1)脂润滑条件可以显著降低塑料齿轮的运行温度，提高其承载能力；相比摩擦热流，滞后热通量对塑料齿轮温升的影响程度较小，在讨论的工况下，滞后温升的贡献不超过2%；在良好润滑情况下，滞后温升占比有所增大。

(2)塑料齿轮稳态温度随载荷和转速的增大而逐渐升高，载荷水平通过改变齿面接触压力，转速水平通过改变平均摩擦热流密度和对流换热强度进而显著影响塑料齿轮的稳态温度场；本文模型预测脂润滑下聚甲醛(POM)齿轮的最高稳定运行温度与转矩关系时，预测精度超过83%，预测最高稳定运行温度与转速关系时，预测精度接近95%。

(3)基于摩擦热流-滞后热通量多热源的塑料齿轮运行温度场仿真模型考虑了温度-模量效应，可以更加真实地模拟塑料齿轮实际服役过程中应力-应变-温度场之间复杂的耦合关系，有效评估脂润滑条件下塑料齿轮热运行状态，降低塑料齿轮服役过程中发生胶合、热融化失效的可能。