求解变力做功的六种常见方法剖析

■李鹏飞

公式W=Flcosα只适用于恒力做功的计算,若遇到的是变力做功问题该怎样计算呢? 下面我们就结合例题来剖析求解变力做功的六种常见方法,供同学们参考。

方法一：等效替代法

若通过转换研究对象能找到一个与待求变力做的功相同的恒力,则可以利用公式W=Flcosα计算出该恒力做的功,间接求得变力做的功。这种将变力做功转换成恒力做功的求解方法叫等效替代法。

例1 如图1所示,某人用跨过定滑轮的细绳以恒力F拉着放在水平面上的滑块,使其沿着水平面由A点前进距离l后到达B点。已知滑块在A、B两点时,细绳与水平方向间的夹角分别为α和β,滑轮到滑块的高度为h,不计细绳与滑轮之间的摩擦和细绳的重力。求在这一过程中细绳的拉力对滑块所做的功。

图1

方法二：平均力法

例2 如图2所示,轻弹簧的一端与竖直墙壁连接,另一端与一质量为m的物块相连,物块位于光滑水平面上,已知弹簧的劲度系数为k,开始时弹簧处于自然状态。用水平向右的拉力F缓慢拉物块,使物块在弹性限度范围内前进距离x0,求在这一过程中拉力F对物块所做的功。

图2

方法三：F-x图像法

当力F与位移x同向时,计算功的公式可表示为W=Fx,因此在F-x图像中,图像与x轴所围成的“面积”就表示力F在位移x上所做的功。“面积”位于x轴上方,说明力F做正功;“面积”位于x轴下方,说明力F做负功。

例3 如图3所示,一个正方形木块漂浮在一个面积很大的水池中,水深为H,木块边长为a,质量为m,密度为水的一半。开始时木块静止,有一半没入水中。现用力F将木块压到池底,不计摩擦。求力F在将木块从初始状态刚好压到池底的过程中,力F对木块所做的功。

图3

图4

方法四：微元法

若物体在运动过程中所受的变力始终与速度方向在同一条直线上或成某一固定角度,则可以将运动过程分成无数个小段,在每一个小段上都可以认为物体受到的力是恒力,物体在整个运动过程中的位移等于运动轨迹的长度,则力在各个小段上所做功的代数和即为变力在整个运动过程中所做的功。

例4 以前的人们经常采用如图5 所示的“驴拉磨”方式把粮食加工成粗面来食用。假设某次采用“驴拉磨”方式进行粮食加工的过程中,驴对磨的拉力大小始终为500N,驴做圆周运动的半径为1.5m,则在驴拉磨转动一周的过程中,拉力所做的功为( )。

图5

A.0 B.500J

C.750J D.1500πJ

在驴拉磨转动一周的过程中,拉力F的大小不变,方向时刻改变,但总与速度的方向相同。将转动的一周分割成无数个小段,则每一个小段对应的位移Δs1、Δs2、Δs3、…、Δsn都可认为与拉力F同向,因此在驴拉磨转动一周的过程中,力F所做的功等于恒力F在各个小段上所做功的代数和,即WF=F·Δs1+F·Δs2+F·Δs3+…+F·Δsn=F(Δs1+Δs2+Δs3+…+Δsn)=F·2πR=1500πJ。

答案：D

方法五：动能定理法

若物体的运动情况较为复杂,但是物体在初、末状态下的动能,以及除待求变力所做的功外其他力所做的功都可以比较容易地求出,则可以利用动能定理来求解这个变力所做的功。

例5 如图6 所示,一个半径为R的半圆形轨道固定在竖直平面内,轨道两端等高;质量为m的质点自轨道左端P点由静止开始下滑,滑到最低点Q时,对轨道的压力大小为2mg,重力加速度为g。在质点自P点滑到Q点的过程中,克服摩擦力所做的功为( )。

图6

答案：C

方法六：机械能守恒定律法

若物体只受重力和弹力作用或只有重力和弹力做功,且重力和弹力中有一个力是变力,则可以利用机械能守恒定律来求解这个变力所做的功。

例6 如图7 所示,一根金属链条的总长为l,置于足够高的光滑水平桌面上,链条下垂部分的长度为a。某时刻链条受到微小扰动由静止开始下滑,在链条由静止开始下滑到整根链条刚好离开桌面的过程中,重力所做的功为多少?

图7

1.如图8 所示,摆球质量为m,悬绳的长度为L,把悬绳拉到与悬点O处于同一水平线上的A点后放手。在摆球从A点运动到最低点B的过程中,设空气阻力F阻的大小保持不变,则下列说法中正确的是( )。

图8

图9

4.如图10 所示,质量m=2kg 的物体,从光滑斜面的顶端A点以初速度v0=5m/s滑下,在D点与弹簧接触并将弹簧压缩到B点时的速度为零。已知A、B两点间的竖直高度h=5m,取重力加速度g=10m/s2,在物体从A点运动到B点的过程中,弹簧的弹力对物体所做的功为多少?

图10

参考答案：1.AD