换个角度研究也精彩

邬江

笔者近期读文[1]时，联想到文[1]中研究的问题与2020年上海市闵行区高三调研试卷中第15题十分相似，笔者在教学时是借助图形和空间想象使问题得以解决的，受文[1]启示，笔者重新探究了这个问题，本文拟分享探究所得.

1 问题的呈现

题目在正四面体A - BCD中，点P为ABCD所在平面上的动点，若AP与AB所成角为定值θ，θ∈（0，π/4），则动点P的轨迹是（

）.

A.圆B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线

2 题源的分析

本题的背景是圆锥与不过顶点的平面相交的得到的截线的轨迹问题，古希腊数学家阿波罗尼斯采用平面切割圆锥的方法来研究这几种曲线：

（1）用垂直于锥轴的平面去截圆锥，得到的截线的轨迹是圆;

（2）把平面渐渐倾斜，当平面与轴线的夹角大于半顶角时，得到的截线的轨迹是椭圆;

（3）当平面“和且仅和”圆锥的一条母线平行时，即平面与轴线的夹角等于半顶角时，得到的截线的轨迹是抛物线;

（4）当平面与轴线的夹角小于半顶角时，得到的截线的轨迹是双曲线的一支（把圆锥面换成相应的二次锥面时，则可得到双曲线）.

3 问题的解答

由分析知：如图1，本题中动点P的轨迹就是以AB为轴，母线与轴的夹角为θ的圆锥与平面BCD相交的截交线，过点4作平面的垂线A0，垂足为O，联结BO，设轴AB与平面BCD所成角为φ，易得φ=arccos√3/3，由于90°>φ>θ，所以动点P的轨迹是椭圆，从“形”的角度本题可以得到完美的解决，那么从“数”的角度入手，又该如何解决呢？

不妨设AB=2√3，以ABCD的重心O为坐标原点，如图2，建立空间直角坐标系，

4 问题再研究

至此，这个问题似乎得到圆满的解决，如果到此结束，则可能“入宝山而空手返”，错过了一个研究性学习的大好机会，动点P的轨迹有没有可能是双曲线、抛物线和圆？如果可能，那么AP与AB所成角θ的范围又是什么？带着这个疑问，笔者开始了新的探究获得如下的结论：

我们研究平面与圆锥的截线问题，常规思路是圆锥不动，通过旋转平面来研究截线的变化，本题换个角度来研究平面与圆锥的截线问题，平面不动，通过变化圆锥的顶角来研究截线，题目来源于课本但又不拘泥于课本，有創新性，是一个值得研究的好问题.

我们一直提倡“用教材教，而不是教教材”的教学理念，这就要求我们教师要认真钻研教材，理解教材意图，对于教材中的例题、习题和拓展内容，充分挖掘其教学价值，引导学生进行分析、思考、归纳、类比乃至推广，发挥每一个例题、习题的最大功效，实现教学效益的最大化，

参考文献

[1]舒适.和学生一起进行数学研究性学习[J].数学教学，2017 （12）：14-15