改进混沌方程及压缩感知理论图像加密算法

杜鑫昌，高瑜翔，曹远杰，张 皓，刘海波

(成都信息工程大学通信工程学院(微电子学院)，四川 成都 610225)

0 引 言

随着互联网的普及与发展，图像作为重要的信息载体在人们的日常信息交流中扮演着重要的角色，在享受便利的同时，人们也面临着一些非常严峻的问题，例如如何保证图像信息传递的安全性。另外由于图像占据的存储空间越来越大，尤其是一些高清图像的传递，在传递过程中需要考虑在带宽、存储空间一定的情况下，如何对信息进行加密和压缩，而传统的加密算法无法在实现加密的同时实现压缩操作[1-2]。因此针对图像的加密压缩方案的设计就变得十分重要。

压缩感知[3]打破了传统奈奎斯特采样定理的束缚。采用压缩感知技术处理信号可减少数据传输量、节约存储空间和减少带宽的占用率，这极大地降低了信号采样、计算和储存所需要的成本。压缩感知可同时完成数据的采样与压缩，如果在压缩感知过程中与加密算法相结合，就可以在数据的采样、压缩过程中对数据进行加密[4-6]。混沌是动力学系统中对初始值敏感而表现出不可预测的、类似随机性的运动，因其良好的特性例如周期性、初值敏感性和遍历性被广泛地应用在加密算法的设计中[7]。利用混沌的随机性来构建压缩感知的测量矩阵，可减少密钥的传输量[8-10]。所以基于压缩感知与混沌的图像加密技术具有很好的应用前景。

1 改进的Logistic混沌方程

Logistic方程又叫做虫口模型，是一种简单而又具有重要意义的一维非线性方程：

xk+1=axk(1-xk)

(1)

其中，xk∈(0,1);k=0,1,…,n;a∈(0,4],a为分支参数。当3.5699456…

图1 传统Logistic混沌方程映射图和Lyapunov指数图

由图1可看出,传统Logistic混沌方程的李雅普诺夫指数值在区间(3.56，4]内多个区间小于0或接近于0，混沌性能较差，且生成的混沌序列在区间内的分布不均匀。

本文提出改进Logistic混沌方程如下：

(2)

其中，a=4时，b∈(2.3,3],xk∈(0,1);k=0,1,…,n。选取a=4,b=3,c=3，其混沌图以及李雅普诺夫指数值如图2所示。

图2 改进Logistic混沌方程映射图和Lyapunov指数图

由图2可看出,改进后的Logistic混沌方程其混沌性能优于传统Logistic混沌方程，且改进后的混沌方程的李雅普诺夫指数值更大，因而动力学行为更复杂[11]。由分岔数与李雅普诺夫指数关系可知，李雅普诺夫指数越大，混沌方程生成序列的混沌程度越高[12]。

与其他改进Logistic混沌方程性能对比：

1)对比改进方程1：

(3)

式中，xk∈(-1.2,1.2)，当分支参数a∈(2.35,3]时，系统出现混沌状态。

x0=0.1,a=3时，其混沌图以及李雅普诺夫指数值如图3所示。

图3 对比改进方程1混沌方程映射图和Lyapunov指数图

2)对比改进方程2：

(4)

式中，参数b>0,b∈R，分支参数a∈(0,2/b)。

b=0.5时，其混沌图以及李雅普诺夫指数值如图4所示。

图4 对比改进方程2混沌方程映射图和Lyapunov指数图

对比以上2个改进Logistic混沌方程，本文提出的改进Logistic混沌方程Lyapunov指数更大，动力学性能更好，生成的伪随机序列的随机性能更好。

2 基于压缩感知与混沌理论的图像加密方法

2.1 总体方案设计

加密方案如图5所示。首先将原始图像通过稀疏基稀疏采样生成稀疏信号，然后对稀疏信号进行置乱与加权操作,并与改进混沌方程构造受控的测量矩阵，通过线性投影完成图像的压缩加密，紧接着对密文图像进行像素间的无重复置乱操作、基于加取模运算的前后扩散操作，获得最终的压缩密文图像。

图5 加密总体方案

方案中采用改进Logistic混沌方程产生伪随机序列从而构建一个受控的测量矩阵，然后对稀疏基处理后的稀疏信号做线性降维投影。为了克服低维混沌系统的密钥空间太小以及线性测量的局限性，故与超混沌Lorenz混沌系统相结合，通过超混沌系统产生的伪随机序列对对密文图像作置乱-扩散操作，获得最终的密文图像，从而达到压缩加密的目的。

2.2 受控的测量矩阵构造方法

测量矩阵的设计是压缩感知理论的核心内容，测量矩阵性能的优劣影响到信号重建的效果。测量矩阵的构建需要满足约束等距条件(RIP)。

RIP定义：定义测量矩阵A的RIP参数δk为满足下式的最小值δk[3]。

(5)

其中x为K稀疏信号，若δk<1，则称测量矩阵A满足K阶RIP[3]。Baraniuk等人证明了测量矩阵满足K阶RIP等价的条件是测量矩阵与稀疏矩阵不相关。传统满足条件的测量矩阵有高斯随机矩阵、随机伯努利矩阵等。由于随机测量矩阵的不确定性可能会导致每次信号的重构效果会出现偏差，所以构造一个确定性的测量矩阵在满足RIP条件的原则下可以保证信号重构的效果。确定性测量矩阵可以很好地克服这些不足，因此很多研究者利用其他技术构造受控的测量矩阵，如Dimakis等人[13]利用LDPC校验矩阵来构建测量矩阵；刘鑫吉等人[14]采用阵列码构造测量矩阵；Yu等人[15]采用混沌序列构造测量矩阵。测量矩阵作为一个降维矩阵，通过控制测量矩阵的列数可以控制信号压缩的比例。其构造的具体步骤如下:

1)利用改进的Logistic混沌映射产生伪随机序列：设置初始值x0和参数值a、b、c，对混沌映射连续迭代M·N+t次，t为过渡带长度，通过设置t的长度消除暂态效应使生成的伪随机序列获得更好的随机性。初始值x0设置为0.1，参数值a=4,b=3,c=3。迭代长度M设置为190，N设置为256。过渡态长度t设置为800。

2)设置压缩率为CR，将伪随机序列截取M·CR长度大小，通过重组变换构造出测量矩阵。压缩率CR=0.75。

测量矩阵性能分析：

在相同条件下比较标准测试图片“Lena”与“Camera”分别在3种测量矩阵下信号重建的效果。3种测量矩阵为高斯随机矩阵、传统Logistic混沌映射构造的测量矩阵与改进混沌方程后构造的测量矩阵。采用PSNR、MSE以及NMSE的数值作为图像质量的衡量标准。

(6)

(7)

(8)

PSNR(峰值信噪比)值越大表明图像的质量越好。

MSE(均方误差)是判断图像质量最常用的算法之一。MSE的值越小表示图像的质量越好。

NMSE(归一化均方误差)是一种基于能量归一化的测量方法，它相对均方误差是将分母的大小变成了原始图像的各个像素的平方和，同样是值越小表示图像的质量越好。

由表1可得通过比较3种不同的测量矩阵下的信号重构质量的性能指标，可以发现改进后的Logistic混沌序列构造的受控测量矩阵既达到了随机高斯矩阵的重建信号的性能，又克服了随机测量矩阵具有的不确定性而导致每次信号的重构效果出现偏差、在传输过程中占据较大的带宽以及在硬件中不易实现的缺点。

表1 不同测量矩阵重构图像质量分析

所以本文提出的改进Logistic混沌方程所生成的伪随机序列混沌性能更好，所构建的受控测量矩阵与稀疏矩阵的不相关性大，对于压缩感知信号重建的质量较高、较稳定以及在传输过程中具有节省带宽以及容易在硬件中实现等优点。

2.3 加密与解密

2.3.1 加密过程

1)将大小为M·M的图像在某一稀疏基下进行稀疏处理获得同等大小的稀疏信号。

2)对稀疏信号进行置乱处理，以增加稀疏信号的列稀疏性，使得稀疏信号非0值的分布更加均匀。

3)对稀疏信号进行加权处理，通过提高稀疏信号系数的差异性，来提高信号的重构性能。

4)利用改进的Logistic混沌映射产生伪随机序列，构造M·CR大小的受控测量矩阵。

5)测量矩阵对稀疏信号进行线性运算，获得M·CR大小的观测矩阵。

6)利用超混沌Lorenz混沌序列产生2个长度为M·CR大小的一维混沌伪随机序列，用于之后置乱、扩散操作。

7)对M·CR密文图像进行量化操作使测量矩阵的元素值的大小在[0,255]区间。

8)将量化后的密文图像转换为一维向量后进行无重复置乱，获得处理后的密文图像H1。

9)对密文图像H1进行基于加取模运算的前后扩散算法获得最终的密文图像H2。

2.3.2 解密过程

解密步骤是加密步骤的逆操作。

1)进行扩散、置乱、量化操作的逆过程，获得明文图像K1。

2)通过重构算法和明文图像K1进行信号的重构，获得明文图像K2。

3)对明文图像K2进行小波逆变换、反加权以及反置乱操作，获得复原图像K3。

3 仿真实验

3.1 压缩性能分析

选取3幅256×256大小的标准测试灰度图像Lena、Camera以及Couple作为实验图片，在压缩率设为0.5的情况下通过比较PSNR值来衡量重构图像的质量。加密解密流程如上所述。仿真结果如图6所示。

图6 实验图像

由图6可得在压缩率为0.5的情况下重构的图像在视觉上与原图像很难区分，表明本文提出的算法具有较好的压缩重构性能。

与其他方案的压缩性能对比结果见表2。

表2 不同压缩加密方案的重构性能对比

由表2可以看出，在相同的稀疏基、重构算法的条件下，本文方案在重构图像的质量上较其他算法提高了2～5 dB。因此该方案具有较好的压缩重构性能。

3.2 密钥安全空间

本文方案的密钥参数集为{a,b,c,a1,b1,c1, r,a2,b2,c2,r1}，如果每个参数的初值和长度取1014位小数，那么本文方案的密钥空间则为10154。图像加密算法的密钥空间大于2100就能抵御蛮力攻击[18-19]，所以本文方案的密钥空间足够抵御蛮力攻击。

3.3 直方图分析

直方图反映了图像中每一个像素灰度值的统计特性。明文图像的像素灰度值的直方图具有明显的统计特性，为避免针对于统计特性的统计分析攻击，加密图像的像素分布的直方图需要是均匀的。如图7所示，直方图的横轴表示图像的像素值，纵轴表示像素值的分布情况。由此可看出，密文图像的直方图较为均匀，从密文中很难提取明文的像素统计特征，因此可以抵御统计攻击。

(a) 明文图像直方图

3.4 相关性分析

在一幅一般图像中，每个像素点都与其相邻像素点之间呈现出很高的相关性。一个理想的图像加密系统加密后的图像的相邻像素点的相关性越趋近于0说明性能越好，因此采用相邻像素点的相关系数作为评价一个图像加密系统的优劣的重要指标[20-21]。

相关性的计算表达式如下：

(9)

(10)

(11)

(12)

从水平、垂直、对角方向进行相关性分析，结果如表3所示。

表3 相关性分析

由表3中数据可以看出，2幅图像通过压缩加密算法处理之后，像素间的相关性显著下降，密文图像各个方向的相关性接近于0，因此可以抵抗基于相关性的统计攻击。图像加密效果较好。

3.5 信息熵分析

信息熵反映了图像信息的不确定性，值越大说明信息的不可预测性越好。就256级灰度图像而言，信息熵理论最大值为8[22-23]，由此分别对3幅测试图片加密前后的信息熵进行计算，具体结果见表4。

表4 信息熵分析

信息熵的计算公式如下：

(13)

式中，p(i)表示图像中灰度值为i的值出现的概率。

由表4可知，原图像的信息熵值均要小于加密图像的信息熵值，加密后的图像信息熵值都接近于理论最大值8，由此可见本文加密算法对图像处理的有效性。

3.6 敏感性分析

像素变化率(NPCR)指2幅图像中不同的像素点的个数占全部像素点的比例[24-25]。像素的统一变化强度(UACI)指计算全部相应位置的像素点的差值与最大差值的比值的平均值[24-25]。如果2幅图像的所有相应位置的像素值的值均不相同，则NPCR为100%。2幅随机图像的UACI理论期望值约为33.4635%。

计算公式如下：

(14)

(15)

(16)

式中M和N分别代表图像像素的行数和列数，M1(i,j)和M2(i,j)分别代表改变原始图像位置的像素点前后通过加密算法得到的密文图像。

由表5可知，本文方法在NPCR与UACI上表现较好，接近于理论值，对比文献[16]的压缩加密算法，本文方法的NPCR提升了约0.55个百分点，可有效抵抗差分攻击。

表5 敏感性分析

3.7 鲁棒性分析

为了定量分析本文加密算法在不同噪声环境及强度下的抗干扰能力，对Lena图像处理后的密文图像添加3种不同类型的噪声，包括椒盐噪声(Salt & Pepper Noise, SPN)、高斯噪声(Gaussian Noise, GN)以及斑点噪声(Speckle Noise, SN)[26-27]。由表6可知，通过仿真在不同噪声环境、强度下的PSNR值，本文算法可以较好地抵御噪声攻击，复原的图像可以较为清楚地看清图片信息。

表6 不同噪声环境下的PSNR值

4 结束语

本文通过提出一种新的改进Logistic混沌方程来构造受控测量矩阵，改进后的混沌方程拥有更好的混沌性能，从而提高了加密系统的安全性和信号重构质量的稳定性，通过将压缩感知理论与传统加密算法相结合使得加密系统拥有较好的压缩性能与安全性能。实验结果表明，本文提出的加密方案有较好的抗统计性攻击、抗差分性攻击和抗噪声能力。

由于本文在压缩感知框架内引入了对稀疏信号的系数加权，在提高信号重构质量的同时也影响了噪声情况下信号的重构质量。另外在压缩感知理论中不同的稀疏基、测量矩阵和重构算法都会对重构信号的质量造成影响。因此下一步将对这些方面进行优化，提高重构信号的质量。