岩石损伤本构方程的研究和应用

余秀平，刘保川，吴军国，胥克明，高飞，杨旭

（中铁四局集团第二工程有限公司，江苏 苏州 215131）

1 引言

岩石本构关系的研究是岩石力学工作者关注的重点。实际工程活动中，岩体基本上是经过地质活动后的损伤岩体，因此，对岩石损伤本构方程的研究显得尤为重要。由曹文贵教授，徐卫亚教授[1,2]引进的岩石微元强度服从Weibull分布的概念，建立了岩石损伤统计本构模型，发展了损伤本构方程的研究，但是其模型的建立是基于莫一条试验曲线的，不具有普遍性。本文在前人研究的基础上，基于D_P准则和材料存在应变阀值[3]的事实，对损伤本构方程进行了详细的推导，并对相关参数进行了拟合处理，提高了普遍适用性，以期对实际岩石工程实践有更好的指导作用。

2 损伤本构关系的建立

Lemaitre应变等价性原理[4,5]认为在有效应力作用下产生的应变与同种材料无损时发生的应变等价。传统的损伤理论认为力不能通过损伤传播，然而在岩石受压过程中，岩石微元破坏后还可以传递部分压应力和剪应力。根据文献[2,6]，假定破坏面积对压应力和剪应力的传递效果一样，设传压系数为cn。因为岩石破坏微元在空间3个主方向的投影面积和总面积比率都一样大，所以各个方向的损伤都用D来表示，则岩石损伤本构关系为：

式中：{ε}为应变矢量，{σ*}为有效应力矢量，{σ}为名义应力矢量，[C]为弹性柔度矩阵，D为损伤变量。

3 岩石微元强度和损伤变量的计算

3.1 基于D_P准则的岩石微元强度的求取

基于D_P准则表示的岩石微元强度为：

常规三轴试验中，可以测得岩石名义应力σ1，σ1=σ3以及应变ε1，由（1）式和虎克定律可以求出对应的有效应力和应变：

把式（3）～（8）代入式（2），得岩石微元强度表达式为：

3.2 基于Weibull分布的岩石损伤变量的确定

岩石是一种非均质材料，内含大量随机分布的裂隙、空洞、界面等缺陷，因此，岩石微元在压力作用下的破坏也应该是随机的。假定岩石微元破坏的概率与应力、应变有关，且微元强度服从Weibull分布，则概率密度函数为：

定义岩石损伤变量D为：

根据文献[7]的研究：任何形式的材料内部缺陷或微损伤，其演化过程同时依赖于应变和应变率，即D=D(ε,)。对于恒应变率过程，损伤演化存在某个应变阈值。由刚性压力机做岩石力学试验得到的全应力-应变曲线如图1。

图1 岩石全应力-应变曲线

可知在OA和AB阶段内，岩石通常呈弹性性质，有时在OA段也有残余变形，AB段可能出现细微的开裂，但是岩石的结构和性质这两阶段中并无大的改变，所以我们把屈服强度B点对应的应变εb定义为应变阀值[8]，则损伤变量可以表示为：

联立式（6），（7），（8），（11）可得岩石三轴全应力-应变曲线为：

再联立式（12），（13）可得岩石损伤统计本构方程为：

4 参数m,F0的计算与修正

4.1 参数m,F0的计算

参数m，F0的求取一般有两种方法。

①通过对本构方程进行2次对数变换和线性拟合求m，F0。过程如下：

对式（13）进行对数变换得：

再对式（15）进行对数变换得：

令b=ln(a)，x=ln(k)，F0则可以表示为：

拟合曲线可以表示为：

通过线性回归得到m，b的具体值，再代入到式（17）即可求得F0。

②通过求应力对应变的偏微分，再代入应力-应变曲线峰值点求m，F0。过程如下：

式中：Fc为岩石在峰值点的微元强度，通过把

σc，εc代入式（9）可以计算出具体值。再把σc，εc带入式（13）得：

联立式（19），（20），整理后可得：

其中：

然后把岩石应力-应变试验的相关数据代入即可得到具体值。

4.2 参数m,F0的修正

由式（14）表示的损伤本构方程是建立在单条试验曲线上的，因此在反映不同应力状态下的本构关系时仍然存在误差[9]。为了反映多条试验曲线的综合情况，通过建立m，F0与围压σ3的关系，对其数据进行拟合处理，得到他们之间的关系式，达到参数修正的目的。引用文[10]中的数据，见表1。

不同围压下损伤统计拟合参数 表1

对m-σ3，F0-σ3的散点分布分别进行二次多项式进行拟合，结果如图2，图3所示。

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图2 参数m随围压σ3变化的关系

图3 参数F0随围压σ3变化的关系

拟合后的关系式分别为：

相关拟合系数分别为0.9145，0.9758。把式（26），（27）代入式（14），再选取合适的传压系数，如令cn=0.80，即可得修正后完整的损伤本构方程：

5 损伤本构方程的应用举例探讨

岩石微元体拉，剪作用是同时存在的，因此哪一个先达到临界状态，便以哪种形态发生破坏，所以用单一的破坏准则来研究岩石破坏是不全面的。

5.1 张拉破坏

最大拉应变理论认为岩石破坏是由拉应变引起的，而在岩石三轴压缩试验中，最大拉应变发生在最小主应力方向上，因此定义岩石张拉破坏时的强度指标T为：

式中：ε3为岩石最小主应变，压为正，拉为负。

5.2 剪切破坏

当岩石剪切应变γ超过临界值即可认为发生剪切破坏。由八面体剪应变理论定义临界值γ0：

常规三轴试验中，σ2=σ3，所以，ε2=ε3，可化简为：

式中：ε1和ε3是岩石的最大主应变和最小主应变，压为正，拉为负。把式（28）表示的曲线中某一点所对应的相关数据分别代入到式（33），（35），然后再比较T和γ0，即可知道岩石以何种形式破坏。

岩石发生张拉破坏还是剪切破坏已经有了相应的判别方式，而通过试验拟合T和γ0与围压的关系，以期建立比较精确的岩石强度准则是下一步研究的重点。

6 结论

①为了反映岩石破坏后能够继续传递力的能力，在传统有效应力计算方程中加入传递系数cn，更加符合实际情况。

②针对材料在恒应变率过程中损伤演化存在应变阈值，对岩石损伤本构方程进行了分段处理，与传统方法相比提高了对岩石全应力-应变曲线的拟合度。

③对Weibull分布模型参数m，F0的求取提出了两种方法，即传统的二次取对数法和应力对应变取偏微分法，并对参数进行了拟合修正。

④举例说明了损伤本构方程的应用，同时也提出了不足之处，以及讨论了当前工作的难点所在，指明了下一步研究的方向。