写错因思对策是提升数学学科素养的有效途径

吴什艳

一、问题的提出

《高中数学课程标准》（2017版）课程目标增加了“以学生发展为本，落实立德树人根本任务，培养和提高学生的数学核心素养”。同时也指出了数学核心素养是“具有数学基本特征的、适应个人终身发展和社会发展需要的人的关键能力与思维品质”，是数学课程目标的集中体现，是学生在数学学习的过程中逐步形成的。

数学解题是学生学习数学的最重要学习活动，但同学们进入高中阶段后数学解题的出错率陡然增加，当我们学生出现解题错误时一般情况下都是老师针对学生的错题作简单讲评，或是学生对一下正确答案自己纠正一下，或是做错题集了事。但是我们不难发现有些错误，不管老师评讲多少次，学生还是一错再错，使我们老师感觉非常无奈。因此我们《学科核心素养视角下高中“课外数学写作”学习方法的研究》（批准号为2019YQJK458）省级课题小组成员对这方面进行了研究，发现主要原因是这些方式处理错题时，老师在课堂上由于时间有限，学生人数较多，没法对所有错题出错原因进行深度剖析，更没法针对每一位学生特点进行讲评;因此我们同学对自己做错题的原因认识比较肤浅，没有进行深入理解，故也没能找到有效的防错治错方法与策略。针对这些问题与原因，我们课题组成员对错题仅是我们老师在课堂上课评的方式进行了改进，引导学生针对自己所做的错题利用课堂内外时间进行数学写作，使学生通过这一学习方式的改进，使学生能针对自己的错题原因进行深度思考，从而能找到有效的防错治错对策与方法，进而助力学生的数学学科素养生成。

二、数学错题写作

所谓数学错题写作就是以数学错题为素材进行写作，写作内容主要是学生对一类错题或专题进行错因分析，并且针对错因制定防错治错对策。主要形式可以个人针对自己在某一内容经常会犯的错误进行写作，这也可是老师针对大部分同学们经常会犯的共同错误指定内容及写作题目进行小组合作写作。

三、案例显现

案例1（个人自写案例）

平面向量错题分析与对策

错题集

1.判断下列命题的真假：

①若∥，∥，则∥

②已知与共线，则A，B，C，D四点共线.

③判断真假：若·=·，则=或=

④（·）·=（·）·

错解：①真命题，②真命题，③真命题，④真命题。

2.已知=（n，4），=（1，n）若向量与共线且同向，则n=

错解：由已知条件得=（n，4），=（1，n），由与共线得n2=4，∴n=±2。

3.已知=（2，1），=（x，1），x∈R，与的夹角为θ，若θ为锐角，则x的取值范围是__.

错解：∵cosθ=，且θ为锐角，∴cosθ>0，

即>0，解之得x>-，故x的取值范围是（-，+∞）

错因分析：

1.没有正确理解有关概念。如1.①中没有理解好零向量可以与任意向量共线，故看到∥，∥，就错误地认为∥是正确的。②把向量共线与直线共线的概念混淆了，故当看到与共线就错误地认为直线AB与直线CD是同一条直线故判断A，B，C，D四点共线.正确的。第2题没有正确理解两向量成角与两条射线成角的概念，故错误地把向量与所成角看成∠CAB而出错。

2.审题不够细心。如第2题在审题的时候虽然注意到了=（n，4），=（1，n），且与=（1，n）共线得n2-4=0，n=±2，但却忽视了它们还有同向的条件，故错填了±2这个条件。

3.没有弄清楚向量的等式性及向量的运算法则。如1③由于没有真正弄清向量的等式性质，而错误地把实数的等式性质ab=ac可得a=0或b=c当作向量的等式性质，故而错误认为是·=·，则=或=正确的，再如又如1④，也是由于没有弄清向量的数量积运算法则，把实数中运算法则（ab）c=（bc）a错误当成向量的运算法以致于把（·）·=（·）·看成是正确的。

4.等價转换时出了差错。如3题中与的夹角为θ为锐角等价成>0，错漏了与共线且方向相同时，时与的夹角为θ=0，此时>0也成立的。

5.计算能力差。如对于第3题在计算时θ为锐角时利用这条式子>0进计计算，这不仅仅是等价转解时出了差错，即使是做了等价转换那么还要计算一条式式≠1，显然这运算量很大，也是很难保证运算正确。

防错治错对策

1.上课是要认真听课。有些概念法则理解出错就是没有认真听课造成的。如第1题，课堂上老师这类问题早已在课堂上分析过，但是由于自己上课时注意力不集中，没有听清老师的分析，对这个问题没有正确的理解造成的，故上课时应该认真听课。

2.课堂上所做的笔记要隔三几天翻看一下。有些问题老师课堂上讲得很清楚，自己也能听明白理解得了，还做了笔记，但是由不经常翻看，故忘记了。如第1题，上课时虽然没有认真听课，其实是做了笔记的，若能及时进行翻看，把不明白的地方及时弄明白，把该熟记的地方记熟就不会出现这类问题的错误了。

3.做题时要审准题。如第2题这么简单的题之所以做错就是因为审题不准出错的，因此在计算时要记得认真审准题，做完题后要抽空复查一下，不要慌里慌张的，要保持平常心态，做到会做的题都能都能做对。

4.这段时间要多做点题，特别是数学题。可能近段时间少做数学题，特别是计算题吧，在考试时做题题感很差，等价转换时总会错漏条件;做计算题时计算起来很生硬，有点患得患失的感觉，做起计算题时不仅速度慢还很容易出错，甚至很简单的计算题都会算错。故这段时间要多做点数学题练练手感，总结点计算经验和方法， 提高点计算的准确率和速度。如第3小题，若平时能多点做题及早累积到经验：“两个非零向量与的夹角为θ为锐角等价于>0且λ即x1x2+y1y2>0且x1y2-x2y1≠0。”那么在解这题时不仅提高了准确率，也大大提高了解题速度。

案例2（此例是由老师指定内容，由学生小组合作完成）

直线与平面所成的角错因分析与对策

近段时间，大家在做立体几何中的线面成角问题时总是会出现错误，以至于这类题丢分严重，我们学习小组经过合作研究发现主要有如下几点原因。

1.线面成角的有关知识不熟悉。如有些同学出现了直线与平面所成角的余弦值为负数，把直线的方向向量的余弦值当作直线与平面所成角的余弦值等。

2.解题方法技巧掌握得不全面。大部分同学都比较熟悉同向量法求线面成角问题，但对几何法掌握得不是很好，故一旦遇到一道空间直角坐标系难以建立时，我们的同学又不会从几何法出发来想解法就乱来了， 而会几何法的同学也仅仅是知道定义法，对于平行转移法、等体积法也没有掌握，故造成解题思路过于狭窄，而遇到不是自己熟悉的方法可以解决的问题就出现较大的失误面丢分，甚至拿不到分的现象。

3.书写表达不规范。很多同学表达没有按立体几何题计算题的常规步骤“一作、二证、三计算”进行书写表达。大部分同学欠的是证明这个步骤，有的同学写了也没有按三段论格式来表达;也有的同学欠的是作图说明这个步骤，有的同学更离谱的是有作图说明，但没有把辅助线作出来。

4.作图不规范。如有的同学建立空间直角标系时没有按斜二测画法来画图，有的同学三条坐标轴的正方向上没有画出箭头。其它地方主要表现在画图时虚实不分，没有按“可见地方画实线，不可见地方画虚线。”原则画图，而出现主要是辅助线者画虚线。这可能是受初中画图思维影响吧。

5.计算能力欠佳。这是个很严重问题，很多同学本来是知道怎样做线面成角问题的，但是由于计算能力太差了，故总是算出结果是错误的而丢分，实在是太可惜了。

鉴于以上原因，我们制定了以下的应对策略。

1.熟记并理解直线与平所成角的定义与有关性质定理，每两位成学结成一对，相互督促检查，做到每一位同学都能熟记并理解有关概念与定理。

2.平时做题时要学会一题多解，学会从多个角度分析问题，掌握从多种解决问题的方法，在考试划进才能做到得心应手而不至于无从下手导致乱写。

3.书写要按立体几何的计算题的“一作、二证、三计算”的解题步骤进行表达，证明过程也要按三段论格式进行书写，做到“重论据、有条理、合乎逻辑”的要求。

4.熟记作图法测，按规则做图，这方面大家以后注意点，应该很快就可以纠正过来的。

5.想方设法提高自己的计算能力。计算能力的提高很大程度上只能依靠自己，故大家这段时间有空多做点计算有关题目，积累点计算方面的经验，把自己的计算能力提上来。

四、案例分析

以上案例1是一位高一学生在学习平向向量单元练习时针对自己所犯的错误而自定内容与题目写的，案例2是在高三复习时针对学生学习线面成角时布置的定向内容定向命题经学习小组讨论，再由学习小组长执笔写成的。由这两个案例我们不难看出，高中生进行数学错题写作至少有如下几方面好处。

1.有利于学生转变学习观念，形成良好的数学学习习惯。数学学科核心素养是在数学学习中逐步形成的，故养成良好的数学习习惯是数学学科核心素养有效生成的必由之路。高中数学错题写作过程中，学生的目的就是防止同样的错误不要再发生，故学生在数学写作过程中必须积极主动地运用自己已有的知识和经验对自己所做的错题错因进行深度剖析，并深刻理解，然后制定出有效的防错治对策与策略，在小组合作写作过程中还可以提供自己不懂问题能大胆向别人请教，倾听别人意见与建议的机会，同时也提供了自己向有需要的错题答疑及错因分析同学帮助，发表自己对问题看法的机会。故高中数学通过数学错题写作，不仅仅能有效防止同类错误问题重复出现，同时也能改变以往仅仅从老师或同学学中获得正确答案的被动学习观念，在错题写作有利于同学们成成积极主动、深度学习、独立思考、相互交流等良好的学习习惯，为学生的数学学科素养生成铺设一条顺畅大道。

2.有利于学生完善四基。所谓四基是指数学基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验，四基不仅是正确解题的基本条件，同时也是数学学科素养生成的沃土。通过这两个案例我们不能发现，学生不能正确解题的重要原因是对数学基础知识的错误理解如案例1中对平面向量的有关概念理解出错，案例2中对线面成角概念理解不到位等，对数学基本技能把握不位，如两个案例中错因分析中都提到的计算能力欠佳，对数学思想感悟不深刻，如案例1中错因分析提到的转化过程出现不等价现象，基本活动动经验不足，如案例1中出错原因之一就是受定势思维不良影响，案例2中也提到了错因之一就是没有对线面成角求法、累积不全面等。从中我们不难看出，四基的欠缺会严重影响着数学解题的正确性，四基的完善则是正解題的基础。而我们的学生在进行数学错题写作时，不仅可以发现自己在四基方面的不足，还可以有针对性地进行补缺，使自己的四基更加完善。前面的两个案例1中的学生针对自己在平面向量的四基不足，案例2中的学生则是针对自己在线面成解方面的四基不足都做了有针对性地补漏。

3.有利于学生提升四能。四能是指发现问题和提出问题的能力、分析问题和解决问题的能力。史宁中教授认为：发现问题和提出问题的过程是学生主动运用数学知识、技能、思想及至活动经验进行数学抽象、数学表达、数学交流等的过程。在发现问题和提出问题之后，进一步对问题做出分析，选择解决问题的策略、方法，最终解决问题，整个问题解决过程突出了能力培养并融入数学学科核心素养的要求，有效地支撑了数学学科核心素养的发展。错题写作过程不管是独立思考如例1或合作交流如例2，都要求我们学生积极主动运用自己已有的知识和经验对错题错因进行分析才能发现做题出错的原因，并找出补救措施，防止以后再做同类问题时不再出现类似的错误。这个过程也是学生发现问题提出问题，分析问题及解决问题的过程，故数学错题写作有利学生四能提升。

4.有助于学生的书写表达能力的提高。从我们的实践经验来看，学生在进行数学错题写作过程中不仅要把自己所想的表达出来，还要想方设法使自己想要表达的意思清楚，前后之间逻辑结构合理，语句简洁明了等。为了要写好一篇数学题作文必定会进行反复斟酌，甚至有时为了能准确地表达一个意思，还会与同学、老师进行互动交流。由此可见，学生的错题写作对提高他们的书写表达能力是非常有帮助的。

结语

综上可知，高中学生进行数学错题写作过程中，他们必修充分发挥自己的主观能动性，充分调动自己已有的知识和经验对题目做错的原因进行分析，并找到防错治错的方法，而且还要用语言文字表达出来。这不仅能有效防止同类错误反复出现，而且有助于培养学生养成良学的学习习惯，完善四基，提升四能，提高学生的书写表达能等，从而有效提高学生解题能力，提升解题的准确率，同时有利于学生学会用数学眼光观察世界、用数学思维思考世界、用数语言表达世界，进而有助于提升他们自身的数学学科核心素养。

【本文系广东省教育科学规划课题“学科核心素养视角下高中‘课外数学写作’学习方法的研究”（课题编号：2019YQJK458）的研究成果】