粒间摩擦和层厚比对二维分层颗粒系统底部响应的影响

雷云， 刘源， 徐同桐， 何子苗

(兰州交通大学土木工程学院， 兰州 730070)

颗粒系统由大量离散形式的颗粒粒子通过接触作用构成，由于颗粒粒子独特的变形及运动特点，颗粒系统具有极强的多变性及动态性[1]，而颗粒物质的离散性质通常导致其出现各向异性力链[2]和空间不均匀的应力分布[3-6]，所以颗粒系统力学性能的复杂性很难运用传统连续介质理论进行解释[7-8]。

颗粒系统的力链结构及其稳定性受多方面因素影响，包括颗粒材料的内禀性质(如杨氏弹性模量、泊松比和粒间摩擦系数等)、颗粒体系的力学条件(如初始条件、边界条件和外加荷载分布等)以及颗粒系统的初始构建方式等。其中，粒间摩擦系数和颗粒物质体积分数是决定颗粒介质静力学[9-18]、流动形态[19-20]和颗粒破碎[21-22]等的重要参数。孙其诚等[9]认为对重力作用下的单分散静态颗粒系统，摩擦系数影响了接触力分布曲线形态以及接触力与重力的夹角。Barreto等[10]发现当颗粒材料受到各向异性应力作用时，强力链传递相对较大的力，形成平行于主应力方向的力链结构，摩擦力对提高强力链的稳定性有明显作用。周玉县等[12]通过数值模拟得出颗粒接触刚度比和粒间摩擦系数对岩土颗粒材料的剪切强度影响较大。刘源等[15]详细讨论了无缺陷颗粒系统和有缺陷颗粒系统的底部接触力特征：摩擦系数影响了单分散颗粒系统底部接触力的分布形态；在有缺陷颗粒系统中，缺陷尺寸对系统底部接触力有显著影响。杨舒涵等[16]通过数值模拟改变粒间滑动摩擦系数，发现了强接触网络中参与形成“力链”的颗粒数目基本不变，但影响了粒间法向接触力大小及各向异性的强弱，颗粒系统抗剪强度 随之改变；摩擦系数会明显改变弱接触网络的配位数分布，对颗粒体系剪胀程度的改变影响显著。Fang等[17]采用在光弹性颗粒介质中放置两根钢柱的二维加载模型，探讨了颗粒介质中拱效应的特征及其形成规律。王怡舒等[18]通过离散单元法分析了不同子接触网络的组构张量在剪切过程中的演变规律，并探究了抗转动系数对子接触网络的各向异性演变规律及对宏观应力的贡献程度的影响。刘宏伟等[19]对不同级配颗粒材料进行了滑动摩擦试验，探究了粒径、质量配比等级配因素对颗粒材料底面动摩擦系数的影响。蒋明杰等[20]基于大型静止侧压力系数试验仪建立三维仿真模型，探究了摩擦系数、孔隙率、刚度等细观参数对粗粒土的影响规律。张海涛[21]通过一维压缩试验研究了三种不同颗粒材料在高压条件下的力学特性。Kang等[22]将连续理论与非连续理论相结合，模拟了在复杂级配与应力影响下颗粒系统中力链演变及颗粒破碎，探讨了力链演变与颗粒破碎之间的内在关联机理。

对于二维复合颗粒系统，刚性层通常会促进接触力的传播，减小刚度比可以增大复合颗粒系统的力学响应范围，增强了系统的弹性；而软弱层对力的传播有耗散作用；刚软层的比例对颗粒系统底部应力分布特征有显著影响[11,13-14]。在工程实际中经常遇到由不同材料组成的复杂颗粒系统，与单分散颗粒系统相比，对其在系统内力的传递研究并不成熟。已有的工作虽然对二维分层颗粒系统的力学性能已经展开了探索[14]，并指出粒间摩擦是决定复杂颗粒系统力学响应的一个重要参数，但并未深入探讨，缺乏不同层厚比在不同粒间摩擦下对系统中力学响应进行的详细探讨。现建立二维分层颗粒模型，主要考虑粒间摩擦和软硬层厚比对该系统底部力学响应的影响，以期揭示二维分层颗粒系统中力链的传递规律，为该系统的实际力学应用提供参考。

1 数值模型

建立与文献[15]等尺寸参数相似的30×20的规则排列模型，颗粒半径r=0.005 m，密度ρ=7 850 kg/m3，硬颗粒法向和切向接触刚度分别为：kn1=1.0×107N/m，ks1=0.8kn1；软颗粒法向和切向接触刚度分别为：kn2=0.01kn1，ks2=0.8kn2。集中荷载F=10 N，颗粒与边界间的摩擦系数μ2=0.2。为了研究上下分层双分散颗粒系统底部受力情况，构建如图1所示的双分散颗粒系统：上软下硬双分散颗粒系统[图1(a)]和上硬下软双分散颗粒系统[图1(b)]。引入层厚比定义为

(1)

(2)

m为硬颗粒层数；n为软颗粒层数图1 上下分层双分散颗粒系统的模型示意图Fig.1 Model diagram of upper and lower layered double disperse granular system

式中：γ1为硬层厚比；γ2为软层厚比；m为硬颗粒层数；n为软颗粒层数。

2 计算结果

2.1 上软下硬双分散颗粒系统的计算结果

首先建立γ1=0.5的上软下硬型颗粒系统，改变粒间摩擦系数μ1的取值范围，探究μ1对该系统底部响应的影响，如图2所示。从图2中可以观察到系统底部力分布均为对称分布，且底部受力最小值均出现在颗粒与边界接触处。在μ1=0时底部力分布为一个标准的双峰分布。随着μ1的增加，中间峰谷上移，在0.3≤μ1≤0.4时双峰间出现一个平台，将其称之为平台分布。经历短暂的平台分布后，底部力逐渐向中间集中，当μ1>0.4时，底部受力呈现出单峰分布。

图2 粒间摩擦系数μ1对上软下硬分层颗粒系统底部力分布影响Fig.2 Influence of intergranular friction coefficient μ1 on the force distribution at the bottom of the upper soft and lower hard layered granular system

进一步探讨粒间摩擦系数μ1对该系统底部响应的影响，分别取系统底部力的平均力、峰值及中间力(颗粒位置为±5 mm处的底部颗粒接触力的平均值)进行分析，如图3所示。可以看出：μ1=0时，平均力为最大值1.20 N，随后曲线急速下降；当μ1=0.3时，底部平均力达到最小值1.07 N，随着μ1继续增加，底部平均力虽有上升趋势但趋于饱和。说明粒间摩擦的出现会使系统中力向底部的传递大幅度被削弱，但当摩擦系数增大到0.3以上时，系统中的力向底部的传递略有增加，增加幅度缓慢。观察底部力峰值曲线可知：0≤μ1≤0.3时，变化趋势与平均力曲线类似；μ1=0.3时，峰值为最小值1.19 N，随后峰值开始增大；μ1≥0.6后，增加趋势趋于平缓；μ1=1.0时，峰值达到最大值1.48 N。底部中间力随μ1的增加先缓慢减小，μ1=0.2时，中间力为最小值0.94 N；随后曲线变化趋势与峰值曲线相似，当μ1≥0.6时，中间力与峰值曲线重合；μ1=1.0时，中间力达到最大值。可以看出，对于γ1=0.5的上软下硬型颗粒系统，随着粒间摩擦系数的增大，系统中力的传递方向随之发生改变，逐渐向系统中间区域偏移，系统对力的聚集作用随之增强，最后系统底部中间出现最大值。这与文献[15]中单分散系统中峰值突出的现象相似。

图3 粒间摩擦系数μ1对上软下硬分层颗粒系统底部平均力、峰值和中间力变化影响图Fig.3 Influence of intergranular friction coefficient μ1 on the variation of average force, peak value and intermediate force at the bottom of the upper soft and lower hard layered granular system

保持粒间摩擦系数μ1不变，探讨相同摩擦作用下，层厚比不等时上软下硬型颗粒系统的底部响应形态的变化。从图4(a)、图4(b)可见，上软下硬型系统(0<γ1<1.0)底部力的分布与全软颗粒组成的单分散颗粒系统(γ1=0)类似，但明显区别于全硬颗粒组成的颗粒系统(γ1=1.0)，位于上部的软颗粒层在力的传递中占主导地位。在摩擦系数较小和较大时，上软下硬型系统的底部响应形式不随γ1的增加发生本质变化。进一步从图4(c)中可以看出，无论μ1=0.2或0.5，γ1处于0～0.9时，平均力在一固定值附近轻微波动。γ1=1.0时，平均力远远大于γ1处于0～0.9时，说明单分散软颗粒系统中添加下部硬颗粒层对底部力的传递作用并不会明显增强。

图4 硬层厚比γ1对上软下硬分层颗粒系统底部力分布及平均力影响图Fig.4 Influence of γ1 on the bottom force distribution and average force of the upper soft and lower hard layered granular system

进一步地，为了论证系统底部响应转变的机理与粒间摩擦系数、硬层厚比的关系，给出图5所示的相图。可以看出，上软下硬型颗粒系统随着粒间摩擦的增大，底部响应的分布状态存在三种形式(双峰、平台和单峰)，其转换顺序均为双峰→平台→单峰，相位转换点均在μ1=0.4之下；硬层厚比γ1较小时，相位转换点较低，μ1处于0.2～0.3底部响应为平台分布；γ1=0.3时，平台区域最大，μ1处于0.2～0.4为平台分布；γ1较大时，相位转换点升高，μ1处于0.3～0.4为平台分布。因此，粒间摩擦系数μ1≤0.2或μ1≥0.4时，硬层厚比对底部响应的转变几乎没有影响。

图5 粒间摩擦系数和硬层厚比对底部响应影响的相图Fig.5 Phase diagram of the influence of intergranular friction coefficient and hard layer thickness ratio on bottom response

2.2 上硬下软双分散颗粒系统的计算结果

建立γ2=0.5的上硬下软型颗粒系统，改变粒间摩擦系数μ1的取值范围，探究μ1对该系统底部响应的影响，如图6所示。从图6中可看出，在μ1较小时，中间峰值较为突出，随着μ1的增加，峰值虽有下降，但底部响应均为单峰分布并未出现平台分布及双峰分布，这与上软下硬型系统的底部响应并不相同。

图6 粒间摩擦系数μ1对上硬下软分层颗粒系统底部力分布影响图Fig.6 Influence of intergranular friction coefficient μ1 on the bottom force distribution of the upper hard and lower soft layered granular system

如图7所示，随着粒间摩擦的增加，底部平均力整体呈下降趋势。粒间摩擦系数μ1较小时，平均力从1.10 N减小到1.04 N，下降速度较快；当粒间摩擦系数μ1大于0.5之后，平均力虽有波动，但趋向于一个固定值0.95 N。峰值/中间力(此时，该系统底部响应没有出现双峰分布，故峰值出现在系统底部中间，峰值曲线与中间力曲线重合)以μ1=0.5为界，当粒间摩擦系数μ1较小时，峰值/中间力随μ1的增加由1.38 N缓慢增加到1.50 N；当粒间摩擦系数μ1>0.5后，峰值/中间力随μ1的增加迅速减小到1.08 N，并在其附近上下波动。这明显与上软下硬型系统不同，在上硬下软型系统中，粒间摩擦的出现虽然也削弱了力向底部的传递，但粒间摩擦的增加使中间区域的力向两侧分散，这种分散作用在μ1>0.5后趋于平缓，粒间摩擦对其影响变小。

图7 粒间摩擦系数μ1对上硬下软分层颗粒系统底部平均力、峰值/中间力变化影响图Fig.7 Influence of intergranular friction coefficient μ1 on the variation of average and peak/intermediate forces at the bottom of the upper hard and lower soft delaminated granular system

如图8所示，保持μ1(μ1分别取0.2和0.5)不变，探讨相同摩擦系数作用下，层厚比不同时上硬下软型颗粒系统的底部响应形态的变化。可以看出，与上软下硬型系统类似，上硬下软型系统(0<γ2<1.0)的底部力分布更接近于全软颗粒组成的单分散颗粒系统(γ2=1.0)，而明显区别于全硬颗粒组成的颗粒系统(γ2=0)，位于下部的软颗粒层在力的传递中依然占主导地位，但层厚比对系统底部响应形式影响较大。从图8(a)中可见，μ1=0.2的情况下，γ2≤0.3时，底部响应为平台分布；0.4≤γ2≤0.5时，响应为单峰分布；γ2≥0.6时，响应转变为双峰分布。从图8(b)中可知，μ1=0.5时，γ2=0的单分散硬颗粒系统底部响应为单峰分布；0.1≤γ2≤0.2时，底部响应为平台分布；0.3≤γ2≤0.5时，底部响应为单峰分布；γ2>0.6时，底部响应为双峰分布。图8(c)中可以看出两条曲线走势相似，γ2=0时，平均力最大值分别为2.0 N和2.3 N；随着γ2增大到0.1，平均力分别迅速减小到1.1 N和0.97 N，随后趋于平缓。这表明，该系统中力从硬颗粒层传递到软颗粒层时传递方向会发生改变，下部软颗粒层的设置会大大削弱力的传递作用，但随着软层厚比的增大，平均力并不随之减小，而是在固定值附近波动。说明上硬下软型系统中下部软颗粒层的厚度对力向底部传递的总量没有影响。

图8 软层厚比γ2对上硬下软分层颗粒系统底部力分布及平均力影响图Fig.8 Influence of γ2 on the bottom force distribution and average force of upper hard and lower soft delaminated granular system

如图9所示，该种类型系统的相图与上软下硬型系统明显不同。软层厚比γ2=0时，此时系统为单分散硬颗粒系统，底部响应随粒间摩擦系数μ1的增大按双峰→平台→单峰的顺序转换；当γ2进一步增大时，底部响应双峰形式消失，平台区域占主要部分；随着γ2的增大，平台区域减少，单峰区域占主要部分；将γ2增大到0.4～0.5时，底部响应均为单峰形式；进一步增大γ2，双峰区域出现并逐渐增大，此时响应只存在双峰和单峰两种相位，底部响应随粒间摩擦系数μ1的增大按双峰→单峰的顺序转换，当系统为单分散软颗粒系统(γ2=1.0)时，响应恢复为双峰→平台→单峰的顺序，且相位转换点相同。

图9 粒间摩擦系数和软层厚比对底部响应影响的相图Fig.9 Phase diagram of the influence of intergranular friction coefficient and soft layer thickness ratio on bottom response

3 结论

通过分析粒间摩擦系数μ1和层厚比γ1、γ2对上下分层双分散颗粒系统内部力的传递与底部响应的影响，得出以下结论。

(1)对于单分散颗粒系统，类似于文献[15]，粒间摩擦的存在会改变整个颗粒系统的弹性，力在系统中的传递会发生变化，粒间摩擦系数很大时，底部响应会转变成单峰分布，但其分布曲线的演变过程不同。对于上软下硬型双分散颗粒系统，其底部响应曲线的演变随粒间摩擦系数的增大与单分散系统完全类似，均是按照的双峰→平台→单峰的顺序演变，但其底部平均力和峰值随着粒间摩擦的出现迅速减小，在粒间摩擦系数较小时，平均力和峰值达到最小值；随着粒间摩擦的进一步增加，平均力缓慢增大，峰值则在先快速减小后平缓增大，中间力则在粒间摩擦较小时略有减小，之后随粒间摩擦系数的增大而增大。对于上硬下软型双分散颗粒系统，虽然在粒间摩擦系数较大时，系统的底部响应曲线均为单峰曲线，但其演变过程只存在一个或两个相位，并不严格按照双峰→平台→单峰的规律演变。平均力随着粒间摩擦的增大呈波动型下降，峰值和中间力略有增加，在μ1>0.5之后，平均力在一个固定值附近波动，峰值和中间力减小到固定值附近波动。也就是说，较小的粒间摩擦使底部力向两侧边界扩散，减小了底部边界的负担；但对于上软下硬型系统，较大的粒间摩擦并不能使边界的负担过多减少，而是会改变力的传递方向，使系统中间区域的力向中间点聚集，而对于上硬下软型系统，则使中间区域的力向两侧扩散。

(2)分层颗粒系统中的软颗粒的位置在力的传递过程中占主导地位，对于两种类型的分层系统，其底部力的分布曲线和平均力值更接近于全软颗粒组成的单分散系统，软硬层厚比的变化几乎不影响底部平均力的变化。γ1的变化不会引起上软下硬型系统底部响应的明显变化，力从软颗粒层传递到硬颗粒层时，力的传递方向没有明显改变。而对于上硬下软型系统，γ2的变化会引起底部响应的变化，力从硬颗粒层传递到软颗粒层时，由于软颗粒层对力的吸收限制作用，力的传递方向发生明显改变，力更容易向系统中间聚集。

(3)在上软下硬型系统的底部曲线相图中，三种相位呈层状分布，单峰区域占主要部分，平台所占区域较窄，随着μ1的增大，γ1只会影响相图中的相位转换点位置，不改变相位转变顺序；而在上硬下软型系统中，单峰区域呈M形分布，对应于不同的γ2，随着μ1的增大，相位的转换形式不同，在软颗粒较少时，平台区域较大，在软颗粒较多时，双峰区域较大，当软颗粒和硬颗粒层比例接近时，底部曲线为单峰形式。此时，μ1和γ2都是影响系统中力的传递的主要因素。