浅析图像的认识和应用

摘 要：图像作为一种表达物理量之间关系的一种方式，在物理教学中有着广泛应用.本文就如何正确理解图像的意义和应用作些探讨.

关键词：图像;应用图像;斜率;截距;面积;函数关系;等效

中图分类号：G632   文献标识码：A   文章编号：1008-0333（2022）10-0087-07

图像是表示物理规律的方法之一，它可以直观地反映某一物理量随另一物理量发生变化的函数关系，图像具有直观、形象、简明的特点.运用图像处理有关物理问题可达到化难为易，化繁为简的目的.图像不仅在力学中有着广泛应用，而且在电学、热学中也有不可或缺的作用.因此，在中学物理教学中，不仅要理解图像的物理意义，而且能运用图像解决有关问题，为此，本文就如何理解图像的物理意义和如何有效运用图像解决物理问题作些探讨.

1 围绕一个核心

物理图像种类很多，在高中物理中主要涉及的图像有：在力学中有x-t图像、v-t图像、F-t图像、F-x图像、a-F图像、a-1/m图像、振动图像x-t、波动图像y-x等;在电学中有I-t图像、U-I图像、电场中的E-x图像、φ-x图像、交流电中的i（或e）-t图像、电磁感应中的-t图像、E-t图像等;在热学中有F-r图像、P-V图像、V-T图像、P-T图像等;在光电效应中有Ek-ν图像等.

物理图像直观地表达两个物理量间的函数关系，如图1 所示，图1（1）所示的图像表示物体速度随时间的变化规律，图1（2）所示的图像表示分子力随分子间距离的变化规律，图1（3）所示的图像表示光电效应产生的光电子最大初动能随入射光的频率的变化规律.因此，在求解有关图像问题时，必须紧紧抓住图像与函数间的对应关系这个核心，以便迅速找到解题的切入口.

2 把握两种方法

2.1 公式与图像的转化

如果要作出一个物理图像，则必须知道相关物理量间的函数关系，明确哪个物理量是自变量，哪个物理量是因变量，同时，还要明确与之相关的一些常量，最后作出图像.

例1 （2016年江苏卷）小球从一定高度处由静止下落，与地面碰撞后回到原高度再次下落，重复上述运动，取小球的落地点为原点建立坐标系，竖直向上为正方向，图2所示的速度v和位

置x的关系图像中，能描述该过程的是（  ）.

分析 取竖直向上方向为正方向，设小球开始时距地面的高度为h，当小球距地面的高度为x时的速度为v，根据自由落体运动规律可得v2=2g（h-x）.

这样，就找到了因变量v随自变量x的函数关系，由数学知识可知，这个函数对应v-x图像上的图线是一条开口向左的抛物线，可见，选项A正确.

2.2 图像与情境的转化

要利用图像解决物理问题，则必须弄清图像所给的物理现象、状态、过程和变化的实际情境，因为，在图像所呈现的情景中隐含着相关的物理条件，在图线的变化规律中体现了物理量间的函数关系，只有这样，才能有效实现图像与情景间的转化.

例2 如图3所示，是某一轻质弹簧的长度L和弹力F大小的关系，试由图线确定：

（1）弹簧的原长;

（2）弹簧的倔强系数;

（3）弹簧伸长2.5cm时，弹力的大小.

分析 设弹簧的原长为L0，当弹簧的长度为L时，根据胡克定律得

F=k（L-L0），

也即弹簧的弹力与弹簧的形变量L-L0成正比.当弹簧的弹力等于零时，其长度即为原长，即L0=10cm.

当弹簧的长度L=15cm时，从图象中可知，弹簧的弹力F=10N，则：

k=FL-L0=100.15-0.10=200N/m

当弹簧伸长2.5cm时，弹力的大小为：F=k（L-L0）=200×0.025N=5N.

3 熟悉三类题型

3.1 根据图像分析问题

根据所给图像，结合相关的图像特点和物理规律，分析和解决相应的问题.

例3 （2015年广东）甲、乙两人同时同地出发骑自行车做直线运动，前1小时内的位移-时间图像如图4所示，下列表述正确的是（  ）.

A.0.2～0.5小时内，甲的加速度比乙的大

B.0.2～0.5小时内，甲的速度比乙的大

C.0.6～0.8小时内，甲的位移比乙的小

D.0.8小时内，甲、乙骑行的路程相等

分析 由于题目给出的是位移时间图像，则图线的斜率表示速度的大小，在.0.2～0.5小时内，甲和乙都做匀速运动，则选项A错误;在.0.2～0.5小时内，图线甲的斜率大于图线乙的斜率，说明甲的速度大于乙的速度，选项B正确;在0.6～0.8小时内，甲的位移为x甲=5km-10km=-5km，乙的位移为x乙=5km-8km=-3km，可见，甲的位移大于乙的位移，选项C错误;在0.8小时内，甲的路程s甲=10km+5km=15km，乙的路程s乙=8km+4km=12km，因此，甲的路程大于乙的路程，选项D错误.

3.2 画出图像解决问题

根据物理情景和物理条件，作出相应的图像，再利用图像的特点求解有关物理问题.

例4 甲、乙、丙三辆汽车以相同的速度同时经过某一路标，从此时开始，甲车一直做匀速直线运动，乙车先加速后减速，丙车先减速后加速，它们经过下个路标时速度又相同，则（  ）.

A.甲车先通过下一个路标

B.乙车先通过下一个路标

C.丙车先通过下一个路标

D.条件不足，无法判断

分析 分别作出三辆汽车运动的v-t图像，如图5所示.考虑到三辆汽车经过下一个路标时速度相同，而且它们經过的位移相同，由此可作出相应的v-t图像，从图像上可以看出，三辆汽车经过这两个路标所用的时间满足如下关系：t丙>t甲>t乙.所以，选项B正确.图5

3.3 转化图像求解问题

将问题中已知的图像进行适当的转化，作出从不同侧面（不同函数关系）但反映同一物理过程的图像，以使转化后的图像更容易切入解题突破口.

例5 一个质量m=4kg的物体静止在足够大的水平地面上，物体与地面间的动摩擦因数为μ=0.1.从t=0开始，物体受到一个大小和方向呈周期性变化的水平力F的作用，水平力F随时间的变化规律如图6所示.则在83s内物体的位移大小为m.

分析 取物体为研究对象，在0-2s内，它受到F-μmg的合力作用，由牛顿第二定律得：F-μmg=ma1

即a1=F-μmgm=12-0.1×4×104=2m/s2

2s末物体的速度为：v1=a1t1=2×2m/s=4m/s

在2s-4s内，物体受到F+μmg的合力作用，由牛顿第二定律得：

F+μmg=ma2

即a2=F+μmgm=4+0.1×4×104=2m/s2，物体做匀减速运动.

4s末物体的速度为：v2=v1-a2t2=4m/s-2×2m/s=0

这样，我们作出该物体运动的v-t图像，如图7所示.由于v-t图像中图线与坐标轴围成的面积等于物体位移的大小，所以，从图像上可以求出物体在83s内的位移：x=20个三角形面积+0.5个三角形面积+1个小梯形面积

=[4×42×20+2×42+2+42]m=167m

4 提高四个能力

4.1 认识图像

认识图像是指弄清坐标轴代表什么物理量，图像反映哪两个物理量间的函数关系，知道图像中的点（包括起点、交点、拐点和终点等）、线、最大（小）值、截距、斜率、面积等的物理意义.（1）点.图像能直观地反映应变量与自变量间的函数关系，图像上的某一点表示应变量和自变量在变化过程中某一瞬时对应值.交点表示两种物理变化过程在该点具有相同的坐标值;拐点（或者转折点）表示从一种变化过程变为另一种变化过程的突变点;极值点表示一个变化过程中应变量能达到的极大值或者极小值;端点表示变化过程的起始点或者终止点.

（2）图线.图线反映应变量与自变量之间的函数关系.解题时必须弄清是线性关系、二次函数关系还是其他函数关系.

（3）截距.截距是指图线与两坐标轴的交点所代表的坐标数值，它是该坐标代表的物理量变化的初始值（或边界值），在求解问题时有着特殊的意义.

（4）斜率.图线上某点的斜率表示两个坐标轴所代表的物理量增量的比值，即k=ΔyΔx，它反映该点处因变量y随自变量x变化的快慢情况.如v-t图像中某点的斜率表示物体在该点的瞬时加速度a=ΔvΔt;v-t图线上两点连线的斜率a=ΔvΔt则表示物体在这两点间的平均加速度.

（5）面积.图线与横轴所围成的面积往往可以代表某个物理量.利用无限分割法可知，图线和坐标轴围成的微小面积为ΔS=Δx×Δy，因此，这个物理量有时往往就是纵坐标和横坐标所表示的物理量的乘积.如v-t图像中，其图线与坐标轴围成的面积表示ΔS=Δv×Δt，显然，ΔS的意义与位移x相同;再如F-x图像中，其图线与坐标轴围成的面积表示ΔS=ΔF×Δx，显然，ΔS的意义与功W相同.

（6）延伸.根据图像的信息，既要明确图像所反映的物理量间的变化规律，也要明确图像的发展态势，也就是图线的持续变化是在原图线上的延伸还是需要重新作图.如已知某段时间内物体的振动图像，则在以后的时间内的振动图像，只要继续延伸就可以了.再如已知某时刻的波动图像，则下一时刻的波动图像并非是在原有图像上继续延伸，而是按照波的传播方向平移图线.

例5 如图8所示是甲、乙两个物体的v-t图像，则以下说法中正确的是（  ）.

A.图线的交点表示两个物体在该时刻相遇

B.甲物体在第7s时的加速度大小为10m/s2

C.从图中看出物体乙做曲线运动

D.物体甲在8s内通过的位移大小为110m

分析 两个物体的v-t图像的交点表明两个物体在此时刻（即t=6 s）的速度大小都等于v=20m/s，但与是否相遇无关，选项A错误;从图中看到，甲物体在6s-8s的时间内做匀减速运动，则第7s的加速度为：a=ΔvΔt=0-202=-10m/s2，选项B正确;物体乙的图线虽然是一条曲线，但它并不代表物体乙做曲线运动，事实上，物体乙做加速度越来越大的加速直线运动，选项C错误;根据v-t图像的意义可知，甲图线与坐标轴围成的面积即为物体甲在8s内通过的位移，即：S=S梯形+S三角形=10+20×62m+2×202m=110m，可见选项D正确.

例6 一列沿x轴正方向传播的机械波，在t=0时的波动图像如图9所示.其波速为v=4m/s，振幅A=4cm（图中未画出）.则：

（1）x=2m和x=4m处的质元在t=0时沿什么方向运动？

（2）画出t=0.5s时的波动图像;

（3）x=1m处的质元在t=0.5s内通过的路程？

分析 （1）机械波是由于前一质元带动后一质元依次振动起来而形成的，因此，当机械波向右传播时，x=2m处的质元跟着前一质元振动，而前一质元在它的下方，所以它将向下运动，同理可知x=4m处的质元向上运动.

（2）由波速公式可得：T=λv=44=1s.则经过t=0.5s时，波向右传播过半个波长的路程，这样就可以画出此时的波动图像，如图10所示.

（3）x=1m处的质元在t=0.5s内由波谷位置运动到波峰位置，因此，它通过的路程是振幅的2倍，即s=2A=2×4cm=8cm.

4.2 描繪图像

描绘图像有二种情形：其一，根据实验数据描点画图;其二，根据函数关系画图.在描绘图像时，注意二个优先：

（1）优先画特殊点.对图像与纵、横坐标的交点、图像的拐点应优先画出;

（2）优先选择线性函数.线性函数能直观地反映物理现象的性质，为此，如果一个函数直接作图时是一条曲线，那么，可以尝试将两个坐标中的一个用倒数表示，这样，化曲线为直线，有利于对问题的分析和判断.

当然，描绘图像时，必须注意选择合适的标度，使得在坐标图上作出的数据点尽量散开，以确保连接数据点画出图线时的准确性.例7 某同学在实验室做“探究加速度与力、质量的关系”实验：在物体所受合外力不变时，改变物体的质量，通过实验得到如下表所示的数据.

实验次数物体质量m（kg）物体的加速度a（m/s2）物体质量的倒数1/m

（1/kg）

10.200.785.0020.400.382.50

30.600.251.674

0.800.201.2551.000.161.00

请你在如图11所示的坐标系中选择适当的物理量建立坐标系，并根据表中的数据作出图像，通过图像得出的结论为.

分析 如果取横轴标代表物体的质量m，纵坐标代表物体的加速度a，利用表中实验数据，在坐标系中描出对应的点，并作出图像，如图12所示.作出的图线是一条曲线，但是不是双曲线？难以确定，也就是无法确定a与m间的函数关系.

如果取横轴标代表物体质量m的倒数，即1/m，纵坐标代表物体的加速度a，利用表中实验数据，在坐标系中描出对应的点，并作出图像，如图13所示.作出的图线是一条直线，因此，可以确定a与1/m间成正比关系，即a与m间成反比关系.

所以，通过实验发现，在物体所受合外力不变的情况下，物体的加速度a与质量m成反比.

4.3 转换图像

已知a物理量随b物理量间变化的关系图像，根据需要画出c物理量随b物理量间变化的关系图像，这种变换叫做转换图像.在解决某些问题时，如果直接应用所给的图像，往往无法顺利切入解题突破口，为此，可以通过不同侧面或者不同角度转换图像，实现化隐为显、变抽象为直观、变思路闭塞为柳暗花明的目标.

例8 一只老鼠从洞口爬出，沿一条直线运动，老鼠爬行的速度大小与其离开洞口的距离成反比，如图14所示.当老鼠运动到距洞口为d1的A点时速度为v1，若B点离洞口的距离为d2 （d2 > d1 ），求老鼠從A 运动到B 所需的时间.

分析 由于v=kd，因此，v-t图像是一条双曲线，通过这样的图像求出老鼠运动的时间并不容易.现在将v-t图像转换为1v-d图像，因为1v与d成正比，其图线是一条过原点的直线，如图15所示.根据图像的物理意义可知，其图中的梯形abd2d1a面积就是老鼠从A运动到B的时间：

t=S梯形面积=1v1+1v2d2-d12=d2-d122d1v1

4.4 应用图像

应用图像分析和解决物理问题，是图像问题中最重要、最灵活、最具有创新能力的具体表现.应用图像实质上就是利用图像中的点（起点、交点、拐点、终点）、线、最大值、截距、斜率、面积、正负号等的物理意义来分析和研究物理问题.有些问题，用常规解法可能比较繁琐，甚至无法求解，但如果应用图像法，可能思路更清晰、解答更简捷、方法更巧妙.应用图像法解题时，关键抓住以下三点：

（1）寻找关系.根据题给条件，弄清所要求解的物理量，依据相应的物理规律，寻找所求物理量与其他物理量间的关系;

（2）作出图像.依据物理量间的制约关系，确定横坐标和纵坐标所表示的物理量，根据具体的物理特征、变化过程和物理规律作出函数图像;

（3）应用图像.利用图像的物理意义（点、斜率、面积等），结合数学工具，求出相应的物理量，确定相应的物理规律，解决相应的物理问题.

例9 如图16所示是额定电压为100伏的灯泡由实验得到的I-U图像.若将规格为“100V、100W”的定值电阻与此灯泡串联接在100V 的电压上，设定值电阻的阻值不随温度的变化而发生变化，则此灯泡消耗的实际功率为多大？

分析 当灯泡与定值电阻串联，在它们两端加上100V的电压时，由于灯泡的电阻随温度变化而变化，因此，此时灯泡的电阻难以确定.为了解决这个问题，需要应用图像法.设通过灯泡的电流为I，加在灯泡两端的电压为U，由电路知识可知：

U+100I=100V，即：I=1-U100

作出以上函数的图像，如图17所示.在两条图线上有一个交点，此交点的意义就是灯泡在这个实际电路中的工作状态，即灯泡中的实际电流为I=0.28A，灯泡两端的实际电压为U=72V，由电功率的计算公式可求得灯泡的实际功率为：P=UI=72×0.28W=20W

5 理解五项注意

注意1：图线不是轨迹.如v-t图像、x-t图像中图线只用来描述运动的规律，并非是物体的运动轨迹.v-t图像表示物体单向或双向做直线运动的速度随时间的变化规律，x-t图像表示物体单向或双向做直线运动的位移随时间的变化规律.若物体做曲线运动时，应先将其分解为直线运动，然后在某个方向上应用v-t或x-t图像进行描述.

注意2：图像的特征量不一定具有物理意义.斜率和面积作为图像中的重要特征量，对某些图像具有特定的物理意义，但对其他图像不一定有意义.如v-t图像中的斜率表示加速度、面积表示物体在相应时间内的位移;而a-t图像中的斜率和x-t图像中的面积就没有相应的物理量与之对应，即没有实际意义.

注意3：交点不一定是指物体处在同一点.若甲、乙两个物体在x-t图像上有一个交点，其意义是指两个物体的位置相同，也就是它们的相遇点.在如图18所示的v-t图像中，其交点是指两个物体在此时刻速度大小相同，并非是它们在此相遇，即使是在T时刻，两条图线与坐标轴围成的面积相同，说明在T时间内发生的位移相同，但也不一定是相遇点，因为，它们的起点是否相同不知道.图18

注意4：图形相似但意义不同.如振动图像和波动图像在形状上十分相似，但图像所表达的物理意义并不相同，在研究此类问题时务必引起注意.

注意5：斜率为正时物理量不一定增大.如在v-t图像中，当斜率为正时，物体可能做加速运动，也可能做减速运动.

例10 （2019年4月浙江）甲、乙两物体零时刻开始从同一地点向同一方向做直线运动，位移-时间图像如图19所示，则在0～t1时间内（  ）.图19

A.甲的速度总比乙大

B.甲、乙位移相同

C.甲经过的路程比乙小

D.甲、乙均做加速运动

分析 从图像中看到，甲物体做匀速直线运动，乙物体做加速运动，开始阶段甲的速度大于乙的速度，后来乙的速度大于甲的速度，选项A错误;甲乙两物体运动的起点相同，在t1时刻位置又相同，因此，它们在0～t1时间内的位移相同，选项B正确;甲乙两物体都做单向运动，且起点和终点又相同，则它们的路程也相同，选项C错误;甲物体做匀速直线运动，则选项D错误.

总之，认识和应用图像，有利于培养学生数形结合，形象思维，拓展创新，灵活解题的能力.

参考文献：[1]

成金德.求解非线性电阻实际功率的常见题型和方法[J].物理教学， 2018（8）：56-70.

[责任编辑：李 璟]