小论文型作业对建构高中数学知识体系的应用研究

王锦熙

(北京师范大学(珠海)附属高级中学 519000)

建构主义理论认为，“学习不是由教师把知识简单地传递给学生，而是由学生自己建构知识的过程.学习不是被动接受信息刺激，而是主动地建构，是学生根据自己的经验背景，对外部信息进行主动地选择、加工和处理，从而获得自己的意义.学习意义的获得，是每个学习者以自己原有的知识经验为基础，对新信息重新认识和编码，建构自己的理解.”学生学习的知识不单是教师教授掌握的，更重要的是学生本人主动学习，积极探究而理解掌握，从而主动建构学生本人的高中数学知识体系.

鉴于高中生的学习内容和研究能力有限，本文所定义的小论文并不是传统意义上的学术论文，可以是在学生当前学习内容的拓展和深入，也可以是知识梳理性的文章.知识梳理型的小论文，文章可以没有创新性，但如果能够围绕一个知识点，有条理、有逻辑地、系统地对数学知识、解题技能、数学思想方法进行梳理，也是一篇优秀的文章.学生在整理和梳理的过程中，也就自己主动地建构数学知识体系.

1 当前学生学习数学存在的主要问题

1.1 对数学知识理解不够深入

1.2 学生学习高中数学知识是离散的

许多高中生学习数学，往往不得法，上课听懂了，下课自己一做题就懵，对知识点一知半解，没有自己的思考.还有一部分学生沉迷于题海，迷失了方向.在一些学生心中，学习数学就是做一道又一道的题，做过的题与题之间是独立的、离散的，不能从题中分析出题目所考查的知识点，应该适用哪种解题策略，更达不到举一反三的程度，将知识点或者技能进行迁移应用.学生依靠题海战术来获得解题方法、经验，这种方法占用了高中生宝贵的学习时间，学习效果也可能事倍功半.

1.3 教师布置作业方式有待进一步优化

当前高中数学教师普遍工作压力大、工作时间长、工作任务重，虽然一直强调教育改革，但是当前高中生的作业布置方式还是比较单一，绝大多数都是以书本、辅导书的习题为主.如果教师有时候布置一些形式新颖的作业，比如让学生自己尝试写一篇数学小论文(对于许多学生来说，是第一次遇到这种形式的作业)，小组一起合作研究，写出一篇文章，对学生来说是非常有成就感的一件事情.

2 小论文型作业有助于高中数学知识体系的构建

2.1 小论文型作业有助于高中数学知识点的梳理

如何让学生从大量又离散的题海中走出来，尝试让学生写一篇数学论文是一种比较有效的方法.学生要写出一篇数学论文，他首先要通读教材，把握相应知识点，及知识点与知识点之间的联系.要站在更高的角度来看问题，知识点可以分成哪几类，之间有怎样的逻辑上的联系，对应考查方式有哪几类题型，对应的题型又有哪几种解题方法或技巧，运用了哪种数学思想方法去解决问题，也就是要形成知识框架结构.学生要弄清楚这些问题，不仅仅需要深入地研究教材，还需要理解课堂上教师讲的知识点、题型、方法，还需要翻阅相关的教辅资料，查找相关论文，看看历年高考真题中是如何考查的.

这里以《用向量法解决求空间角度问题》为例进行案例说明.学生在动笔写论文之前，先要吃透相关知识点，如向量的定义及表示方法、向量的运算，立体几何中线线夹角的概念、线面夹角的概念、二面角的概念，利用向量法求解三种夹角的方法.还要理解求空间角问题可以分为三大类，每类夹角问题对应的计算公式和解题技巧.掌握知识和技能后，对知识点进行梳理、分类，还要精选例题，归纳出解题方法，并分析易错点.这样的一篇文章写出来之后，也就对用向量法解决求空间角度问题进行了完整的知识梳理，建构了自己的高中数学知识体系.

2.2 小论文型作业有助于提升数学思维能力

高中阶段，学生需要理解函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、化归与转化思想、特殊与一般思想等数学思想方法.这些数学思想方法在解决高中数学问题中经常会运用，如何让学生系统地理解和运用呢？也可以让学生自己针对一种思想方法专门写相关的小论文进行归纳整理.

这里以分类讨论思想为例进行说明.高考常考查含参数一元二次不等式的解法，如利用导数求函数的单调性、极值和最值.2017年高考理科数学全国Ⅰ卷中的第21题也考查了含参数不等式的解法.含参数的一元二次不等式如何解呢？关键是分类讨论的思想和求解一元二次不等式的通法.在教学中，对于如何进行分类讨论，何时进行分类讨论，学生经常会有困惑、迷茫.下面将对三类典型的含参数的不等式进行分析.

第一类：对一元二次方程的“Δ”进行分类讨论.例如解关于x的一元二次不等式x2+2x-a<0.求解一元二次不等式，首先可求出相应方程的根，然后根据相应函数的图像求出不等式的解.令x2+2x-a=0，此方程的Δ=4+4a，Δ可能为正数、0、负数.方程的根的情况未知.因此，对方程的Δ分三类进行讨论，再结合函数y=x2+2x-a的图象，得到原不等式的解集.

第二类：对一元二次函数的开口方向进行分类讨论.例如解x关于的不等式ax2+(2-a)x-1>0.因为不等式中的x2的系数含有参数a，所以由a为零、正数、负数，函数y=ax2+(2-a)x-1可能为一次函数、开口向上的二次函数、开口向下的二次函数.因此，本题需要对x2的系数进行分类讨论.

第三类：对一元二次方程的两根大小进行分类讨论.例如解关于x的一元二次不等式ax2+(2-a)x-1>0.令x2-(a+1)x+a=0，此方程的D=(a+1)2-4a=(a-1)2>=0，所以方程一定有两个实数根.利用十字相乘法可以解得两根为a和1，但是a与1的大小不能确定，所以需要对两根大小进行分类讨论.

当学生全面地对以上三类含参数的一元二次不等式进行分类讨论，并且严谨地、有条理地写出一篇小论文，那么学生对于如何进行分类讨论，何时进行分类讨论便会有更加清晰的认识和理解，提高了学生对于分类讨论数学思想方法的理解.

2.3 小论文型作业有助于培养学生深入探究的能力

小论文作业给学生提供了自身充分表达自己想法的天地，使学生开动脑筋，从不同方向，不同角度，不同层次，运用多条思路、多种方案进行思考，生动活泼地参与其中，使学生的思维朝着严谨、深刻、全面的方向发展，这有利于学生在解决问题过程中个性和创造能力的发挥.

当学生着手在某一个知识点写一篇小论文的时候，学生一定是对这个知识点特别感兴趣，有兴趣的地方便会深入思考.而要完整地写一篇小论文，学生首先需要理解相关知识点，还需要拓展阅读，例如阅读相关参考书籍，上网搜索相关论文资料，在研读相关资料的基础上，深入思考、探究，形成完整的知识梳理，或者得到更加深层次的理解，或者是得到具有创新价值的研究成果.独立思考、深入探究的能力对于学习来说，非常重要.独立思考、深入探究的能力，也是当今科技取得进步的法宝.

这里以学生在学习利用导数研究函数的性质为例进行说明.在这一部分，学生已经基本掌握了利用导数研究函数的单调性、极值和最值的方法.老师可以布置一篇小论文作业《利用导数研究函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的图象》.要完成这篇小论文，学生首先要理解利用导数研究函数的性质的基本思想方法，然后深入探究三次函数的系数对三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)图象的影响.对函数求导得f′(x)=3ax2+2bx+c.

(1)当a>0时，①若Δ=b2-3ac≤0时，导函数f′(x)图象恒在x轴上方，那么函数f(x)的图象单调递增，没有极值.

②若Δ=b2-3ac>0时，导函数f′(x)图象开口向上，与x轴有两个交点，不妨设交点的横坐标分别为x1,x2(x1

(2)当a<0时，①若Δ=b2-3ac≤0时，导函数f′(x)图象恒在x轴下方，那么函数f(x)的图象单调递减，没有极值.

②若Δ=b2-3ac>0时，导函数f′(x)图象开口向下，与x轴有两个交点，不妨设交点的横坐标分别为x1,x2(x1

2.4 小论文型作业有助于培养细致的能力

简单的数学题，绝大部分学生都可以拿分，区分度不大.难题、压轴题在一份试卷占比较小，而真正有区分度的在于考查学生处理事情细致的程度，特别是全面的细致程度.例如，不等式化简过程中，遇到两边同时除以x,这时需要细致地考虑到x的取值范围，若x为负数，不等号会改变方向，是否需要分类进行讨论.再举一个常见的例子，在解析几何中，已知直线l过一个定点(x0,y0)和其他条件，求直线l的方程.这种题型往往需要考虑直线l的斜率存在与否，不能简单地设直线l的方程为y-y0=k(x-x0),这样会漏掉斜率不存在的情况.

虽然现阶段高中教师很少会布置小论文型作业，但如果能够在恰当的时机布置小论文作业，可以激发学生的学习兴趣，变被动吸收为主动学习.学生通过写作小论文，建构本人的高中数学知识体系，提升数学思维能力，培养深入探究的能力，培养细致的能力.