一类以导数为背景的高考题的解法研究

李昌成

(新疆乌鲁木齐市第八中学 830002)

多年来，数学高考卷无论文科还是理科，无论是地方卷还是全国卷，均以导数作为压轴题.题目通常难度较大，仅仅依靠高中所学的导数知识，解答经常搁浅.很多函数问题均可等价转化后，多次构造新函数，再多次求导，利用洛必达法则求端点临界函数值的“最值”，最后得到参数的范围.下面我们分类展示一些经典高考题.

类型1 分离参数构造函数后，用洛必达法则保障范围的完整性.

例1 (2018年全国高考Ⅱ卷理科21题)已知函数f(x)=ex-ax2.若f(x)在(0,+∞)只有一个零点，求a.

解析由零点概念知，f(x)只有一个零点就是f(x)=0只有一个解.即ex-ax2=0只有一个解.

当x>2时，n′(x)>0，

当0

(*)

如图1，当x→0时，x2→0，ex→1，

图1

所以n(x)→+∞.

评注这种解法只需要学生对洛必达法则有一定认识就可以掌握，整个流程逻辑严谨、思维连贯、顺理成章.这类题目的结构相对稳定.值得一提的是，很多学生会将(*)以后的解题过程忽略，这是不严谨的，为什么呢？请读者思考.

类型2 分离参数构造函数，多次求导，用洛必达法则求新函数最小值的临界值.

例2 (2017年全国高考Ⅱ卷文科21题) 设函数f(x)=(1-x2)ex．当x≥0时，f(x)≤ax+1，求a的取值范围．

解析当x=0时，a可取任何实数.

当x>0时，f(x)≤ax+1，

对h(x)求导，得

再令g(x)=ex(-x3-x2+x-1)+1，

对g(x)求导，得

g′(x)=ex(-x3-4x2-x).

当x>0时，g′(x)<0，

因此g(x)在(0,+∞)上单调递减.

所以h(x)的最大值临界值为h(0).

由洛必达法则，得

所以a的取值范围是[1,+∞).

评注分离参数后，通过多次求导，逐层判断单调性，最后借助洛必达法则求得端点值得到参数取值范围，思路简洁.本题高考给出的答案高深莫测，逻辑上让中学生难以接受，尤其是分类讨论的标准不易理解.有兴趣的同仁可以查阅对比研究.

类型3分离参数构造函数，多次求导，用洛必达法则求最大值临界值.

例3(2016年全国高考Ⅱ卷文科20题)已知函数f(x)=(x+1)lnx-a(x-1).若当x∈(1,+∞)时，f(x)>0，求a的取值范围.

解析f(x)>0，即(x+1)lnx-a(x-1)>0.

再设φ(x)=-2xlnx+x2-1，

则φ′(x)=-2lnx-2+2x，

由于x>1，所以φ″(x)>0，

于是φ′(x)在(1,+∞)上单调递增，

所以φ′(x)>φ′(1)=0，

进而φ(x)在(1,+∞)上单调递增，

所以φ(x)>φ(1)=0，因此h′(x)>0，

进而h(x)在(1,+∞)上单调递增，

所以h(x)>h(1).

所以a的取值范围是(-∞,2].

类型4分类讨论，分离参数构造函数，用洛必达法则求最大值和最小值的临界值.

例4(2017年全国高考Ⅲ卷理科第21题)已知函数f(x)=x-1-alnx.若f(x)≥0，求a的值.

解析当x=1时，a∈R.

当x>1时，lnx>0，

于是h(x)在(1，+∞)上单调递增.

所以h(x)>h(1)=0，因此λ′(x)>0.

所以λ(x)在(1，+∞)上单调递增，

于是λ(x)>λ(1).

所以a≤1.

同理，当0

综上，a=1.

评注本题与前面几例比较，有两个特征：一是受lnx的正负影响，不能直接分离参数，需要讨论，但由于问题的“对称性”仅需完整解答一次即可；二是表面上是求值问题，但实际上还是求范围问题.

类型5分离参数，“递进式”求导，用洛必达法则求最大值的临界值.

例5(2010年全国高考Ⅱ卷理科第21题)已知函数f(x)=ex-1-x-ax2.若当x≥0时，f(x)≥0，求a的取值范围.

解析当x=0时，a∈R.

令m(x)=(x-2)ex+x+2，

则m′(x)=(x-1)ex+1.

则m″(x)=xex.

因为x>0，所以m″(x)=xex>0.

于是m′(x)在(0,+∞)上单调递增.

所以m′(x)>m(0)=0.

所以m(x)在(0,+∞)上单调递增.

所以m(x)>m(0)=0，进而h′(x)>0.

评注本题求导的目的性很明确，就是要让m″(x)=xex出现，事实上每次求导ex的系数增加1，我们可以简称“递进式”求导.但是没有发现此规律的同学可能半途而废.

正如波利亚所说“当你找到第一个蘑菇或作出第一个发现后，再四处看看，它们总是成群生长”.这类给定范围下的求参数范围的导数压轴题，只要被分离部分易于判断其正负，就能分离参数，构造函数，多次反复求导，我们可以借助洛必达法则模式化做答，不再为思路发愁，不再为所需最值或最值的临界值迷茫.但是，像“2020年新高考Ⅰ卷第21题：已知函数f(x)=aex-1-lnx+lna．若f(x)≥1，求a的取值范围．”这类不易分离参数的题目，不适合用这种解法处理.