叶诚理 林新建 林品玲
摘要:将函数、导数、数列、不等式结合的综合问题是近年来高考的热门题型.解题者遵循“求和看通项”这种化整为零的思路破解这类试题,而命题者则遵循“从通项生成和”这种逆向思维命制试题,本文试图从命题者的角度出发,探析这一类数列不等式求和问题的命题背景并进行深入剖析,提高学生分析问题和解决问题的能力,让解题更自然,找到高效的解题方法.
关键词:化归转化;化整为零;数学直观
中图分类号:G632文献标识码:A文章编号:1008-0333(2022)07-0045-03
收稿日期:2021-12-05
作者简介:叶诚理(1979.4-),男,福建省福清市人,教育硕士,中学一级教师,从事高中数学教学研究.[FQ)]
以函数、导数为背景的数列求和取值范围问题,是近年来高考压轴题的常客.对非常规的数列求和问题学生往往束手无策,需要从数学思想方法的高度对问题进行化归转化、构造赋值,难度极高.那么,有没有比较自然的解题策略呢?下面举一道典型例题加以剖析.
1 试题呈现
例1已知函数f(x)=ln(ax+1)-x-2x+2(a>0,x≥0).
(1)当a=12时,讨论函数y=f(x)的单调性;
(2)若不等式f(x)≥1在x∈[0,+
SymboleB@
)时恒成立,求实数a的取值范围;
(3)证明:13+15+17+…+12n+1<12ln(n+1)(n∈N*).
2 命题意图分析
本题考查导数及其应用,旨在运用导数研究函数的单调性、不等式恒成立问题以及构造函数证明数列不等式的方法,综合性较强,考查学生分析问题和解决问题的能力,考查学生的数学抽象、直观想象和逻辑推理等核心素养.
3 解答难点剖析
本题难在第(3)问,对于这类出现在导数压轴题中的数列求和不等式问题,常见的解题套路是对接前面的函数不等式结论,对变量x有效赋值,结合对数运算,从而构造与结论相匹配的数列通项,利用数列求和的裂项相消法证得不等式.
证明由(2)知:当a=1时,不等式f(x)>1在x∈(0,+
SymboleB@
)时恒成立,即ln(x+1)>2xx+2对x∈(0,+
SymboleB@
)恒成立.
令x=1k(k∈N*),
得ln(1k+1)>21+2k.
即11+2k<12[ln(k+1)-lnk].
所以13<12(ln2-ln1),
15<12(ln3-ln2),
17<12(ln4-ln3),
…,12n+1<12[ln(n+1)-lnn].
将上述式子相加可得:
13+15+17+…+12n+1
<12[ln(n+1)-ln1]
=12ln(n+1).
原不等式得证.
评析对考生而言,完成以上这样的对接赋值具有极高的难度,需要较强的数学抽象能力和直观想象能力,他们往往束手无策,望题兴叹而已!
4 难点突破策略
事实上,从数列求和的角度考查,待证不等式的左边是通项公式为an=12n+1的数列的和,虽然它不是常规的数列,在高中范畴内无法直接求和,但它给了我们启示,右边的12ln(n+1)可看作是某个数列bn的前n项和Sn.
由此可运用化整为零策略,令
Sn=12ln(n+1),
当n≥2时,则
bn=Sn-Sn-1=12lnn+1-12lnn=12lnn+1n=12ln1n+1.
由此只需证明
an=12n+1<12ln1n+1=bn.
即證22n+1<ln1n+1.
即证2n2+1n<ln1n+1.
因而构造函数f(x)=ln(x+1)-2x2+x,x∈(0,1).
求导或利用第(2)问的结论便可轻松予以证明.
又当n=1时,a1=13<S1=12ln2=b1成立.
故对任意n∈N*,an<bn,便可证得原不等式都成立.
5 命题路径探秘
将函数、导数、数列、不等式结合的综合问题是近年来高考的热门题型.解题者遵循“求和看通项”这种化整为零的思路破解这类试题,而命题者则遵循“从通项生成和”这种逆向思维命制试题,命题过程中充分体现了函数与方程、化归与转化、化整为零的数学思想,本种命题手法在全国高考卷中屡见不鲜.
例2(2017年全国Ⅲ卷理科22)已知函数f(x)=x-1-alnx.
(1)若f(x)≥0,求a的值;
(2)设m为整数,且对于任意正整数n,
(1+12)(1+122)·…·(1+12n)<m,求m的最小值.
评析第(2)问不等式左边的式子是积的结构,与第一步结论:当x∈(1,+∞)时,x-1-lnx>0很难直接建立联系.若我们能够运用化整为零的思想,联想到对数的运算特征:化积为和,就很容易想到不等式两边取对数,即转化成证明不等式:ln(1+12)+ln(1+122)+…+ln(1+12n)<lnm恒成立.
于是令x=1+12n>1,得ln(1+12n)<12n.
进而不等式两边分别构造两个数列,其中右边转化成常规的等比數列求和,问题便水到渠成.
例3(2014年高考全国Ⅱ卷理科17题)已知an满足a1=1,an+1=3an+1.
(1)证明an+12是等比数列,并求an的通项公式;
(2)证明1a1+1a2+…+1an<32.
评析(1)用配凑法,得到an=3n-12;(2){1an}求和没有办法,故考虑把左边通项1an进行适当放大,转化成有熟悉的等比数列求和问题.所以右边的数可看成某个等比数列的前n项和.根据等比数列求和性质,若一个数列公比q满足q<1,则该数列为无穷递缩等比数列,其前n项和极限为a11-q(取不到等号),由结果想到过程,结合an通项,若存在一个数列bn,满足b1=1,q=13,bn=13n-1,则其前n项和的极限恰好为32,利用化整为零的思想,则问题只需转化成证明1an=23n-1≤13n-1,利用分析法,该不等式对一切自然数n恒成立,从而证明原不等式成立.
6 教学研究感悟
为什么有许多学生解决不了一些并不复杂甚至是简单的数学问题呢?除了极少数学生不知道相应的数学知识外,绝大部分学生不是不会方法,而是由于没有站在思想的高度来思考和引领方法,或者是因为思想不明确而想不起来用什么方法来处理问题.
上述试题的自然解法源于数学思想的指引,善于观察不等式的结构特征,把不等式两边看成两个数列的求和,从而构造两个数列,把研究和的大小转化成判断通项的大小,体现了化整为零、化归与转化、函数与方程思想在数学解题中的重要作用.
解题是命题的基础,命题是解题的超越.作为一线数学老师,不但要研究试题的解题方法、分析试题的产生背景,还要揣摩命题者的思路、懂得试题的命制原理,这样才能促使自己在教学中能更好地引领学生把握试题的本质,从数学思想方法的高度提高解题的能力和素养.
参考文献:
[1] 林新建.我的教学主张——自然数学[M].厦门:厦门大学出版社,2020.
[责任编辑:李璟]