带电粒子在圆形边界匀强磁场中的运动规律探究

摘要：带电粒子在匀强磁场中的运动一直是高考考查的热点，考查的题型既有选择题，又有计算题.其中圆形边界的匀强磁场题型给学生造成较大的困难.本文归纳总结了带电粒子在圆形边界的匀强磁场中的几种运动情况及对应的解决方法.

关键词：匀强磁场;圆形边界;旋转圆;发散和汇聚;临界圆

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2022）07-0113-03

收稿日期：2021-12-05

作者简介：刘东新（1978-），男，江苏省溧阳人，本科，中学高级教师，从事高中物理教学研究.[FQ）]

带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动是比较常见的，匀强磁场分有边界和无边界，有边界的则又能分为直线边界、圆形边界等.由于边界的不确定导致看似简单的匀速圆周运动也变化多端.

1 作好“对称”图，解决单粒子问题

带电粒子以某一初速度进入圆形匀强磁场区域，再以同样大小的速度离开，具有对称性，入射方向与出射方向与径向的夹角相等，如图1.如果带电粒子沿径向入射，那么也一定沿径向射出，如图2.

题1如图3所示，在半径为R=mv0Bq的圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，从圆弧顶点P以速率v0的带正电粒子平行于纸面进入磁场，已知粒子的质量为m，电荷量为q，粒子重力不计.若粒子对准圆心射入，求它在磁场中运动的时间.

解析由牛顿第二定律得Bqv0=mv20r，求得：r=R，作出带电粒子的运动轨迹，如图4，由于带电粒子的运动轨迹为14圆弧，故运动时间为t=

π2Rv0=πm2Bq.

2 巧作“旋转圆”，解决共源多粒子问题

如果粒子源在圆形磁场边界不断发射速度大小一定、方向不同的带电粒子进入匀强磁场时，将一半径为R=mv0qB的圆以入射点为圆心进行旋转，从而探索粒子的运动规律，这种方法称为“旋转圆”法.

题2如图5所示，圆形区域有一匀强磁场，磁感应强度为B，方向垂直纸面向里，边界跟y轴相切于坐标原点O.O点处有一放射源，沿纸面向各方向射出速率均为v的某种带电粒子，带电粒子在磁场中做圆周运动的半径是圆形磁场区域半径的两倍.已知该带电粒子的质量为m、电荷量为q，不考虑带电粒子的重力，求带电粒子通过磁场空间的最大偏转角.

简析如图6所示，通过“动态圆”可以观察到粒子运动轨迹均为劣弧，对于劣弧而言，弦越长，弧就越长，弧所对应的圆心角就越大，偏转角也越大，运动时间就越长，如图7所示，sin

φmax2=Rr=12，即φmax=60°.

如果带电粒子运动的轨迹圆半径小于磁场圆半径，又能产生新的问题.

题3如图8，虚线所示的圆形区域内存在一垂直于纸面的匀强磁场，磁感应强度为B，半径为r，P为磁场边界上的一点，大量相同的带电粒子以相同的速率经过P点，在纸面内沿不同方向射入磁场.若粒子射入速率为v，相应的出射点分布在三分之一圆周上.不计重力及带电粒子之间的相互作用，求带电粒子的比荷.

简析如图9所示，通过旋转圆可知，当粒子在磁场边界的出射点A离P点最远时，则AP=2R，如图10所示.

由几何关系知：2R=2rcos30°

可求得：qm=23v3Br.

3 發散和汇聚，突破圆形边界匀强磁场的难点问题

在圆形边界的匀强磁场中，若带电粒子做匀速圆周运动的半径恰好等于磁场区域的半径，那么就有以下规律：当粒子从磁场边界上同一点沿不同方向进入磁场区域时，粒子离开磁场时的速度方向一定平行，而且与入射点的切线方向平行，此种情境称为“磁发散”，如图11甲所示.当粒子以相互平行的速度从磁场边界上任意位置进入磁场区域时，粒子一定会从同一点离开磁场区域，而且该点切线与入射方向平行，此种情境称为“磁汇聚”，如图11乙所示.

题4如图12所示， 在xoy平面内， 有一线状电子源沿x正方向发射速度均为v的电子，形成宽为2R、在y轴方向均匀分布且关于x轴对称的电子流.电子流沿+x方向射入一个半径为R、中心位于原点O的圆形匀强磁场区域， 磁场方向垂直xoy平面向里.在磁场区域的正下方d处，有一长为2d的金属板MN关于y轴对称放置，用于接收电子，电子质量为m，电量为e，不计电子重力及它们间的相互作用.

（1）若正对0点射入的电子恰好从P点射出磁场，求磁感应强度大小B;

（2）若所有电子都能从P点射出磁场，MN板能接收到的电子数占发射电子总数的比例是多大？

简析MN板能接收到的电子从P点射出时，速度偏转角为θ（即与x正方向的夹角θ）满足45°≤θ≤135°.

到达N、M点的电子轨迹如图13、14所示，其入射点为E、F，EF竖直长度占射入总长度2R的比例是MN板能接收的电子数占发射电子总数的比例22.

4 作好临界圆，解决圆环形磁场问题

当匀强磁场存在于一个圆环形区域时，带电粒子无论是从外部射入磁场，还是从内部射入磁场，与磁场边界相切的临界圆，往往就是解决问题的突破口.带电粒子在圆形边界的匀强磁场中运动，其本质是匀速圆周运动，题目可能千变万化，但解决题目的的方法却是有限的.先确定粒子轨迹的圆心，进而作出粒子的运动轨迹，是解决这类问题的前提.在这个前提下，寻找题目的特征，弄清题目考查的内容，运用合适的方法，总能解决问题.

参考文献：

[1] 于洁，马纯奎.带电粒子在有界匀强磁场中的运动问题赏析[J].高中数理化，2021（10）：34-35.

[责任编辑：李璟]