反思题目通法 突出变换引领——2021年南通市中考试题第25题赏析*

张 俊 (山东省淄博市周村区城北中学 255300)

时翠萍 (山东省淄博市周村区第二中学 255300)

笔者近来研究2021年南通市中考试题第25题时，发现该题以最基本的图形变换“轴对称”为背景，渐次生长，思路开阔，是一道值得回味的题目，特撰文与大家交流．

1 原题呈现

如图1，正方形

ABCD

中，点

E

在边

AD

上(不与端点

A

，

D

重合)，点

A

关于直线

BE

的对称点为点

F

，连结

CF

，设∠

ABE

=

α

．

图1

(1)求∠

BCF

的大小(用含

α

的式子表示)；(2)过点

C

作

CG

⊥

AF

，垂足为

G

，连结

DG

．判断

DG

与

CF

的位置关系，并说明理由；(3)将△

ABE

绕点

B

顺时针旋转90°得到△

CBH

，点

E

的对应点为点

H

，连结

BF

，

HF

．当△

BFH

为等腰三角形时，求sin

α

的值．

2 思路突破

2.1 基于对称变换，构造对称图形

如图2，本题第(1)问从已知出发，由于点

A

、点

F

关于直线

BE

对称，基于轴对称变换，我们不妨连结

BF

，从而构造出对称图形，可得

AB

=

BF

=

BC

，∠

ABE

=∠

FBE

=

α

，此时∠

FBC

=90°-2

α

．在等腰三角形

BCF

中，易得

2.2 导角突破难点，多维角度探寻

如图2，对于第(2)问，学生可以直观判断出

DG

与

CF

的位置关系，但如果要说明理由，对大多数学生来说有一定的难度，此时题目已经进入宽进难出的环节．那么突破的方向在哪里呢？在此问中，有一个“知识坎”很多学生未能逾越，导致问题探究无法进行到下一步

.

在这里我们有必要细细品味一下：在图2中，很多学生凭直观猜测出了△

CGF

是等腰直角三角形，但一直无法说明∠

AFC

=135°(这里考查了学生利用带有字母的角的导角能力)．如图3，基于前面的分析我们可以得到∠

AFB

=90°-

α

，∠

BFC

=∠

BCF

=45°+

α

，所以可得∠

AFC

=∠

AFB

+∠

BFC

=90°-

α

+45°+

α

=135°．从而可以看到，尽管点

F

的位置是变化的，但∠

AFC

始终是一个定角．那该问题的本质在哪里？因为

BA

=

BF

=

BC

，所以点

F

在以点

B

为圆心、

BA

为半径的圆上运动，根据定弦对定角，可知∠

AFC

始终为135°．解决了这一问题，就为后面的探究做好了铺垫．

图3

思路1 如图4，从构造旋转相似三角形的角度，连结对角线

AC.

在△

CGD

与△

CFA

中，因为∠

ACD

=∠

FCG

=45°，所以∠

ACF

=∠

DCG.

又有可得△

CGD

∽△

CFA

，即∠

CGD

=∠

CFA

=135°，故∠

DGA

=45°，∠

CFG

=∠

DGA

=45°，从而

DG

∥

CF

．

图4 图5

思路2 如图5，从“8”字相似三角形的角度，连结对角线

AC.

因为∠

AMD

=∠

CMG

，∠

ADM

=∠

CGM

=90°，所以△

AMD

∽△

CMG

，可得即又因为∠

AMC

=∠

DMG

，所以△

DMG

∽△

AMC

，即∠

DGA

=∠

ACM

=45°，故∠

CFG

=∠

DGA

=45°，从而

DG

∥

CF

．思路3 如图6，从点共圆的角度，连结对角线

AC.

因为∠

ADC

=∠

AGC

=90°，所以点

A

，

D

，

G

，

C

在以

AC

中点

O

为圆心、

OA

为半径的圆上．在同圆中，可得∠

DGA

=∠

ACD

=45°，即∠

CFG

=∠

DGA

=45°，故

DG

∥

CF

．

图6 图7

思路4 如图7，从构造全等三角形角度来思考，在

AG

上截取

AH

=

CG.

因为∠

AMD

=∠

CMG

，∠

ADM

=∠

CGM

=90°，所以∠

DAH

=∠

DCG

．又有

AD

=

CD

，所以△

DAH

≌△

DCG

，可得∠

ADH

=∠

CDG

，

HD

=

GD

．因为∠

ADH

+∠

HDM

=90°，所以∠

HDG

=90°，此时△

HDG

是等腰直角三角形，故∠

DGH

=45°，即∠

CFG

=∠

DGH

=45°，从而

DG

∥

CF

．

2.3 始于分类讨论，终于转化分析

第(3)问以旋转为背景，重点考查了分类讨论的思想．本题的难度还是在分类后的验证上，对学生的说理能力要求较高．如图8，对于△

BFH

为等腰三角形，我们考虑：①当

BF

=

BH

时，由于△

BAE

≌△

BCH

，所以

BH

=

BE

，又因为

BA

=

BF

，这时出现了

BE

=

BA

，在Rt△

BAE

中是不可能的，显然这种情况不存在．②当

BF

=

HF

时，∠

FBH

=∠

FHB

=90°-

α

，可得∠

BFH

=2

α

，由于∠

ABF

=2

α

，所以此时

AB

∥

FH

，即点

F

与点

C

要重合，则需要点

E

运动到点

D

，与题意不相符，因此这种情况也不存在．相比第①种情况的验证，第②种情况的验证要求学生进行适当的推理说明，综合性较强．结合上述分析，只有一种可能是

BH

=

FH

，此时解决问题的方向又在哪里？

图8

如图8，基于△

BHF

是等腰三角形，我们最基本的想法就是作等腰三角形底边

BF

上的高

HM

，可得因为∠

MBH

=∠

AEB

=90°-

α

，∠

BMH

=∠

EAB

=90°，

BE

=

BH

，所以△

BAE

≌△

HMB

，从而

MB

=

AE

，即在Rt△

BAE

中，设

AE

=

m

，则

AB

=2

m

，由勾股定理可得所以以上分析是基于对△

BFH

的思考，也是最基本、最容易想到的，但难度在于容易想到却难深入下去，特别是面对变化的等腰三角形

BFH

，很多学生会感到束手无策．那么我们能否把△

BFH

转化到和它全等的一个三角形中去研究呢？如图8，基于已有条件

BE

=

BH

，

BF

=

BC

，∠

EBC

=∠

FBH

=90°-

α

，我们可以连结

EC

，易得△

BFH

≌△

BCE

，这样我们就可以对△

BCE

进行讨论：很明显

BE

=

BC

和

CE

=

BC

这两种情况都不成立，只有

EB

=

EC

，而此时点

E

为

AD

的中点，易得这种思路也是本题的精彩之处，利用全等改变研究对象，是转化思想的一种集中体现．

3 深入思考

对于上述问题的解答，思维的起点又在哪里？第(2)问的思路1是构造相似三角形，如图4，由于等腰Rt△

FGC

绕点

C

按一定比例放缩旋转得到等腰Rt△

ADC

，在这一过程中，这一关系式保持不变，必然存在另一对相似的三角形．我们再把图形拓展到一般情况，如果△

ADE

∽△

ABC

，连结

BD

，

CE

，则会得到△

ADB

∽△

AEC

(图9)，这也是旋转相似的成对存在性．

图9

第(2)问的思路2是基于“8”字相似的成对存在性，如图5，若△

ADM

∽△

CGM

，则必有△

DMG

∽△

AMC

，本身构成这样相似的点

D

，

G

，

A

，

C

与思路3的四点共圆是一致的．第(3)问的第二种思路如同神来之笔，连结

EC

，构造的其实是一对具有对称性的全等三角形，△

BFH

≌△

BCE

，并且关于直线

BN

成轴对称(图10)．基于图形的对称，联想到全等，这其实就是一种发现对称美的过程．

图10 图11

基于本题图形的变化，我们考虑再进行一下变式的生长：原题点

E

在线段

AD

上运动，我们让点

E

在射线

AD

上运动，其他条件保持不变，此时仍然可以得到

DG

∥

CF

(图11)．

简析

尽管图形改变了，但是我们探究的思路仍然可以延续，这也是数学变化中的不变．此时∠

ABE

=

α

，基于点

A

、点

F

关于

BE

对称，连结

BF

，可得

AB

=

BF

，

BC

=

BF

，△

ABF

与△

BCF

是等腰三角形，此时∠

CFG

=∠

BFC

-∠

BFA

=135°-

α

-(90°-

α

)=45°，因此△

CFG

是等腰直角三角形．连结

AC

，因为△

CFG

∽△

CAD

，由旋转相似的成对性，可得出△

DCG

∽△

ACF

，所以∠

DGC

=∠

AFC

=∠

FCG

=45°，即

DG

∥

CF

．

图12

当然本题还有其他方法，这里不再赘述．现在我们改变对称点，继续思考一下．如图12，作点

C

关于

BE

的对称点

F

，连结

BF

，作

AG

⊥

FC

，垂足为

G

，连结

DG

，求证：

DG

∥

AF

．这里通过推导角度仍然可得△

AGF

为等腰直角三角形，连结

AC

，此时△

AGF

与△

ADC

是相似的等腰三角形，由旋转相似的成对性，还可以得出△

DAG

∽△

CAF

，进而问题可以突破．我们让该问题在此基础上继续生长．如图13，正方形

ABCD

中，点

E

在边

AD

上(不与端点

A

，

D

重合)，点

C

关于直线

BE

的对称点为点

F

，连结

CF

，

BF

，同时连结

FA

，

BE

并分别延长交于点

G

，连结

DG

，设∠

ABE

=

α

．(1)求∠

BGF

的大小；(2)猜想

DG

与

AF

之间的数量关系，并说明理由．

简析

对于第(1)问，通过在等腰三角形△

BCF

与△

ABF

中进行角度的转换，不难得出∠

BGF

的大小始终为45°，下面重点谈一下第(2)问．如图13，基于点

C

与点

F

关于

BE

成轴对称，我们从构造对称图形的角度连结

CG

，可得

FG

=

CG

，∠

BGF

=∠

BGC

=45°，△

FGC

为等腰直角三角形．此时再连结对角线

AC

，出现了相似的等腰Rt△

FGC

与Rt△

ADC

，易得所以△

ACF

∽△

DCG

，即

图13 图14

当然，该题也可以从全等角度入手．如图14，基于△

ABF

为等腰三角形，作

BM

⊥

AF

，垂足为

M

，再过点

D

作

DH

⊥

AG

，垂足为

H

，此时易得△

BMA

≌△

AHD

，可得

AM

=

DH

，

BM

=

AH

．又

MG

=

BM

，故可得

AM

=

GH

=

DH

，从而△

GHD

为等腰直角三角形，即

4 教学反思

4.1 重视基本图形渗透，强化识图能力

基本图形是复杂图形组成的基本元素，主要包括教材上的基本事实和定理及其推论，以及在平时教学中获得的一些典型图形．学生之所以解题时没有思路，关键就是没有从复杂的图形里把基本图形抽取出来．正如2021南通市中考第25题，其中蕴含的基本图形非常多，例如旋转相似的成对存在性，以及“8”字型相似的成对性、四点共圆等，如果学生没有较强的识图能力，是很难突破问题的．因此，教师在平时的教学中要为学生及时总结和提炼一些基本图形，对其应用条件和基本结论要熟悉．这里要特别注意一点，千万不能让学生死记，而要引导学生从已知条件中挖掘关键条件，找到问题的核心，回归到书本上最基本的定义和定理，这样才能真正实现基本图形与数学概念的有效结合．只有这样潜移默化地不断渗透，学生才能逐步形成基本图形分析观念，在面对几何问题时，主动寻找或构造头脑中的基本图形，运用其来解决问题．

4.2 突出几何变换引领，积累构图经验

初中的图形变换分为两种，一种是全等变换，主要包含平移、旋转、轴对称，另一种是相似变换，指的是相似与位似，新课标也特别提倡让图形运动起来，让学生在运动中发现不变．然而实际情况是，学生仍然习惯于静态地去思考问题，这导致他们不能深入问题的本质．比如南通这道中考题，以正方形作为背景，正方形本身就是轴对称和中心对称图形，从点

A

与点

F

关于直线

BE

对称入手，引导学生构造对称图形，然后通过构造旋转相似这一变换作为解决问题的主线，继续生长，第(3)问基于图形的旋转分类思考，最终呈现了一对对称性的全等三角形．可以说本题始于轴对称，发展于旋转，最终止于轴对称，整个解答的过程都突出了几何变换的统领．因此，在平时的教学中，教师要多引导学生从几何变换的视角来分析几何图形，通过这种运动的观点构造出准确的图形，这样学生就会站在更高的高度来认识几何图形．长此以往，可以让学生养成从几何变换的视角来审视几何问题的习惯，促进学生数学素养和解题能力的提升．