Oldroyd-B流体绕拉伸楔形体的非稳态滑移流动与传热分析*

白 羽，方慧灵，张 艳

（1.北京建筑大学 理学院，北京 102616；2.建筑结构与环境修复功能材料北京市重点实验室，北京 102616）

引 言

在实际的工业生产中，玻璃纤维的拉伸或聚合物的挤出过程都会涉及到流体绕楔形体的流动.当聚合物溶液流过楔形体表面时，由于流体与楔形体表面之间存在温差，所以最终流体会加热或冷却到设定的温度.Falkner 等[1]首次研究了流体绕楔形体流动的边界层问题.Lin 等[2]提出相似求解的方法，讨论了在强迫对流下流体绕楔形体的流动与传热问题.在Lin 等工作的基础上，Kuo[3]利用微分变换法求解了流体绕楔形体流动的边界层方程.Afify 等[4]考虑了热源存在下纳米磁流体在楔形体上的流动，并得到了数值解.Ashraf 等[5]通过讨论浮升力和热辐射的影响，进一步扩展了Afify 等的工作，他们发现对流参数会促进流体的流动.此外，一些研究还考虑了时间的影响.Mahdy 等[6]研究了纳米流体在浮升力作用下绕多孔楔形体的非稳态流动.Kebede 等[7]对纳米流体流过非稳态拉伸楔形体时的传热和传质进行了分析.大多数研究者通常研究纳米流体通过楔形体的流动，而关于黏弹性流体沿拉伸楔形体的非稳态流动与传热的分析很少.

流体流经楔形体表面或平板时，除壁面的拉伸会使得流体产生拉伸流动和剪切流动之外，在一定条件下，由于流体自身的黏性还会在壁面处出现滑移形式的运动，即壁面处的速度滑移现象.控制速度滑移现象的产生在实际工业中是十分重要的，因此该现象吸引了研究者们的广泛关注.朱婧等[8]对磁流体在具有幂律速度的拉伸板上的滑移流动进行了讨论.Zhu 等[9]研究了在Brown 运动和热泳影响下的纳米流体的二阶滑移流动.许晓勤等[10]建立了黏性流体在可渗透拉伸板上的二阶滑移模型，并分析了该模型中驻点流问题.最近，Megahed[11]探索了Maxwell 流体在嵌入多孔介质的拉伸板上的滑移流动.

经典的Fourier 定律常常被用来描述热传递过程.然而，由于该定律是一个抛物型能量方程，那么当初始扰动发生时，所考虑的介质会迅速受到影响.因此，为了克服这一缺点，Cattaneo[12]在Fourier 定律中引入了热松弛时间，即用来调节和评估加热区传热所需的时间.在Cattaneo 的启发下，Christov[13]得到了上随体Maxwell-Cattaneo 定律.之后，基于Cattaneo-Christov 热通量模型，Hayat 等[14]讨论了非线性表面上的驻点流动问题.Shehzad 等[15]研究了Oldroyd-B 流体在可渗透拉伸板上的流动.Zhang 等[16]采用Cattaneo-Christov 热通量模型，分析了变导热系数下的Maxwell-幂律流体的传热行为.然而，Cattaneo-Christov 热通量模型只描述了热松弛时间的影响，而忽略了热延迟时间的影响.因此，Bai 等[17]提出了松弛-延迟双扩散模型来研究变导热系数的Oldroyd-B 纳米流体在拉伸板上的传热传质现象.

本文研究了松弛-延迟热通量模型中，上随体Oldroyd-B 流体绕非稳态拉伸的楔形体上的滑移流动与传热问题.在传热过程中还同时考虑了热辐射和对流换热边界条件的影响.采用相似变换将偏微分方程组转化为常微分方程组，并用同伦分析法[18]求得了方程的近似解析解.最后，通过图形分析了部分参数对速度场及温度场的影响.

1 数学模型

考虑Oldroyd-B 流体在楔形体上的非稳态滑移流动与传热问题.如图1，楔形体表面沿x轴方向延伸，y轴垂直于楔形体表面.流体流动是由拉伸速度为Uw=bxm/(1-at)的楔形表面和速度为Ue=dxm/(1-at)的环境流体所产生的，其中a，b和d是正常数.同时，m=ω/(2-ω)表示Falkner-Skan 幂律参数(0≤m≤1)，其中ω 是Hartree压力梯度，它与楔形体的总夹角Ω有关，即ω=Ω/π.此外，利用松弛-延迟热通量模型研究了流体的传热现象.

图1 物理模型示意图Fig.1 Schematic diagram of the physical model

Oldroyd-B 流体的流动控制方程为

其中，u和v分别为x和y方向上的速度分量，t，ν，λ1，λ2，g，βT和T分别表示时间、流体的运动黏度系数、松弛时间参数、延迟时间参数、重力加速度、体积热膨胀系数和流体温度.

Cattaneo-Christov 热通量模型为

这里，q是热通量，λ3为热松弛时间参数，V是速度矢量，k为导热系数.对于不可压缩流体，∇·V=0.因此，式(3)可以表示为

然而，式(4)忽略了传热过程中的热延迟时间的影响，在Cattaneo-Christov 热通量模型中引入热延迟时间参数，可得到松弛-延迟热通量模型[17]：

其中，λ4为热延迟时间参数.

流体的温度控制方程为

这里，α=k/(ρcp)是流体的热扩散率，ρ 为流体的密度，cp为定压比热容，qr为辐射热通量.

经过线性的Rosseland 近似，辐射热通量定义为

其中，σ*是Stefan-Boltzmann 常数，k*为平均吸收系数.将T4在T∞处进行Taylor 展开，可以得到T4=4T∞3T-3T∞4.即

在考虑速度滑移现象和对流换热情况下，边界条件为：当y=0 时，

当y→∞时，

其中，L表示滑移参数，hf是对流换热系数，楔形体表面的温度为Tw=T∞+T0Uwxν-1(1-at)-1/2，T∞为环境流体的温度.

采用如下的流函数及相似变量：

将式(11) 代入式(2)、(6)、(8)～(10) 中，得到对应的常微分方程与边界条件：

当η=0 时,

当η→∞时,

其中，A为非稳态参数，β1为松弛时间参数，β2为延迟时间参数，λ 为对流参数，Grx为局部Grashof 数，Rex为局部Reynold 数，β3为热松弛时间参数，β4为热延迟时间参数，Rd为热辐射参数，Pr为Prandtl 数，S为驻点参数，δ 为速度滑移参数，Nu为Nusselt 数，

2 同伦分析方法

采用同伦分析方法求解在相应的边界条件(14)和(15)下的常微分方程(12)及(13).首先，初始猜测解和辅助线性算子分别为

这里

其中

并且辅助线性算子满足如下关系：

其中，ai(i=1, 2, ··· , 5)是任意常数.

Ship Functional Efficiency of Multi-Branch Towed Acoustic Array System in Deceleration State

下面构造零阶形变方程：

相应的边界条件为

非线性算子定义为

这里，q∈[0,1]是嵌入参数，hf和hθ是辅助参数，Hf(η)与Hθ(η)为辅助函数，选取Hf(η)=Hθ(η) =e-η.

相应的n阶形变方程为

其对应的边界条件可转化为

3 结果与讨论

在同伦分析方法中，辅助参数的选取对解析解的收敛性具有重要意义.图2 和图3 分别给出了确定辅助参数hf和hθ的曲线图，为方便计算，我们选取hf=1.5,hθ=0.3.从表1 中可以看到，当前结果与现有文献[4]的结果具有较好的一致性.此外，默认m=0.5,A=0.4,β1=0.1,β2=0.06,S=0.3, λ=0.3, δ=0.4,β3=0.9,β4=0.5,Pr=0.8,Nu=0.4,Rd=0.6，并从物理角度解释了部分参数对速度场和温度场的影响.

图2 hf -f"(0)曲线图Fig.2 The hf -f"(0) curve

图3 hθ-θ′(0)曲线图Fig.3 The hθ-θ′(0) curve

表1 同伦解f"(0)与文献[4]结果的比较Table 1 Comparison of the values of f"(0) with the results of ref.[4]

图4 描述了Falkner-Skan 幂律参数m对速度场的影响.当m=0 时，楔体的整个角度Ω=0，即楔形体表面是水平的.从图中可以看到，随着m的增加，流体的流速增加，并且动量边界层的厚度明显变薄，这是由于m越大，浮升力越大，从而促进流体的流动.图5 描绘了非稳态参数A对速度场的影响.已知A与环境流体运动速率d成反比，因此A越大对应的d越小，导致流体的速度减慢.

图4 不同m 下的速度分布Fig.4 Velocity distributions for different m values

图5 不同A 下的速度分布Fig.5 Velocity distributions for different A values

图6 展示了滑移参数δ 的变化对速度场的影响.可以看到，当δ 增大时，流体的速度也随之加快.从物理角度来说，δ 的增大会使得流体的黏性降低，从而流动中的摩擦阻力减小，因此流体的速度变快.图7 为不同的延迟时间参数β2下，速度场的变化情况.延迟时间是流体中建立剪切应力的时间，当延迟时间增加时，黏性效应变小，从而提高了流动速度.

图6 不同δ 下的速度分布Fig.6 Velocity distributions for different δ values

图7 不同β2 下的速度分布Fig.7 Velocity distributions for different β2 values

图8 描绘了对流参数λ 的变化对速度场所产生的影响.对流参数越大，产生的浮升力越大，导致流动加速，速度增大.图9 反映了Nu增大时温度场的变化趋势，这时，温度是关于Nu的增函数.Nu的增大意味着对流换热系数增大，进而使楔形体表面的换热增加，流体被加热，因此温度升高.

图8 不同λ 下的速度分布Fig.8 Velocity distributions for different λ values

图9 不同Nu 下的温度分布Fig.9 Temperature distributions for different Nu values

图10 和图11 分别表示了变化的热松弛时间参数β3与热延迟时间参数β4对温度场所造成的影响.随着β3的增大，为达到更多的热通量，导致从流体到拉伸板的热传输速度加快，因此热量从流体中散失，即流体的温度降低.值得注意的是，热延迟时间对温度的影响恰与热松弛时间对温度的影响相反.从图11 中可以看到，当β4增大时，温度场随之升高并且热边界层的厚度增大.这是因为热延迟时间的增加与较小的热通量有关，这种较低的热通量会使得温度升高.

图10 不同β3 下的温度分布Fig.10 Temperature distributions for different β3 values

图11 不同β4 下的温度分布Fig.11 Temperature distributions for different β4 values

图12 反映了Pr的变化对温度场的影响.增大的Pr对应于较弱的热扩散率，此时会造成温度的减小.因此，Pr值越大，温度越低.图13 为热辐射参数Rd对温度场的影响，当热辐射参数Rd的值越大时，流体的温度越高且热边界层的厚度越厚.由于较大的Rd表示以热辐射的方式向流体供应更多的热量，从而导致流体的温度增大.

图12 不同Pr 下的温度分布Fig.12 Temperature distributions for different Pr values

图13 不同Rd 下的温度分布Fig.13 Temperature distributions for different Rd values

4 结 论

本文从理论上讨论了松弛-延迟热通量模型中，上随体Oldroyd-B 流体在速度滑移和热辐射影响下绕楔形体的非稳态流动与传热问题.此外，还考虑了浮升力以及对流换热边界条件对流动和传热的影响.采用同伦分析法得到相似变换后常微分方程的近似解析解，并从物理的角度分析了部分参数对速度场及温度场的影响.当Falkner-Skan 幂律参数增大时，即楔形体的楔角变大，此时产生较强的浮升力会导致流体的流速变快.随着滑移参数的增大，流体的黏性效应减弱，进而促进流体的流动.此外，增大的热延迟时间参数会使得流体的温度升高.

致谢本文作者衷心感谢北京建筑大学市属高校基本科研业务费项目-QN 青年科研创新专项-青年教师科研能力提升计划(X21027; X21030; X21031)对本文的资助.