反证法“三必须”“三形式”运用技巧

⦿广东省广州市从化区第二中学 谢福信

1 引言

反证法最初在拉丁语中的意思，是指“转化为不可能”，其逻辑原理是逆否命题和原命题的真假性相同.当命题从正面不容易或不能直接证明时，我们就可以尝试运用反证法来间接证明，这就是我们平常所说的“正难则反”.反证法在数学证明题中应用十分广泛，具有极大的优越性[1].著名的物理学家牛顿就曾经称赞说：“反证法是数学家最精当的武器之一.”

2 反证法的使用场景及原则

一般来说，当命题的结论出现“都是”“都不是”“至少”“至多”或者“≠”等字眼时，比较适合采用反证法.反证法是从命题结论的否定出发，经过严密的逻辑推理，最后推导出矛盾，证明命题结论的否定是错误的，从而肯定原结论是正确的一种证明方法.

运用反证法证明命题要牢记“三必须”原则：

一必须先否定结论，然后肯定结论的反面.当结论的反面呈现出多样性时，我们必须要考虑(或罗列出)各种可能的结论(结果)，遗漏任何一种可能性，反证都是不严密的.

二必须从否定结论进行推理.即应把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推证；否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行推理，就不算是反证法.

三必须推导出矛盾.有的与已知矛盾，有的与假设矛盾，有的与已知事实相违背.总之，推导出的矛盾必须是明显的.

运用反证法的基本步骤：首先作出与所证命题结论相反的假设，然后从条件和假设出发，应用正确的推理方法，一步步推出矛盾的结论，最后否定假设，从而达到证明原命题结论成立的目的[2].

3 反证法的常见三种题型

3.1 命题的结论为否定的形式

当待证命题的结论以“不、无、没有、不可能、绝不会”或者“不等号”等否定词语或符号来表述时，运用反证法比较便利.

例1如果2a2<5b，试证方程x5+ax4+bx3+cx2+dx+e=0的根不可能都是实数.

证明：假设方程的根都是实数，那么方程的左边就可表示成(x+p)(x2+qx+r)(x2+sx+t) ，其中p，q，r，s，t均为实数，且q2-4r≥0，s2-4t≥0，可得4(r+t)≤q2+s2.方程左边比较对应项系数，有

代入2a2<5b，得

2(p+q+s)2<5(pq+ps+qs+r+t).

即2(p+q+s)2-5(pq+ps+qs)<5(r+t)≤

(2p-q)2+(2p-s)2+2(q-s)2<0

①

因为p，q，s均为实数，所以

(2p-q)2+(2p-s)2+2(q-s)2≥0

②

①式与②式相互矛盾，故假设错误.

所以原命题结论成立.

点评：本题的结论中出现了否定词“不可能”，所以宜用反证法来证明.本题的证明过程中虽然所设参数较多，但其核心是围绕诸根都是实数进行突破.

例2设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)中的a，b，c均为整数，且f(0)，f(1)均为奇数，求证：方程f(x)=0无整数根.

证明：假设方程f(x)=0有一整数根k，那么

ak2+bk=-c③

因为f(0)=c，f(1)=a+b+c均为奇数，那么a+b为偶数.当k为偶数时，显然这与③矛盾；当k为奇数时，设k=2n+1(n∈Z)，那么ak2+bk=(2n+1)(2na+a+b)为偶数，也与③矛盾.故假设错误.

所以原命题结论成立.

点评：很显然，本题如果运用函数或方程的思路直接证明较困难，但我们如果换个思路从反面入手，采用反证法来证明则简捷多了.

3.2 命题的结论表现为“唯一”的形式

当待证命题的结论用“是、有、只有、有唯一、为、必为”等表肯定的词语表述时，可以运用反证法进行证明.

(i)a11，a22，a33为正数，其余系数都是负数；

(ii)在每个方程中系数之和为正数.

求证：方程组有唯一的一组解.

证明：显然(0，0，0)即x1=x2=x3=0是方程组的一组解；假设(a，b，c)是方程组的另一组解，则可分为两种情况：

(1)a，b，c中至少有一个正数；

(2)a，b，c中至少有一个负数.

对情况⑴，不妨设a>0，a≥b，a≥c.

因为a12<0 ，a13<0，所以

a12b≥a12a，a13c≥a13a.

又a11+a12+a13>0，a11>0，所以

a11a+a12b+a13c≥(a11+a12+a13)a>0.

这与(a，b，c)是方程组的解的定义相矛盾.

对情况⑵，不妨设a<0，a≤b，a≤c，则-a>0，-a≥-b，-a≥-c.根据(1)可知

a11a+a12b+a13c=-[a11(-a)+a12(-b)+a13(-c)]<0.

同样导致矛盾.

综上所述，方程组仅有唯一一组解(0，0，0).

点评：从本题的证明我们可以看到，当结论的反面不止一种情形时，反设后，要分别对各种情况进行归谬，做到全面准确，无一遗漏.

图1

例4四面体P-ABC中从一个点出发的三个面为直角三角形，则第四个面必为锐角三角形.

AB2+AC2-BC2≤0.

即(a2+b2)+(a2+c2)-(b2+c2)≤0⟹2a2≤0，这与a2≥0矛盾.

故假设不成立，所以原命题成立.

点评：本题如果直接证明有困难，由于涉及到立体几何，所以结合“数形结合”的思想，运用反证法较为简捷.

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3.3 命题的结论表现为“至多”“至少”的形式

对待证命题的结论出现“至多”“至少”及存在性之类的词语，从反证法入手也较为有利.

例5设zk(k=1,2，……，n)是满足|zk|≤1与z1+z2+……+zn=0的n个(n≥2)复数.求证：这n个复数中至少有两个复数zs，zt满足|zs+zt|≤1.

证明：假设这n个复数中任意两个复数zi，zj(i≠j，i，j=1，2，……，n)均不满足|zi+zj|≤1，即有|zi+zj|>1.

因为|zk|≤1(k=1，2，……，n)，所以与复数zk相应的点Zk全部在复平面的单位圆(含圆周)域内.

令与zi，zj对应的向量分别为zi,zj且它们的夹角为θ，且设|zi|≤|zj|≤1，即|zi|·|zj|≥|zi|2.

又因为|zi+zj|2>1≥|zj|2，所以

-|zi|2≥-|zi|·|zj|，|zi+zj|2-|zj|2>0.

所以

则这n个复数zk(k=1,2，……，n)虚部之和为

|z1|sin(argz1)+|z2|sin(argz2)+……+|zn|sin(argzn)>0

④

而已知z1+z2+……+zn=0，则这n个复数的虚部之和为0，与④式矛盾.

因此，这n个复数中至少存在两个复数zs，zt，满足|zs+zt|≤1.

⑤+⑦，得-1<10+4a+2b<1.

则有-3<8+4a+2b<-1.

点评:本题的命题结论中含有“至少”之类词语，也属于存在性之类的问题，宜用反证法证明.关键步骤是根据假设结合不等式性质得出矛盾的结果.

4 反证法思想在探索性问题中的应用

当待证命题的结论中出现“有没有”“能不能”“是否存在”等带有不确定、探索性词语时，除了通过若干数据实验，运用不完全归纳法和数学归纳法证明外，运用反证法来证明显得更加简捷明快.

解析：假设这样的抛物线存在，其焦点坐标为(a,a-1)，顶点坐标为(a-1,a-1)，抛物线方程为

(y+1-a)2=4(x+1-a) ⑧

令x=0，有y2+2(1-a)y+(1-a)2-4(1-a)=0.

x2+4(1-a)x+4(a2-6a+21)=0.

点评：本题是关于探索性问题的求解，如果按照常规的思路，过程比较繁琐；如果紧扣题设中“截直线所得的弦长与截y轴所得弦长相等”这一条件，运用反证法思想就显得简捷多了.

例8是否存在双曲线C，同时满足下列两个条件：

(1)以点F(-1,0)为焦点，对应的准线为直线x=-4；

(2)与抛物线x=y2+2有且只有一个公共点.

若存在，求出双曲线C的方程；若不存在，说明理由.

整理得(1-e2)y4+(7-12e2)y2+9-36e2=0.

因为e>0，Δ=13+12e2>0,则

由于方程只有一解，则y2=0.

所以，这样的双曲线不存在.

点评：本题是关于探索性问题的求解，运用反证法思想可以避免分类、分情况讨论等繁琐的猜测尝试过程，具有化繁为简的优点.

实验归纳形式的题型，是一种开放式探索性题型，由于这类题型具有“有效考查考生的基础知识、能够全面检测考生分析问题和解决问题的能力”等优点，近年来已成为高考的高频题型，所以，熟悉并掌握这类题型的特点与答题技巧很有必要.

5 结论

从上述典型例题的分析中我们可以看出，反证法“三必须”“三形式”的运用技巧在证明题中展示了较强的实用性与灵活性；尤其是面对一些较复杂的、难以直接证明的问题，运用反证法往往能够使原本闭塞的思路豁然贯通，“柳暗花明又一村”的开阔之感油然而生！