初中数学主题化跨单元教学设计——以“三角形”的教学为例

⦿南京师范大学附属中学树人学校 刘春桃

1 问题的提出

推行“双减”政策，要建立高质量的教育体系，提升教育教学质量，充分发挥课堂主渠道的作用，实现课堂的“减负增效”.随着新课标的颁布和教改的不断深入，单元式教学、项目式教学、跨学科式教学等新的教学模式应运而生，在“双减”背景下，重新审视这些教学模式，单元式教学是实现课堂提质增效的最佳途径[1]，且易为大多数教师所接受和实施，但这种教学模式在具体实践过程中仍然存在断层式或零散式现象，学生对于知识的学习依然处于碎片化、浅层次状态.事实上，数学知识之间存在横向或纵向的联系，为了帮助学生构建完整的知识体系，厘清知识之间的联系，提出主题化跨单元教学模式，在坚持“学生立场、单元视角、有机整合、高度拓展”基本原则的基础上，对数学知识进行跨单元整合与拓展，打通“隔断墙”，抓住核心素养，给与学生真实的“学习力”“生长点”，更能揭示相关数学知识之间的内在关联，突出知识的系统性和教学的整体性、阶段性和连续性，可以有效促进学生对数学知识的整体构建和核心素养的培养.本文中以“三角形”这一主题为例，具体探讨主题化跨单元教学设计与实施策略.

2 教材分析

课堂教学的主要依据是教材.教师在进行教学设计和组织教学活动时，应反复研读和深挖教材，厘清知识之间的联系，这样才能明确教学的重难点和目标，才能设计出切实可行的教学方案[2].

“三角形”主题化跨单元教学设计过程中，首先需要教师充分挖掘不同单元、不同学段的相关内容(如表1)，并在明晰前后知识点之间联系的基础上，进行系统化、整体化的思考与重构，形成跨单元教学思路.

表1 苏科版初中数学“三角形”相关内容分布

“三角形”是整个初中阶段数学学科的重点，也是高中数学学习的基础.在苏科版教材中，关于“三角形”这一主题知识点的联系，主要表现在研究内容和研究方法两个方面.

从研究内容上看，涵盖三角形的确定、全等三角形的判定、相似三角形的判定和解三角形.其中，以三边、三角的关系确定一个三角形是研究基础，同时也是判定全等三角形的前提；而相似三角形则是全等三角形的进一步拓展和升华，全等三角形一定是相似三角形，但相似三角形不一定是全等三角形.而锐角三角函数则是建立在直角三角形中边角之间关系的前提下，从代数的角度去分析三角形的特征.

从研究方法上看，全等三角形的判定和相似三角形的判定，都是从定性的角度去研究三角形的性质和特点.其中，全等三角形的判定定理是相似三角形判定的加强，而相似三角形的判定定理则是全等三角形的弱化.锐角三角函数则是从定量的角度去探究三角形的三条边和三个角之间的关系.

3 数学教学案例设计

主题化跨单元设计理念下的数学教学核心是整体化和关联化，要以同一主题将不同单元的内容有机串联起来，通过对知识结构的整合和螺旋式思维的培育[3]，帮助学生构建完整的知识体系，从而有效解决前后断层、重复、缺乏新旧知识衔接等诸多问题.基于教材分析，笔者构建了“三角形”主题跨单元内容结构图(如图1)，并按照知识点之间的联系和学生认识水平，有序开展课堂教学活动.

图1 三角形主题跨单元教学结构内容图

3.1 画三角形，引导学生初步认识三角形

“认识三角形”是学生学习三角形的第一个单元，本单元教学的重难点是三角形的概念、分类、三边关系及如何画出满足条件的三角形.为此，在这一环节，笔者以问题串的形式设计了“画三角形”的探究性活动，将教学重难点融入其中，让学生在动手、动脑的过程中突破知识难点.

问题1确定一个三角形需要几个元素？

问题2给定两个元素可以画出符合条件的三角形吗？

问题3给定三个元素能否画出唯一确定的三角形？

问题4在不画图的前提下，若给定四个及以上元素能够确定符合条件的三角形吗？

设计意图：通过问题串引导学生深入探究确定三角形所需的条件，明确在不同分类情况下的不同条件，在强化学生对三角形三边与三角认知的同时，也为接下来的全等三角形和相似三角形的判定奠定基础.

3.2 小组合作，探究三角形全等的判定条件

三角形全等的判定，在初中三角形主题的学习中起着承前启后的作用，是相似三角形判定的重要依据.在主题化跨单元教学过程中，笔者继续以问题串的形式，引导学生开展小组探究活动，深入学习三角形的特性.

问题5在分别给出1～4个及以上元素的情况下，哪种情况能够构造出两个大小与形状完全一样的三角形？

问题6能否结合图形特征，尝试给出全等三角形的定义与性质？

问题7你是如何判定两个三角形全等的？有什么依据？

问题8如何寻找全等三角形及判定三角形全等的条件？

探究过程：在课前小测巩固旧知的基础上，以动手操作的活动形式，让学生尝试构建两个大小且形状相同的三角形，找出其中相等的边和相等的角度，并思考如何判定两个三角形全等.小组首先借助一副三角板合作探究给定1个元素(一条边、一个角)和2个元素(两边、一边一角、两角)的情况，学生经历操作、归纳得出1个元素、2个元素不能判断两个三角形全等的结论；继续探索给定3个元素(三边、两边一角、一边两角、三角)的情况，学生发现给出三边、两边及其夹角、两角及其夹边或两角及其中一角的对边，可以得出两个三角形全等的结论.学生交流讨论后，教师再利用图形及动画进行展示，让学生有更直观的感受，最后师生共同归纳总结全等三角形的四种判定方法.

点评：提出问题时条件由少到多、由简到繁，一步步深入、引导，通过一系列的活动最终得出三角形全等的条件.学生在合作探究中，提高了动手操作能力，有效突破了学习难点，并在小组合作中互帮互助，实现了资源的优质与均衡.

3.3 类比迁移，探究三角形相似的判定条件

从知识的横向联系来看，全等三角形是相似三角形的一种特殊情况，相似三角形则是全等三角形判定条件弱化后的进一步探究，二者之间有着极强的相似性.因此，笔者依然采取小组自主探究的方式，通过巧设问题，引导学生类比迁移寻找全等三角形判定条件的方法和思路，深入挖掘判定三角形相似的条件.

问题9阅读教材，思考相似三角形与全等三角形之间有什么联系与区别？

问题10猜一猜相似三角形的判定方法与全等三角形的判定方法是否会有联系？

问题11 能否类比全等三角形判定的研究过程，探究相似三角形的判定条件？

问题12当两个直角形相似时，它们的边与角之间存在什么样的关系？是否可以用边之间的关系来描述直角三角形中锐角的大小？

设计意图：在全等三角形的判定的学习中，学生已经体验了画三角形和用叠合法描述角相等、线段相等的过程，这为学生探究相似三角形提供了思路与方法.学生通过类比迁移，思考从全等三角形到相似三角形，哪些量不变？哪些量发生了变化？在变与不变中，学生运用相似的定义及预备定理，依照全等三角形判定的四种情形，逐一对相似三角形的判定条件进行探讨，并得出结论.同时，借助问题12，构架了从相似三角形到锐角三角比概念的形成过程，实现了从“定性”向“定量”研究的过渡.

3.4 从特殊到一般，探究解三角形的方法

通过对教材的分析，我们发现全等三角形和相似三角形的学习，都是为解三角形作铺垫，是用代数方法从量的角度对三角形的特征进行研究.

教学中，首先利用校园中的不可测量问题，引导学生从全等三角形、相似三角形等多角度思考解决问题的方法，即如何将“不可测量”问题转化为“可测量”问题，揭示相似三角形与锐角三角比之间的密切联系.沿着古人的足迹，师生共同探究、发现：在直角三角形中，当锐角固定时，锐角的对边与邻边之比是定值；当锐角变化时，角的对边与邻边之比也随之发生变化.这样渗透了函数思想，揭示锐角三角比是三角函数的基础，渗透从一般到特殊、从特殊到一般的数学思想方法.紧接着引导学生根据确定三角形的条件，结合全等三角形判定，探究给定什么条件时，可以求解三角形的其他元素？如何求解非直角三角形？从学科角度来看，解三角形问题面对的是一个几何对象，所以，在此过程中，注重引导学生从数形两个角度去理解，做到数形的自然融合，体会几何直观和代数运算之间的关系.

设计意图：本节课的重点是需要引导学生从特殊走向一般，得出解任意三角形的方法.

4 结论

总之，课堂上主题化跨单元教学活动的组织和开展，对优化教学内容、发挥学科育人功能、提高学生知识整合能力等方面有着突出的作用.对于教师而言，能够促进其吃透教材、数学理论，明确各个单元之间的内在联系，从而在数学课堂上做到游刃有余；对于学生而言，主题化跨单元教学设计，能将不同单元内容合成一个整体，有利于促进他们对知识的整体构建，触发探究灵感，强化感知能力和综合学习能力，高效实现对学生进行数学核心素养培育的目标.