咖啡馆、散步和数学家

林革

很长一段时间里，咖啡馆是欧洲城市里最早的、也是唯一供各阶层人们自由来往聚会的场所。除了弥漫着咖啡诱人的香气，这里更有一种悠然自得的氛围，令人们的身心得以放松，科学和艺术的灵感在咖啡的香气里不断闪现。

苏格兰咖啡馆位于19世纪30年代波兰的利维夫市（现乌克兰的利沃夫市）的里沃夫大学附近。这个原本普通的咖啡馆，由于数学家的经常光临而逐渐成为学术沙龙之所，见证了现代数学的一些重要分支的发展，曾被誉为“数学家的摇篮”。

波兰杰出的数学家巴拿赫和乌拉姆就是这家咖啡馆的常客。巴拿赫曾任波兰数学会主席，以他的名字命名的巴拿赫空间、巴拿赫平均数、巴拿赫点阵、巴拿赫定理在数学界享有盛誉，他领导的里沃夫数学学派风靡全球，极大地推动了数学的发展。而乌拉姆这位出色的应用数学家，曾与冯·诺依曼都参与了美国陆军部研制原子弹的计划，還参与研究核能推动的航天飞机。他是美国总统科学顾问委员会的顾问。

当时在里沃夫大学担任教授的巴拿赫，最喜欢的事就是邀自己的学生乌拉姆和几个志同道合的人，跑到附近的苏格兰咖啡馆，边喝咖啡边讨论数学问题，聊得兴起时甚至会在店里坐上十几个钟头。他们自由地探讨与争执，并随手把交流的数学心得写在大理石桌面上，但这显然不是可靠的保存方式，以至于一些数学家抱怨重要的“思想火花”在苏格兰咖啡馆被发现又被遗忘。于是，有心的巴拿赫将一本笔记本存放在咖啡馆的老板那里，每当他们来店里，老板便将本子连同咖啡一并送上。大家在讨论中觉得某个问题有价值，就会把它记录在笔记本上。

据统计，1935—1941年，这本笔记本总共记录了193个高深的数学题目，迄今为止大约还有四分之一的问题未获得解答。有趣的是，店主还与前来边喝咖啡边讨论数学问题的人做了约定，谁证明或解答了某个问题，便可获得软糖或蛋糕一块，当然也少不了鱼子酱和啤酒。

数学家巴拿赫（左）和乌拉姆（右）

这种独特的、无拘无束的、畅所欲言的学术氛围，让许多参与者印象深刻，后来移居美国的乌拉姆到了晚年，仍对当时在咖啡馆探讨数学问题的场景念念不忘。

无独有偶，波兰另一位著名的数学家斯坦因豪斯，工作之余也喜欢和几位同行到苏格兰咖啡馆讨论数学问题。斯坦因豪斯经常发表一些独到的见解，并能对他人提出的问题给出精彩的解答。著名的“斯坦因豪斯战斧图”就是在苏格兰咖啡馆里诞生的。

如图1所示，阴影部分由4段以已知正方形边长的一半为半径的圆弧围成，它的形状就像一把战斧。比较有趣的是，这把战斧（阴影部分）的面积恰好是正方形面积的一半，通过割补法（图2）可以巧妙地证明这个结论。有兴趣的读者不妨探究一番！

斯坦因豪斯图形

数学家希尔伯特（上）和闵可夫斯基（下）

而散步似乎也能与喝咖啡产生同样的效果，主角则是德国著名数学家希尔伯特和闵可夫斯基。希尔伯特和闵可夫斯基先后进入哥尼斯堡大学，两个才华横溢、志趣相投的年轻人很快结识，并成为终生的挚友。1884年，25岁的数学家胡尔维茨来到哥尼斯堡大学担任副教授，共同的爱好把他们三人紧密地结合在一起。每天下午5点整，他们都会准时在校园的苹果树下集合，一起散步，讨论当下的一些数学问题，时而低头苦思，时而滔滔不绝，时而争执辩论……正是在这种信马由缰、各抒己见的交流中，思维互相碰撞产生灵感的火花，让三位年轻人互相促进、收益良多，为今后的成就奠定了坚实的基础。以至于希尔伯特成了数学大家后，仍坚持和几个志同道合的同行或喜欢的学生按约定的时间和地点进行“数学散步”。

在闵可夫斯基去世后的纪念演说中，希尔伯特曾动情地回忆他们的这种已经成为习惯的“数学散步”：“它像一个盛开着鲜花的园林。花园里有被人踏过的路，空闲时你可以循着它去观花赏景，悠然自得而不用费力，当一旁有一个情趣相投的朋友时更是如此。但是，我们还喜欢去寻找那深藏不露的小径，去发现更多出人意料的、大饱眼福的景色。当一个人向另一个人指出这种奇景时，我们共同赞美它，真是其乐无穷。”

尽管数学家的做法不能成为我们现在学习的主要途径，但“咖啡馆数学沙龙”和“数学散步”的方式仍能给予我们启示：在轻松和谐的氛围中自由讨论各自感兴趣的知识或问题，交流各自学习的方法和体会，也许会收获意想不到的效果。