再论二性群的结构

唐国丰，许明春

（华南师范大学数学科学学院，广东 广州 510631）

二性群的概念来源于特征标理论.其定义为该群的每个特征标的值均为实数，因此二性群也称为实群［1］.利用群表示论的知识容易证明，一个群是二性群当且仅当其每个元素与其逆元素共轭.根据这一等价条件，又把群中与其逆元共轭的元素称为实元，把包含实元的共轭类称为实共轭类［2−3］.

已有诸多学者研究了二性群.早在1969年，Berggren在文献［4］中就研究了“每个元素与它的逆共轭的群”，即今天所说的二性群.在该文中，Berggren证明了交错群An是二性群当且仅当n=1，2，5，6，10或14.1994年，Armeanu在文献［1］中研究了二性群的有关性质，其中对含有交换Sylow 2-子群的二性群做了特别研究.2014年，郭继东等发表文献［5］，探讨了某些二性群的结构.该文主要运用初等群论的方法，确定了2p阶、4p阶、2p2阶、8p阶二性群的结构，其中p是奇素数.基于上述结果，该文作者对阶小于32的二性群进行了分类.

关于二性群还有一个由Gow提出的猜想：若G是二性群，P是G的Sylow 2-子群，则P/P＇是初等交换群.2016年，Navarro和Tiep在文献［6］中证明了这一猜想.同时还指出，二性群的Sylow 2-子群不一定是二性群，并给出了反例A4⋊Q8.此外，还有许多文献研究了实元、实共轭类及实特征标等有关问题，如文献［7−17］.

容易举出一些二性群的例子，如对称群Sn，二面体群D2n等.文献［1］和［5］中探讨了某些二性群的结构.将在文献［5］的基础上继续讨论，所采用的符号和术语都是标准的.

为方便讨论，将后文中需要用到的主要结论罗列如下，这些结论均以引理的形式给出.

引理1［1，5］二性群的商群是二性群；有限个二性群的直积是二性群.

引理2［2，5］设G是二性群，G≠1.则|G|为偶数.

引理3［5］幂零的二性群是2-群.

引理4［5］G是4p阶的二性群当且仅当G≅C2×D2p≅D4p.

引理5［5］G是16阶的二性群当且仅当下列情形之一成立：

引理6［18］已知|G|=4pq，其中2＜p＜q，Q∈Sylq（G），G可解但非幂零，则Q◁G.

引理7［19］设G为112=24×7阶群，P∈Syl7（G），P⋪G.则

引理8［20］设|G|=p2qr，其中p，q，r是不同的素数，则G可解或G≅A5.

引理9［20］（Burnside）设G是有限群，P∈Sylp（G）.若NG（P）=CG（P），则G为p-幂零群.

1 主要结果

本文的主要结果如下.

定理1设p，q是奇素数，且p＜q.则G是4pq阶二性群当且仅当下列情形之一成立：

1）G≅D4pq；

2）G≅D2p×D2q；

3）G≅A5.

定理2设p是奇素数.则G是23p阶二性群当且仅当下列情形之一成立：

1）G≅Q8p；

2）G≅D8p；

3）G≅C2×C2×D2p；

4）G≅S4.

定理3设p是奇素数.则G是24p阶二性群当且仅当下列情形之一成立：

1）G≅C22×D4p；

2）G≅D8×D2p；

3）G≅C2×D8p；

4）G≅Q8×D2p；

5）G≅C2×Q8p；

6）G≅D16p；

7）G≅Q16p；

8）G≅C2×S4；

9）G≅〈a，b，c，d|a4=b3=1，c2=d2=a2，a−1ba=b2，a−1ca=d−1，a−1da=c−1，b−1cb=d，b−1db=cd，d−1cd=c−1〉.

定理4设G是亚循环群.则G是二性群当且仅当下列情形之一成立：

1）G≅C2×C2；

2）G≅D2n，n≥3；

3）G≅Q4n，此时要求8||G|.

2 主要结果的证明

2.1定理1的证明设G为4pq阶群.则由引理8，G≅A5或G可解.若G≅A5，则G是二性群［2，4］.若G可解，分幂零和非幂零2种情况讨论G的结构.

2.1.1G幂零 由引理3，幂零的二性群是2-群.因此这时G不是二性群.

2.1.2G非幂零 设Q∈Sylq（G）.此时根据引理6，有Q◁G.因此若G是二性群，则商群G/Q为4p阶二性群.因此由引理4，G/Q≅D4p=〈a，b|a2p=b2=1，b−1ab=a−1〉.于是G≅Q⋊D4p.

设Q=〈x|xq=1〉.D4p中的每个元素诱导出Q的一个自同构，即有群同态α：D4p→Aut（Q）≅Cq−1.根据同态基本定理，D4p/kerα同构于Cq−1的某个子群.由于右边是循环群（从而为交换群），所以D4p＇=〈a2〉≤kerα.

1）若kerα=〈a2〉，则D4p/kerα≅C2×C2.但右边为循环群，矛盾.因此〈a2〉＜kerα.从而kerα=〈a〉或kerα=〈a2，b〉.（注意，若kerα=D4p，则D4p中的每个元素诱导出在Q上的恒等自同构，从而G≅Q×D4p，但Q是奇阶群，由引理1和2，这与G是二性群矛盾.）

2）若kerα=〈a〉，则〈a〉中的每个元素与Q中元素可交换.但b∉CG（Q）.设b−1xb=xi，则i≠1且i2≡1（modq），从而i=−1.因此这时

3）若kerα=〈a2，b〉，则〈a2，b〉中的每个元素与Q中元素可交换.但a∉CG（Q），所以a−1xa=x−1.因此这时

显然，上述讨论中式（1）和（2）所确定的群G及A5均为二性群，故定理1得证.

2.2定理2的证明文献［5］中证明了如下结果.

定理5 设p是奇素数.则G是23p阶二性群当且仅当下列情形之一成立：

证明上述定理中的群1）、3）、4）和5）为二性群，同时指出群2）不是二性群.事实上，群1）同构于广义四元数群Q4n，当且仅当n为偶数时该群是二性群［3］.这里n=2p，因此群1）为二性群.群3）事实上是二面体群，也是二性群.群4）由二性群作直积得到，因此也是二性群.群5）显然是二性群.

对于群2），考察元素ac所在的共轭类（ac）G.由所给的定义关系，G中元素总可以写成aibjck的形式，其中0≤i≤p−1，0≤j≤3，0≤k≤1.注意到ab=a−1，cb=b2c，且b2∈Z（G），ac=ca，因此（ac）G=｛（ac）aibjck|0≤i≤p−1，0≤j≤3，0≤k≤1｝=｛ac，（ac）b｝=｛ac，ap−1b2c｝.但ac的逆元素为ap−1c，它们不在同一个共轭类中.同样地，考察元素ap−1c所在的共轭类，可得（ap−1c）G=｛ap−1c，ab2c｝.但ab2c与ap−1b2c互逆，它们也不在同一个共轭类中.因此群2）不是二性群，从而定理2得证.

2.3定理3的证明设G是24p阶群.若G是二性群，则G的Sylow 2-子群不正规.但对于P∈Sylp（G），可能有P◁G或P⋪G.根据2种情况分别讨论G的结构.

2.3.1P◁G的情形 此时Q≅G/P为16阶二性群.由引理5，Q同构于下列群之一：1）C24；2）C2×D8；3）C2×Q8；4）D16；5）Q16.由于|P|与|Q|互素，G≅P⋊Q.设P=〈x|xp=1〉.下面根据Q的结构分别讨论G的结构.

1）Q≅C24Q中的每个元素诱导出P的一个自同构，即α1：C24→Au（tP）≅Cp−1.由同态基本定理，C24/kerα1同构于Cp−1的某个子群.因右端为循环群，左端也应为循环群.但C24为初等交换群，因此C23≤kerα1.同样地，P与Q的半直积不能为直积，所以kerα1＜C24，从而kerα1≅C23.这样，Q中的子群C23与P≅Cp可交换，余下的直积因子C2与Cp形成非交换群Cp⋊C2.所以

2）Q≅C2×D8=〈a|a2=1〉×〈b，c|b4=c2=1，c−1bc=b−1〉 此时Q中的每个元素诱导出P的一个自同构，即α2：C2×D8→Aut（P）≅Cp−1.同样地有（C2×D8）′=1×〈b2〉≤kerα2.注意到Cp−1是循环群，因此（C2×D8）/kerα2也应为循环群，从而kerα2只能是1×〈b，c〉，〈a〉×〈b2，c〉或〈a〉×〈b〉.

i）若kerα2=1×〈b，c〉，则〈b，c〉≅D8与P≅Cp可交换，〈a〉≅C2与Cp形成非交换群，从而

ii）若kerα2=〈a〉×〈b2，c〉，则〈a〉×〈b2，c〉与P可交换.但b∉CG（P）.设b−1xb=xj，则j≠1且j2≡1（modp），从而j=−1.因此

iii）若kerα2=〈a〉×〈b〉，则〈a〉×〈b〉与P可交换.但c∉CG（P），从而

3）Q≅C2×Q8=〈a|a2=1〉×〈b，c|b4=1，c2=b2，c−1bc=b−1〉 同样地有α3：C2×Q8→Aut（P）≅Cp−1，（C2×Q8）′=1×〈b2〉≤kerα3.注意到Cp−1是循环群，因此（C2×Q8）/kerα3也应为循环群，因此kerα3只能是1×〈b，c〉，〈a〉×〈b2，c〉或〈a〉×〈b〉.

i）若kerα3=1×〈b，c〉，则〈b，c〉≅Q8与P≅Cp可交换，〈a〉≅C2与Cp形成非交换群，从而

ii）若kerα3=〈a〉×〈b2，c〉，则〈a〉×〈b2，c〉与P可交换.但b∉CG（P），从而

iii）若kerα3=〈a〉×〈b〉，则〈a〉×〈b〉与P可交换.但c∉CG（P），从而

4）Q≅D16=〈a，b|a8=b2=1，b−1ab=a−1〉 同样地有α4：D16→Aut（P）≅Cp−1.D16′=〈a2〉≤kerα4.但若kerα4=〈a2〉，则D16/kerα4≅C22，不能作为Cp−1的子群.因此kerα4只能是〈a〉或〈a2，b〉.

i）若kerα4=〈a〉，则〈a〉与P可交换.但b∉CG（P），从而

ii）若kerα4=〈a2，b〉，则〈a2，b〉与P可交换.但a∉CG（P），从而

5）Q≅Q16=〈a，b|a8=1，b2=a4，b−1ab=a−1〉 同样地有α5：Q16→Aut（P）≅Cp−1.Q16＇=〈a2〉≤kerα5.同理，〈a2〉＜kerα5.从而kerα5=〈a〉或〈a2，b〉.

i）若kerα5=〈a〉，则〈a〉与P可交换.但b∉CG（P），从而

ii）若kerα5=〈a2，b〉，则〈a2，b〉与P可交换.但a∉CG（P），从而

所以，若G为24p阶二性群，且Sylowp-子群P◁G，则G必同构于上述群3~13中的一个.

由引理1和定理2可知群5）不是二性群.通过考察共轭类可知，群11）和群13）中均存在非共轭的互逆元素，从而不是二性群.不难看出其余的7个群均为二性群（8）和9）确定的是同构的群），因此当P◁G时，G是24p阶二性群当且仅当下列情形之一成立：

2.3.2P⋪G的情形 根据Sylow定理，|Sylp（G）|＞1且|Sylp（G）||16.因此p只能是7，5或3.下面逐一讨论.

1）p=7 由引理7，有

容易看出，这时G中的Sylow 2-子群正规，从而G不是二性群.

2）p=5 根据Sylow定理，有|Syl5（G）|=|G：NG（P）|=16，因此p=|NG（P）|=|P|，从而P=CG（P）=NG（P）.由引理9，此时G是p-幂零群，因此不是二性群.

3）p=3 当p=3且P⋪G时，由文献［19］，下列情形之一成立：

下面逐一考察它们是否为二性群.群i）中子群〈b，c，d〉◁G，商群G/〈b，c，d〉为4阶循环群，不是二性群，从而G不是二性群；群ii）事实上同构于C2×S4，由引理1知其为二性群；通过计算共轭类可知，群iii）不是二性群，群iv）为二性群.这样，48阶二性群共有9个.

综上所述，定理3得证.

2.4定理4的证明充分性是显然的，下面证明必要性.

设G是亚循环的二性群，则G有循环正规子群N，使得G/N是循环的二性群，从而G/N≅C2.可设N=〈a|an=1〉，G/N=〈bN〉，b∉N，b2∈N.于是G=〈a，b〉.考虑元素a所在的共轭类，aG=｛a，ab｝.由于G是二性群，因此a−1=a或ab.

若a−1=a，则N=〈a|a2=1〉，G/N≅C2，从而G≅C2×C2.

若a−1=ab，则设b2=am.于是am与b可交换，am=b−1amb=a−m，所以a2m=1，从而2m≡0（modn）.若n是奇数，则m≡0（modn），从而b2=1.这时G=〈a，b|an=b2=1，b−1ab=a−1〉，同构于二面体群.若n是偶数，则m≡0（modn/2），从而b2=an/2或1.前一种情形即G=〈a，b|an=1，b2=an/2，b−1ab=a−1〉，同构于广义四元数群.由于G是二性群，由广义四元数群的特征标表［3］知此时8||G|.后一种情形G同构于二面体群.

证毕.

上述定理的证明一定程度上参考了Hölder关于亚循环群构造定理的证明，见文献［20］.