基于混沌理论的降水量预测方法研究

舒涛，路昊天，曹景轩，叶唐进，陶伟，付润艺，李豪

基于混沌理论的降水量预测方法研究

舒涛1，路昊天2，曹景轩3，叶唐进4，陶伟3，付润艺3，李豪5,6,7*

（1.中国海洋大学 海洋地球科学学院，山东 青岛 266100；2.桂林理工大学 地球科学学院，广西 桂林 541004；3.西藏大学 工学院，拉萨 850000；4.大连理工大学 建设工程学部，辽宁 大连 116024；5.中国科学院 山地灾害与地表过程重点实验室，成都 610041；6.中国科学院 水利部成都山地灾害与环境研究所，成都 610041；7.中国科学院大学，北京 100049）

【】得到精确度较高的月降水量预测值。首先利用C-C关联积分法来确定波密站月降水量非线性系统的时间延迟和嵌入维数，再对月降水量时间序列进行相空间重构，并利用小数据量法求取Lyapunov指数来判断月降水量时间序列的混沌特征，然后构建Volterra模型分别进行短期5 a和长期15 a降水量预测，将其预测小波预测模型和SVR预测模型的预测值对比，最后对Volterra短期预测模型进行叠加预测误差分析和模型推广分析。Volterra模型对混沌特征明显的月降水量进行短期预测时，其和分别为4.04%和0.941，相比小波和SVR模型来说具有较高的预测精度，同时叠加预测误差较小，其为7.657%，为0.894；而在长期预测时，该模型预测精度不如SVR模型；同时Volterra模型对混沌特征弱的月降水量进行短期预测时，其模型预测效果并不理想，为54.855%，仅为0.566。该方法能提供精确度较高的降水量预测值，为降水量的预测提供一种新的方法。

混沌理论；相空间重构；Lyapunov指数；Volterra滤波器；降水量预测

0 引 言

【研究意义】在G318国道林芝至波密段地质灾害频发，导致地质灾害频发的主要诱发因素之一是降水[1]。若能较精确地预测该地区的降水量，则能对地质灾害起到预警预报的作用。由于降水量是非线性、非稳定性的时间序列，在月降水系统中可能存在着混沌序列[2]；因此，能否将混沌理论应用于月降水量的预测来提高模型预测精度，成为水文预测中的研究热点。

【研究进展】混沌是指具有确定性的动力学系统受到非线性变量的影响而产生的一种没有规律的，但有貌似规律的现象[3-4]。在早期混沌研究中，Lorenz[5]研究长期气象预测时发现了混沌现象“蝴蝶效应”，1987年，Hense[6]在研究月降水量时间序列关联维数时同样发现混沌现象，此后，许多学者在降水量时间序列中也发现了混沌现象[7-9]。随着对混沌现象的研究逐渐深入，王文等[10]认为对水文系统中的混沌现象研究很有必要。Sivakumar等[11]在月径流预测中运用混沌理论中的重构相空间法构建预测模型，发现其具有较高的预测精度，并且随着一系列基于混沌理论的预测算法的出现，混沌理论在水文系统中应用越来越多；因此，国内外学者便尝试将基于混沌理论的预测算法用来对径流和降水量进行预测。但在混沌预测的早期研究中，主要是将混沌理论的重构相空间法应用于降水量预测[12-13]；在21世纪初，神经网络算法得到了迅速发展，便有部分学者尝试运用混沌理论与神经网络相结合的方法来对降水量进行预测[14-18]，其发现混沌理论能够提高这些神经网络预测模型的精度。随后，便有一批国内外的学者将混沌理论应用于神经网络模型，以期提高模型预测精度[19-21]；但在近年的研究中，混沌理论常应用于遗传算法与小波变换中，以期获得更高的预测精度[22-25]。【切入点】一般来说降水量时间序列为离散时间序列，其预测思路一般是对离散时间序列进行分解，来分析其发展规律[26]。但是利用传统的方法只能发现降水量时间序列中很少的信息，而混沌理论却是从一个新的维度来揭露降水量时间序列的内部变化特征，即从相空间上分析其运动特征[27]。这么多年来，许多专家学者利用混沌理论对水文学的各个领域进行了初步的研究，并取得了丰硕的成果。但是至今为止，对降水量时间序列的混沌研究仍处于探索阶段，仍还有许多问题有待研究。

【拟解决的关键问题】综上所述，在降水量时间序列中确实可能存在混沌现象，但近年来国内外学者只是将混沌理论应用于传统的降水量预测模型中，而没有使用专门预测混沌特征的预测模型如Volterra模型等；也没有进一步验证这些模型是否对混沌特征弱的降水量时间序列仍具有较好的预测效果。首先对波密站1961—2018年月降水量进行特征分析，其次利用C-C关联积分法来确定波密站月降水量系统中的时间延迟和嵌入维数，再对月降水量时间序列进行相空间重构，并利用小数据量法求取Lyapunov指数来判断月降水量时间序列的混沌特征，然后构建Volterra模型分别进行短期5 a和长期15 a降水量预测，将其预测值与小波预测模型和SVR预测模型的预测值对比，最后对Volterra短期预测模型进行叠加预测误差分析和模型推广分析。

1 降水量特征分析

根据1961—2018年波密站的降水量数据（图1）可知，2015年波密站年降水量达1 169 mm，为历年降水量最高值；1964年年降水量439.9 mm，为历年降水量最低值。1961—2018年，波密站年降水量>1 000 mm的就有12次，而年降水量<500 mm的仅只有3次，分别为1961、1964年和1967年。从月量时间尺度上看，波密站历年单月降水量>200 mm的就有27次，其中历年6月降水量>200 mm的就达11次，占2/5。

图1 1961—2018年波密站各月份平均降水量

通过图1可知，波密站降水主要集中在4—9月，其中6月降水最多；平均月降水量达130 mm以上；而1968年6月单月降水量达307.9 mm。对1961—2018年波密站12个月历年降水量数据进行趋势分析，得到图2所示的各月降水量趋势图，从趋势图中可以发现，降水量趋势变化较大的主要集中在4、5、6月和8月这几个月。从1961—2018年来看，8月趋势变化最大，趋势最明显；8月降水量从总体处于上升趋势，但在近年来却呈下降趋势；而在近年来，5、6月和11月降水量呈下降趋势，4、9月和10月降水量呈上升趋势。

图2 1961—2018年波密站各月份降水量趋势图

2 降水量相空间重构及混沌特征识别

由于降水是一个非线性、非稳定的时间序列，可能具有混沌现象。因此，本文首先利用C-C方法求得相空间重构的2个参数时间延迟和嵌入维数；然后对降水量时间序列进行相空间重构，并使用小数据量法求取Lyapunov指数进行混沌特征判别。

2.1 C-C法相空间重构

相空间重构理论(Phase Space Reconstruction Theory)是混沌系统分析中最重要的一步，基本原理是：获得时间序列中合适的时间间隔∆和时间延迟，利用时间延迟技术将时间序列由一维转换到一个未改变其拓扑结构的相空间中[28-29]。

1）C-C法理论

本文计算步骤为[32]：首先将一维降水量时间序列={x|=1,2,…,}分解成个子序列：

然后计算个子序列：

当时，即有：

由于降水量时间序列中部分元素还是具有一定相关性，因此(,,)≠0，存在一定的偏差，其最大偏差为：

其中，r=/2，=1, 2, 3, 4。

2.2 混沌时间序列判别

本文对波密气象站1961—2018年历年12个月的降水量数据，利用C-C算法求取历年12个月降水量时间序列的时间延迟和嵌入维数，并通过小数据量化求取Lyapunov指数。如表1所示（嵌入维数为四舍五入的整数值）。

表1 波密气象站12个月混沌理论中的指数

由于波密县6月降水量以暴雨为主，其降水量时间序列混沌特征较为明显[33]。并且从表1也可以看出，波密气象站6月的Lyapunov指数最大，说明该月混沌特征明显。因此，本文主要以1961—2018年波密气象站历年6月降水量数据为例，利用C-C算法求取波密县1961—2018年历年6月降水量时间序列的时间延迟和嵌入维数。

一个区域的降水量随时间是不断变化的，存在着降水丰富期和降水贫乏期[34]，这可能会导致一些混沌现象的产生。因此，本文利用小数据量法求取最大Lyapunov指数对降水量时间序列进行混沌判别。

图4 统计量综合表现图

设降水量混沌时间序列为{1,2,…,x}，则重构相空间：

其中为混沌降水量时间序列的平均周期。

求出所有的lnd()平均()，即[36]：

其中为d()≠0时的具体值。

利用最小二乘法求()得到1条回归直线，其斜率为最大Lyapunov指数即。Lyapunov指数是衡量系统动力学特性中最为重要的指标，其大小直接决定时间序列的混沌程度。若<0时，说明该时间序列具有确定性，可进行长期预测；若>0时，说明该时间序列具有混沌性，可进行短期预测；若=0时，说明该时间序列具有随机性，预测效果差[37]。

从图5可以看出>0，说明波密县6月历年降水量时间序列存在着混沌性，因此，可以运用混沌理论来分析和预测。

我们研究民俗，不应该仅仅停留在了解民俗事象的来龙去脉，也不能满足于将民俗事象描述清楚，而是要通过这些民俗事象去了解其背后的实实在在的人，看看这些人是如何借助民俗来组织日常生活的，以及怎样赋予日常生活以意义的。对话与交流的民俗志，很大程度上就是要把这些过程呈现出来，个人叙事作为呈现这些过程的最为寻常而有力的日常话语形式，就显得异常重要了。

图5 y(i)与回归直线关系

3 降水量预测

3.1 Volterra自适应多步预测模型

Volterra级数能很好解决非线性系统中的问题，张家树等[38]构建了混沌信号非线性自适应预测模型及预测算法，并且该算法已应用于时间序列的预测中。发现当Volterra级数截断项数取最佳嵌入维数时，时间延迟为时，所构建的二阶Volterra自适应预测模型具有很好的预测能力。因此，本文利用C-C算法求取的最小嵌入维数，时间延迟，构建 Volterra混沌降水量多步预测模型。

假设非线性系统中输入量为降水量时间序列()=[(),(-),…,(-(-1))]，输出量为()=(+1)，则此Volterra自适应二阶滤波模型为：

3.2 降水量预测评价指标

为了评价模型的预测效果，本文引用4个评价指标分别为：平均绝对百分比误差（）、平均绝对误差（）、均方误差（）和均等系数（，即拟合度）[40]。4个评价指标的公式为：

式中：r()为在年降水量实际值；p()表示在年降水量预测值；为预测时段长度。和是反映预测值与实际值之间的误差大小，而反映预测误差分别情况，其值越小则说明预测效果越好，值则是反映预测值与实际值之间的拟合程度，其值越大则说明预测效果去实际值的曲线拟合度越高[41]，通常情况下，较好的预测模型其值应大于0.85，若>0.9，则说明该模型具有可用性较高的预测精度。

3.3 预测结果分析

运用Volterra模型对存在混沌特征的降水量进行预测，首先利用C-C法求取嵌入维数和时间延迟，然后依据和对降水量时间序列进行相空间重构，对重构后的时间序列使用Volterra级数分别进行短期5 a预测和长期15 a预测。在长期预测中，利用1961—1995年波密气象站历年6月数据作为训练集，训练模型；同时用1996—2003年的数据作为测试集，测试模型；预测2004—2018年共15 a历年6月降水量，并与真实值进行对比。在短期预测中，则是利用1961—2013年波密气象站历年6月数据作为训练集，训练模型；并预测2014—2018年共5a的6月降水量，同时与真实值进行对比。图6为模型训练的误差自相关图，相关系数在滞后算子时步为0时取最大，其他情况不超过置信界限时为最佳。图7为模型训练效果图，从图7可以看出模型的整体训练效果不错，训练集和测试集误差在5%以内。结合图6和图7可以发现，Volterra模型训练结果较好，完全满足预测要求。

图6 误差自相关图

3.3.1 长期预测：15 a

通过表2和图8可以分析出，在对混沌特征明显的降水量进行长期预测时，Volterra模型的预测效果并不是很理想，其预测精度不如SVR模型，但比小波模型精度略高。其为18.318%，为0.901，而却达69.295。并且随着预测时间域跨度的增大，其预测误差变大。

表2 3个预测模型15 a降水量预测性能指标

图8 长期15 a的3个模型预测值与实际曲线图

3.3.2 短期预测：5 a

在短期预测中，通过表3和图9发现，在对具有混沌特征的降水量短期预测时，Volterra预测模型的为0.941，为4.04%，其精度远远高于小波模型和SVR模型；说明在具有混沌特征的短期降水量预测中Volterra预测模型具有更高的预测精确度。

表3 3个模型5 a降水量预测性能指标

图9 短期5 a模型预测值与实际曲线图

3.3.3 叠加预测误差分析

在降水量预测中，常常会利用预测的降水量来继续预测后面的降水量，可能造成误差累计，产生较大的误差[34]。因此，本文将针对短期预测进行叠加误差计算分析。为了防止预测模型形成学习记忆，本文选取同样具有混沌特征的波密气象站1961—2018年历年7月降水量，来进行叠加误差分析，其方法为：先利用1961—2013年7月降水量预测2014年7月降水量，然后再利用1961—2014年7月降水量预测2015年7月降水量，依次叠加预测至2018年7月的降水量。将预测值与实际值进行对比。通过表4可以发现，Volterra模型的叠加预测值相比与小波模型和SVR模型的叠加预测值来说较接近真实值，最大误差在10 mm以下。

从表5可以看出，在对具有混沌特征的降水量进行短期叠加预测误差分析，发现Volterra模型的、、和共4个指标参数均优于小波模型和SVR模型，其>0.85，而小波模型的为0.731，SVR模型的为0.803，均小于0.85。说明Volterra模型在短期预测中，降水量叠加预测值不受时间限制，满足预测值的误差要求。

表4 叠加5 a降水量预测值与实际值

表5 3个模型叠加5 a降水量预测性能指标

3.3.4 模型推广

为了分析Volterra模型在不具备混沌特征的时间序列中，对短期预测能否依然具有高精度预测。通过前文对降水量的混沌特性判断（表1），发现波密站1、2月和12月混沌特征不明显，其Lyapunov 指数分别为0.000 17、0.001 10和0.003 20；因此，本文利用1961—2013年2月数据对模型进行推广分析，利用2014—2018年2月数据进行检验。

通过图10和表6、表7可以发现，在对混沌特征弱的降水量时间序列预测时，Volterra预测模型预测效果不佳，其模型的拟合度只有0.57，并且达到54.9%；而SVR模型却表现出较高的预测精确度，模型的拟合度达到0.88，只有10.63%，说明在对混沌特征弱的降水量时间序列预测时，SVR模型要优于Volterra模型。

图10 5 a降水量预测值与实际值曲线图

表6 预测5 a混沌特征弱的降水量的预测值与实际值

表7 模型预测5 a混沌特征弱的降水量的预测性能指标

4 讨 论

降水量时间序列中存在混沌现象[8]。通过对波密气象站1961—2018年历年月降水量进行特征分析，利用混沌理论进行混沌特征判别，构建了能较好预测混沌特征的预测模型Volterra，对含混沌特征的月降水量进行长期15 a和短期5 a的预测。经叠加误差分析及模型推广分析，并与小波预测模型和SVR预测模型对比，发现该模型能够对短期5 a内的混沌月降水量进行较高精度的预测，但对长期15 a内的混沌月降水量预测效果并不如SVR模型，这主要是因为Volterra模型多步预测机制和研究区域所处环境共同决定。

一方面，Volterra模型进行多步预测与小波模型和SVR模型不同，其预测机制是通过利用已知月降水量在模型的滤波系统中进行训练，在训练好的模型中预测出一个预测值；然后将其预测出来的预测值，继续输入到训练好的模型中进行下一次预测，依次迭代出多个预测值。因此，在这个过程中会出现叠加预测误差的影响，随着预测尺度的加长，该模型的预测误差便会突显出来。故Volterra模型在长期预测中预测效果低于其他模型[39]；而SVR模型在长期预测中由于该模型中核函数和惩罚因子根据预测值不断优化模型，从而在长期预测中效果较好；但在短期预测中，由于预测值样本数量少，导致SVR模型中核函数和惩罚因子还未完全优化好模型，因此在短期模型中预测效果差[37]。小波模型则是通过小波分解将月降水量数据分解成多层小波系数，然后对各层小波系数进行预测，最后对预测的小波系数进行重构[3]；而通过混沌理论分析的降水量本身就具有了多维性，若再进行小波分解，则导致误差被进一步扩大，因而小波模型对混沌特征的降水量进行预测的效果不佳。

而另一方面，由于研究区域所处青藏高原地区，历年月降水变化差异较大，进行长期预测难度较大，并且预测精度也不理想[42]。

虽然利用Volterra模型能够提高具有混沌特征月降水量预测精度，但本研究仍存在一些不足。首先，本研究选取的研究区域太局限，只局限于波密气象站，还需要利用其他地区的气象站数据进行进一步适用性研究。此外，Volterra预测模型主要广泛应用于气温[39]等领域，而且较少应用于降水量预测，在降水量预测中还需进一步深入研究。

5 结 论

1）利用C-C法求取波密站1961—2018年12个月的降水量时间序列的时间延迟和嵌入维数，并用小数据量法求取12个月的Lyapunov指数()，通过Lyapunov指数发现：波密气象站6月份降水量混沌特征最明显，其=2.674 5；而1、2、12月混沌特征较弱，分别为0.000 17、0.001 10、0.003 20。

2）通过利用Volterra混沌降水量预测模型进行短期5 a和长期15 a预测，将其预测值与小波模型和SVR模型预测值对比分析发现：Volterra预测模型在短期5 a预测中，预测精度高于小波模型和SVR模型，其=4.04%；=0.941，但在长期15 a预测中，预测精度低于SVR模型，其=18.318%，=0.901。

3）在Volterra模型进行叠加预测误差和推广分析时发现：Volterra预测模型对混沌特性明显的降水量短期预测时，=0.89，能够满足降水量不断叠加预测的要求；Volterra预测模型对混沌特征弱的降水量短期预测时，其预测精度比小波预测模型和SVR预测模型精度都低，只有0.566，不能达到预测要求。

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Predicting Monthly Precipitation Using Chaotic Model

SHU Tao1, LU Haotian2, CAO Jingxuan3, YE Tangjin4, TAO Wei3, FU Runyi3, LI Hao5,6,7*

(1.College of Marine Geosciences, Ocean University of China, Qingdao 266100, China; 2.College of Earth Sciences, Guilin University of Technology, Guilin 541004, China; 3.College of Engineering, Tibet University, Lhasa 850000, China; 4. Department of Construction Engineering,Dalian University of Technology, Dalian 116024, China; 5. Key Laboratory of Mountain Hazards and Earth Surface Process,Chinese Academy of Sciences, Chengdu 610041, China; 6. Institute of Mountain Hazards and Environment,Chinese Academy of Sciences ＆ Ministry of Water Conservancy, Chengdu 610041, China; 7.University of Chinese Academy of Sciences, Beijing 100049, China)

【】The time series of rainfall is a nonlinear, non-stationary process and can be analyzed statistically. The purpose of this paper is to analyze the chaotic characteristics of rainfalls in attempts to develop a chaotic model to predict monthly precipitation.【】We took monthly precipitation measured from the weather station at Bomi between Linzhi and Bomi on the G318 highway as an example, the C-C correlation integral method was used to determine the delay timeand the embedding dimensionin itThe time series was then reconstructed in phase space whose Lyapunov exponent was obtained for a small sub-dataset to determine the chaotic characteristics, from which we constructed a Volterra model to predict monthly rainfall in both short-term (5 years) and long-term (15 years) respectively. The predicted monthly rainfalls using the proposed model were compared with those predicted by the wavelet model and the SVR prediction model.【】Theandof the rainfalls predicted using the proposed Volterra model for short-term was 4.04% and 0.941 respectively. Compared with the wavelet and SVR model, the proposed Volterra model was more accurate, and its superposition prediction error was smaller, with its associatedandbeing 7.657% and 0.894 respectively. However, the rainfalls predicted by the proposed for long-term were not as good as those by the SVR model. When the time series of the rainfall was less chaotic, the prediction of Volterra model for short-term rainfall was less reliable, with its associatedandbeing 54.855% and 0.566, respectively.【】The chaotic model was more accurate than the traditional model for predicting monthly rainfall only for short-term and when the time series of the rainfalls is chaotic. Therefore, it should be used with care.

chaotic model; phase space reconstruction; lyapunov index; volterra filter; rainfall prediction

2021-08-24

广西研究生教育创新计划项目（YCSW2021203）；大学生创新实验项目（202010694008）；大学生创新实验项目（2020XCX011）

舒涛（1998-），男，湖南麻阳人。硕士研究生，主要从事大数据分析及数值模拟分析。E-mail: stwho_1998@163.com.

李豪（1997-），男，四川眉山人。博士研究生，主要从事泥石流地貌研究。E-mail: leeho97@163.com.

1672 - 3317（2022）03 - 0083 - 09

P457；P208

A

10.13522/j.cnki.ggps.2021385

舒涛, 路昊天, 曹景轩, 等. 基于混沌理论的降水量预测方法研究[J]. 灌溉排水学报, 2022, 41(3): 83-91.

SHU Tao, LU Haotian, CAO Jingxuan, et al. Predicting Monthly Precipitation Using Chaotic Model[J]. Journal of Irrigation and Drainage, 2022, 41(3): 83-91.

责任编辑：赵宇龙