解三角形题中寻找边角关系的几个视角

尧禄华

解三角形题是历年高考试题考查的重点，出现的位置常见于前两道大题.这类题目并不属于难题，但解题方法较为灵活，解题切入角度较多.部分考生在选择解题方向时，经常产生一定困惑.笔者根据多年的教学经验，感觉若能从三角形构成的要素出发，即三边三角的关系的视角，结合方程思想，能快速顺利解决大部分考题.以下通过具体实例谈谈寻找边角关系的几个视角，以期帮助学生从本质上理解解三角形问题的一般模式，从而快速寻找到突破口，提升解题能力，提高解题素养.

视角1：补角视角

一个三角形中，若某边出现中点，或者三等分点时，可以通过两角互补，余弦值相加等于零，从而得到三边的一个关系.或者利用两角互补，正弦值相等，再结合正弦定理，得出边角等量关系.

例1：（2017年全国III卷理科17题）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知sinA+3cosA=0 ，a=27，b=2.（1）求c;（2）设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积.

解：第（1）问直接余弦定理即可得出答案c=4;第（2）问，注意到点D为BC上一点，从补角入手，构建等量关系，方法也不复杂，关键是此法操作性强，学生也更易掌握.

因为∠ADB+∠ADC=π，sin∠ADB=sin∠ADC

又sin∠ADB=AB·sin∠BADBD，sin∠ADC=ACCD，

所以BD=CD，

所以S△ABD=S△ACD=3.

视角2：两个三角形视角

一个三角形若已知两角一边，或者两边及这两边的夹角，或者三边，结合正余弦定理、面积公式等，就可以求出这个三角形的其他要素，此时三角形是确定的，我们说这个三角形是可解的.若是已知两边或一边的对角，此时三角形不能确定，可能无解、一解或二解.实际解题中，给出的已知条件中，往往只给出其中的两个条件，这时三角形并不能直接确定，需要通过借助旁边与之相关的三角形再构建一个边角的等量关系，才能求解.我们把这种方法称作解两个三角形，下面举例说明.

例2：（2021佛山质量检测卷18题）如图，梯形ABCD中，AB//CD，AB=2，CD=5，∠ABC=2π3.

（1）若AC=27，求梯形ABCD面积;（2）若AC⊥BD，求tan∠ABD.

解：本题第（1）问易得梯形高23，从而梯形ABCD面积为73;第（2）问大部分学生感觉比较难，事实上，我们从两个三角形出发，建立方程组，本题也是可以轻松拿下.注意到ΔABC与ΔDCB有一條公共边BC，并且其他内角都可以用∠ABD表示，不妨设∠ABD=θ，于是有ΔABC中，ABsin（θ-π6）=BCsin（π2-θ）……①;

ΔDCB中，DCsin（2π3-θ）=BCsinθ……②;

联立①②化简得53tan2θ-7tanθ-23=0，

解得tanθ=233.

视角3：等面积视角

高中学了正弦定理后，则常见的三角形面积公式除了SΔ=12ah，还有SΔ=12absinC.对于有些题目从等面积角度出发，构建边与角的等量关系，往往解题更加方便，简洁.

例3：题目见上述例1第（2）问.

解：本题若从面积相等的角度考虑，步骤非常简洁，因为S△ABDS△ACD=12AB·AD·sinπ612AC·AD=1，

又因为S△ABC=12×4×2sin∠BAC=23，从而得出△ABD的面积为3.

本文从高考题出发，介绍了寻找边角关系的三个视角，事实上，处理解三角形问题，还有其他视角，其他文章也多有介绍.但无论哪种视角，都应该从问题本质出发.在数学概念教学中，要理解数学，掌握数学的本质特征.解题教学中，更应该从数学本质出发，对于解三角形，最本质的特征就是从构成三角形的基本要素三边三角关系出发，结合正弦定理、余弦定理、三角形内角和定理、平角余弦互补、面积公式等构建等量关系，综合方程思想，求出相关要素.