量子涨落与过掺杂铜氧化物超导薄膜中的反常两段标度

陶 勇

(西南大学经济管理学院 重庆 北碚区 400715)

量子临界现象是凝聚态物理中的一个重要研究领域，它的产生源于量子涨落。量子涨落也称为“零点运动”，即在绝对零度(零温)附近，由于海森堡不确定性原理的作用，原子与分子不可能处于静止，而这种零点运动会诱发相变-“量子相变”。量子临界现象就是这种相变所对应的临界现象。一般来说，在有限温度下，热涨落都存在，所以量子涨落的效果只有在温度趋于绝对零度附近时才会显现出来，此时热涨落的效果可以忽略不计。研究量子临界现象的理论框架基于Hertz 的先驱性工作[1]。由于量子临界现象发生在温度趋于零温的体系，Hertz 将统计物理配分函数中的参量“温度T”的倒数作为第4 维“虚时间”(本质上是松原时间)，从而建立了虚时量子场论以描述强关联系统中的量子涨落现象。目前，Hertz 的虚时量子场论已经成为研究量子临界现象的基本分析架构[1-2]。实验中，零温超流相位刚度(zero-temperature superfluid phase stiffness)ρs(0) 与相变温度Tc是刻画超导体中量子临界现象的两个重要参量[3-7]。现已知在高度欠掺杂铜氧化物超导材料中发生的超导-绝缘相变可能是一类量子临界现象，其中ρs(0) 与Tc近似服从亚线性标度Tc∝ρs(0)δ，且 δ ≈1/2。尽管如此，但就高度过掺杂铜氧化物超导材料中发生的超导-金属相变，对于其基本性质仍旧缺乏足够的了解。

反常两段标度中的线性标度Tc∝ρs(0) 已经被大量的实验所观测到，它被称为“Homes 定律”[9-10]，并被Abrikosov-Gor’kov 平均场理论所解释[10-11]。文献[12]已经利用该平均场理论给出了α的正确理论值。尽管如此，反常两段标度中的亚线性标度却不能被平均场理论解释，因此文献[13-14]推断文献[8]的实验发现与平均场理论不相容，对此还给出了进一步的观测证据：随着掺杂程度的增加，LSCO 材料变得越来越像金属并且呈现出超导体向金属态转变的量子相变。

1 相对论金兹堡-朗道方程

本文首先介绍虚时量子场论框架中的相对论金兹堡-朗道方程。文献[11]指出当温度T和相变温度Tc满足关系|T-Tc|≈0时，利用BCS 超导微观理论可以导出金兹堡-朗道方程：

值得注意的是，不同于T＞0 的情形，式(4)中|φ(0)|2前面的系数不再是线性项 (T-Tc)，而是Tc的二次项。这导致过掺杂超导材料在绝对零度附近的临界性质非常不同于热临界现象。更重要的是，T=0是式(3) 中的一个奇点，因此不能简单地将式(4)代入式(3)。为了处理零温T=0 的情形，需要考虑Hertz 的虚时量子场论框架，即引入虚时间τ ∈[0,1/T]，其中T=0。在虚时量子场论中，序参量 φ(0) 是空间坐标q与虚时间 τ 的函数[1,27]，即φ(0)=φ(q,τ)。这意味着式(4)中还应当存在虚时间导数的线性项φ*(q,τ)∂τφ(q,τ) 或者二次项|∂τφ(q,τ)|2。本文引入二次项|∂τφ(q,τ)|2以保证式(4)成为一个精确的相对论形式[15-18]：

2 ρs(0) 与 Tc 的两段标度关系

对处于T=0 的过掺杂铜氧化物超导(此时热涨落被忽略不计)，Tc=0 是一个可能的量子临界点，因此预期当Tc趋于0 时，量子涨落会被放大以至于平均场近似被破坏。按照重整化群的程序，假设波长大于 2π/Λ 的量子涨落不能被平均掉[28-29]，因此 λ2(Tc) 和 λ4(Tc) 应当收到来自这些尺度的量子涨落的高阶修正。为此，将重整化群程序运用到量子配分函数式(6)，在单圈费曼图修正下可以得到重整化群方程为[15]：

式中，b是标度变换的重标参数；q′=b-1q；τ′=b-zτ；z=1 代表量子动力学指数。算出式(9)和式(10)中的积分可以得到[18]：

式(19) 的物理意义是：当相变温度Tc小于TQ(D)时，量子涨落被放大以至于平均场近似无效，此时Tc和 ρs(0) 按照亚线性关系同方向变化。

为了推导出TQ(D) 的具体函数形式，需要找到一个估计量子涨落幅度的物理量。众所周知，在朗道的二级相变平均场理论中，经典金兹堡数Gi被用于估计热涨落的幅度，从而判断平均场近似的有效范围。本文在虚时量子场论的框架中将经典金兹堡数Gi推广为量子金兹堡数[17]：

式中， ξ 代表超导体的相干长度。

对于二维超导薄膜(D=2)，式(23) 给出TQ(2)≤γ(2)2。而对于D=3 的情形，式(23) 结合式(18) 则给出TQ(3)≤0，这意味着对于三维系统平均场近似总是成立的，即D=3 是系统的上临界维度[15,18]。

当平均场近似有效的时候，已知Tc和ρs(0)满足著名的 Homes 定律[10-11]：Tc∝ρs(0)。综合式(18)、式(19)、式(23) 以及Homes 定律，在零温附近的过掺杂超导薄膜(D=2)中的Tc和 ρs(0) 应当服从两段标度[17]：

将这些理论值与文献[8]在实验上所发现的反常两段标度进行对比，3 个理论值与实验测量值吻合良好，这是对相对论金兹堡-朗道方程(式(5))的有力支持[31]。

此外，TQ与TM之间的差异表示两段标度被不光滑的连接，这已经被实验数据所证实，如图1 所示，其中直线代表理论得到的线性标度，曲线代表理论得到的亚线性标度，空心圆圈代表实验数据[8]。

图1 理论两段标度式(24)与实验数据的对比

3 ξ(0) 与 Tc 的两段标度关系以及讨论

式(14) 给出单圈费曼图修正下的不动点λˆ4≈(3-D)/10，将其代入式(31) 得到σ ≈1+(3-D)/5。如果考虑费曼图的二圈修正，那么式(31) 可被修正为[18]：

最后，简单讨论一下式(5) 中虚时间 τ 的意义。量子场论不寻常的性质之一是，当时间变量t成为虚时间 τ 时，它在形式上就简化成了统计力学，这个性质在数学上被称为“维克旋转”，可用于简化量子场论中的一些计算。比较式(3)和式(6)可以看到，虚时间 τ 本质上就是温度T的倒数，或者按照文献[33] 的说法，温度等价于周期性虚时间(cyclic imaginary time)。为什么温度与虚时间会有这个神秘的关系？这仍旧是物理学中的一个未解之谜，它背后可能涉及到某些未被理解的深刻物理原理[33-34]。为了理解温度与虚时间的关系，文献[35-38]基于Tomita-Takesaki 定理提出了“热时间假说(thermal time hypothesis)”，这个假说认为物理系统中的时间本质上是一个演生(涌现)的变量，它可能源于量子力学中的不对易性[36]。如当一个物理系统处于绝对零度T=0 时，原子与分子都应该处于静止，没有运动谈论时间是没有意义的。但由于海森堡不确定性原理的作用，原子与分子不可能处于静止(位置变化为0)，否则它们的动量变化将趋于无穷大。这意味着当温度趋于绝对零度T=0时，物理系统将自发演生(涌现) 出时间(去描述量子运动)。从式(6)看出这个演生时间其实就是虚时间τ。尽管“热时间假说”被提出，但之前的文献并没有任何物理系统会出现“演生时间”的精确相对论方程。这使得“热时间假说”难以得到验证——即如何确保“演生时间”就是物理时间。因此，如果本文的相对论式(5)能够得到验证，那么可能会是对“热时间假说”的一个潜在支持。

但需要提及的是，即使相对论式(5)被实验证实，它所描述的物理背景也是“虚时空”——即库珀电子对在虚时空中存在精确的相对论方程。这与单电子的相对论方程(狄拉克方程)不同，后者描述的是现实的物理时空。

4 结 束 语

希望国内感兴趣的实验组可以通过调查绝对零度附近的过掺杂铜氧化物超导薄膜去精确检验ξ(0)与Tc之间的两段标度，以确证相对论金兹堡-朗道方程(式(5))的有效性。