张弛皆有度 动静总相宜——圆锥曲线中的调和平均问题初探

冯广军 郭琳芳

(广东省深圳科学高中 518129)

圆锥曲线中蕴藏着丰富的规律，如定点与定值问题等.这些规律大多都反映了圆锥曲线中的一种动态而和谐的平衡，正是“张弛皆有度，动静总相宜”，比如低调而绝妙的调和平均问题.

1 研教材，启示多从教材来

(人教A版教材2019版第45页)如图1，

AB

是圆的直径，点

C

是

AB

上一点，

AC

=

a

，

BC

=

b.

过点

C

作垂直于

AB

的弦

DE

，连结

AD

，

BD.

你能利用这个图形，得出基本不等式的几何解释吗？

图1

这里给了我们一个提示，即基本不等式的几何解释.实际上，对于两个正数

a

，

b

，不等关系都可以在圆中找到其几何解释：如图2，在以

BC

为直径的圆

O

中，设

AC

=

a

，

AB

=

b

，

AD

与圆

O

相切于点

D

，

DE

⊥

BC

于点

E

，

OF

⊥

BC

，交圆

O

于点

F

，连结

OD

，

AF.

易知结合图形可知，

AE

<

AD

<

AO

<

AF

，当且仅当圆的半径为0，即

a

=

b

时取等号.

图2 图3

事实上，如果作出圆的另一条切线

AM

，易知点

E

即为过圆心的割线

AC

与切点弦

DM

的交点，一个自然的想法是：如果割线

AC

不过圆心，

AE

是否仍然是

a

，

b

的调和平均？结论是肯定的.

例1

如图4，点

P

为圆

x

+

y

=

r

外一点，

PA

，

PB

为圆的两条切线，切点分别为

A

，

B

，割线

PD

交圆于

C

，

D

两点，交

AB

于点

Q

，求证：

图4

证明

设

P

(

x

,

y

)，如图4，不妨设

x

<-

r.

设直线

PQ

的方程为

y

=

k

(

x

-

x

)+

y

，

C

(

x

,

y

)，

D

(

x

,

y

)，

Q

(

x

,

y

)，则只需证由得(1+

k

)

x

+故从而又因为直线

AB

的方程为

x

x

+

y

y

=

r

，由得所以当点

P

位于

y

轴上时，易证(略).所以证毕.结论1 过圆

O

外一点

P

作圆

O

的两条切线

PA

，

PB

，切点分别为

A

，

B

，过点

P

任作圆

O

的一条割线，交圆

O

于

C

，

D

两点，交切点弦

AB

于点

Q

，则

PQ

为

PD

，

PC

的调和平均.

2 善变通，味道尽在类比中

例2

如图5，点

P

为椭圆外一点，

PA

，

PB

为椭圆的两条切线，切点分别为

A

，

B

，割线

PQ

交椭圆

E

于

C

，

D

两点，交线段

AB

于点

Q

，求证：

图5

证明

设

P

(

x

,

y

)，如图5，不妨设

x

<-

a.

设直线

PQ

的方程为

y

=

k

(

x

-

x

)+

y

，

C

(

x

,

y

)，

D

(

x

,

y

)，

Q

(

x

,

y

)，则只需证因为直线

AB

的方程为由得

x

=故又由得故从而当点

P

位于

y

轴上时，不妨设

P

(0,

m

)(

m

<-

b

)，因为直线

AB

的方程为所以从而又

PC

=

b

-

m

，

PD

=-

b

-

m

，所以

综上，证毕.

该结论在双曲线和抛物线中仍然成立，证明略.

结论2 过圆锥曲线

E

外一点

P

作

E

的两条切线

PA

，

PB

，切点分别为

A

，

B

，过点

P

任作

E

的一条割线，交

E

于

C

，

D

两点，交切点弦

AB

于点

Q

，则

PQ

为

PD

，

PC

的调和平均.

3 再寻觅，沿途处处有惊喜

例3

如图6，直线

l

过椭圆的左焦点

F

，且与椭圆

E

交于

A

，

B

两点，则(其中

e

是椭圆

E

的离心率，

p

是焦点到相应准线的距离，

ep

即为半通径)

图6

证明

如图6，设∠

BF

F

=

θ

，

BF

=

r

，

AF

=

r

，由椭圆的第二定义有：因此证毕.

对于双曲线(交于同一支时的情形)和抛物线，可通过类似的证明过程得到这一结论，不再一一给出.

结论3 圆锥曲线的焦点弦的两个焦半径的调和平均是其通经的一半.(双曲线中的焦点弦是指过焦点的直线与双曲线交于同一支的情形)

例4

如图7，过椭圆的左焦点

F

且相互垂直的两直线与椭圆

E

分别交于点

A

，

B

和

C

，

D

，求证：

图7

证明

设∠

BF

F

=

θ

，

BF

=

r

，

AF

=

r

，由椭圆的第二定义有：

r

=因此因为

AB

与

CD

垂直，所以只需要将中的

θ

换成即可得到所以当圆锥曲线为双曲线时，综合可知

结论4 圆锥曲线过同一焦点的互相垂直的两条弦长的调和平均为定值.

调和平均原本是统计学中的术语，是一种某一特定条件下的平均量，我们能在圆锥曲线中不断发现它的存在，这为我们从多个角度去理解调和平均又打开了一扇门.或许数学的魅力也正在于此，而更多的美正等着我们去发现！