培养高中生数学建模能力的措施

钱俞君

新课程标准中明确提出了培养学生数学核心素养的要求.高中数学核心素养包括数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数学分析.其中数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学知识与方法构建模型解决问题的素养.数学建模的过程主要为：在实际情境中发现问题、提出问题，构建模型，求出结论，验证和完善模型，分析和解决问题.数学建模是解决实际应用问题的重要手段.在教学中，教师将生活实际问题引入课堂教学中，引导学生进行探究、分析，构建出合适的数学模型，从而解决问题.下面重点谈一谈培养高中生数学建模能力的几个措施.

一、创设问题情境，培养学生的建模意识

很多学生对数学建模不够了解，接触的机会少，缺少建模意识.对此，教师可在教学中创设问题情境，引入一些生活实际问题，将其与所讲解的知识关联起来，让学生对其进行探究，激发其学习兴趣，培养建模意识.这样学生也能将数学知识与生活实际关联起来，明白数学知识的实用价值.

以“函数模型”教学为例，为了吸引学生的注意力，笔者创设了这样的问题情境：（1）某商店每月按出厂价每瓶3元购进一种饮料，根据以前的统计数据，若零售价定为每瓶4元，每月可销售400瓶;若零售价每降低（升高）0.5元，则可多（少）销售40瓶，在每月的进货当月销售完的前提下，为获得最大利润，销售价应定为_____元/瓶.（2）物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述：设物体的初始温度是 T0，经过一定时间 t 后的温度为 T ，则 T-Ta=（T0-Ta）·（12）th ，其中Ta 称为环境温度，h 称为半衰期.现有一杯用88℃热水冲的速溶咖啡，放在 24℃的房间中，如果咖啡降到40℃需要 20 分钟，那么此杯咖啡从 40℃降温到 32℃时，还需要____分钟.这两个问题与学生的生活实际比较贴近，有助于消除学生对函数模型的陌生感，能激发他们的探究欲望.很多学生便会尝试着将其与函数知识关联起来，建立数学模型：（1）设设销售价每瓶定为 x 元，利润为 y 元，建立函数关系式 y=（x-3）·（ ） 400 + 4 - x0.5× 40 （x ≥ 3） ，通计算便可得出当 x=6 时，y 取得最大值（. 2）根据已知的关系式 T-Ta=（T0-Ta ）·，找出对应的 Ta、T0、T、t 的值，将其代入求得t=10 .

这样学生在探究问题的过程中，逐步树立了建模的意识，明确了函数知识与生活实际问题之间的联系，并在思考问题的过程中提出问题、分析问题，尝试建立和求解模型，分析和解决问题.

二、组织学生开展小组活动，探究建模的方法

在建模时学生常常会遇到困难，这时教师可组织他们开展小组合作学习，以解决问题.在小组合作学习过程中，教师要给学生提供自主探究的机会，让他们对建模的步骤和方法进行探究.这样在小组成员的共同努力下，探究出解决问题的方案，学生才能真正体会到建模的乐趣，并学会运用数学建模思想去处理问题.

以“数列模型”的教学为例，当学生学完数列知识后，笔者给学生展示了这样一个生活实际问题：某银行设立了教育助学贷款，规定一年期以上贷款月均等 额还本付息，如果贷款10000元，两年还清，月利率为 0.4575%，那么每月应还多少钱呢？然后要求学生通 过小组合作的方式对该问题进行探讨.学生纷纷在小 组内进行了交流、讨论.有的学生认为：“两年还清的意 思是，24个月内还清.”有的学生表示：“每个月的付 款额呈现出一定的规律.”受到该学生的启发，随后一 名学生表示：“贷款过程中的利息不变，可以设其为  x .”紧接着一名学生表示：“如果设贷款过程中利息为  x，那么每个月的付款额为 x，（1+0.004575）x，（1+0.004575）2 x，（1+0.004575）3 x，…，（1+0.004575）23 x .”另一名學生表示：“而各月所付款等于贷款本金与贷 款付清时的利息之和，可建立关系式： x +（1+0.004575）x +（1+0.004575）2 x +…+（1+0.004575）23 x =10000×（1+0.004575）24.”这样学生通过分析题意，了解 了问题的实际背景，提炼出有用的信息，然后建立了 数列模型.通过该观察、讨论，小组成员很快发现和式 中的各项成等比数列，其首项为1，公比为1.004575.于 是运用等比数列前 n 项和公式来计算，解得 x ≈440.91.最后，有的学生提出要对建立的模型进行检验，经检验发现所得的结果与生活实际相符，最终运用数列模型解决了该实际问题.

这样，学生在小组合作探究中熟悉了构建模型的步骤：分析题目——提出假设——构建模型——解答模型——检验模型，也掌握了建模的方法.在建模的过程中，学生还认识到合作的力量.

三、加强课堂训练，强化学生的建模能力

当学生掌握了建模的方法之后，教师要注意对他们加强训练.训练的题目应具有层次性和差异性，让学困生、学优生都能得到锻炼，保证每一位学生都能在习题作答的过程中学会运用数学模型解决实际问题，最终在锻炼中提升建模能力，并促进数学核心素养的发展.

例如，当学生掌握了数学建模方法后，笔者给学生布置了以下习题：

（1）某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金的投入.若该公司2016年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是______年.

（2）某城市现有人口为100万，如果20年后该城市人口总量不超过120万，年自然增长率应控制在多少以内？

（3）某地区2011年至2017年农村居民家庭人均纯收入 y （单位：千元）的数据如表：

分析2011年至2017年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2019年农村居民家庭人均纯收入.

（4）某人有一套房子，室內面积共计180 m2，拟分隔成两类房间作为旅游客房，大房间每间面积为18 m2，可住游客5名，每名游客每天住宿费40元;小房间每间面积为15 m2，可住游客3名，每名游客每天住宿费50元.装修大房间每间需要1000元，装修小房间每间需要600元.如果他只能筹款8000元用于装修，且游客能住满客房，他应隔出大房间和小房间各多少间，每天才能获得最大的房租收益？

第一、二个题目的难度较小，可要求学习能力较差的学生完成;第三、四个题目的难度较大，可要求学习能较强的学生完成，这样能让每个学生都能得到锻炼和发展.学生将以上四个生活实际问题转化为数学问题，并建立数学模型加以解决.他们在熟悉建模的方法的同时，提升了解决实际应用问题的能力.这样不仅积累了数学实践经验，强化了建模能力，也能培养数学核心素养.

四、完善教学评价，引导学生反思建模的过程

想要在课堂中培养学生的建模能力，教师要不断完善教学评价，对学生的建模意识、建模步骤、建模成果等进行评价，让他们在评价中总结自身的不足以及优势，不断地调整学习方法，提升建模能力，最终通过教学评价检验学习效果，在反思中培养建模素养.

例如，在教学完“三角函数”这一知识点时，笔者展示了这样一道题目：下表是某地一年中10天的白昼时间.日期1月1日2月28日3月21日4月27日5月6日

（1）选用一个三角函数来近似描述白昼时间与日期序号之间的函数关系;

（2）用（1）中的函数模型估计该地7月8日的白昼时间.

学生纷纷运用所学的知识开始作答：第一步，按表中的数据作出散点图;第二步，由散点图找到最值、周期;第三步，设出函数模型，并将数据代入求出各参数;第四步，根据题意列出不等式组，解得答案.在学生完成解题后，笔者对学生的课堂表现进行了评价，其中评价内容包括：第一，为什么要画出散点图？第二，为什么要构建三角函数模型？其他模型是否也可以？第三，是否能够顺利构建三角函数模型？第四，是否能够根据生活实际、数据、散点图顺利求出三角函数？第五，能否用模型解释生活中白昼时间与日期的关系？学生在反思的过程中，重新梳理问题与数学知识，能有效地提升应用能力和反思能力.总之，通过教师的评价以及对自己的建模过程的反思，学生就会发现自身的不足，并加以改进，最终在不断提升建模能力.

培养高中生的建模能力，不是一朝一夕就能完成的.教师在教学过程中既要依据课程标准提出的教学要求制定目标、设计教学活动，又要根据学生的兴趣和喜好将数学知识与生活实际关联起来，以让他们学会发现问题、提出问题、分析问题并解决问题，培养数学建模能力.

（作者单位：山东淄博实验中学）