构建“方”与“圆”的联系，延伸数学思维的触角——人教版六年级上册“圆的面积”教学思考

■湖北省武汉市光谷第七小学 虢小鹏

圆在小学数学“图形与几何”板块有着重要的地位，学生对圆的面积推导相对直边图形的面积推导要困难许多。学生要探索并掌握圆的面积公式，发现圆的面积公式与其他平面图形面积公式的联系和区别，寻求问题解决的思路，获取理性的认知。六年级上册“圆”这一单元，在小学数学“图形与几何”板块有着重要的地位，特别是“圆的面积”推导，相对低年级时学习的直边图形的面积推导，学生在理解和掌握上显得困难重重。圆的面积学习的目标行为动词为“探索”和“掌握”——探索并掌握圆的面积公式，也就是要求学生经历圆面积公式的探究过程，发现圆与已学过的平面图形存在的联系和区别，从而找到研究的方向和思路，并获得理性、严谨的认知。

从纵向来看学生所要学习的数学知识，“圆”的学习是学生在整个“形”的认识过程中，由“直边”进入“曲边”的重要一步，数学思想从“有限”踏入“无限”的关键一环。在“圆的面积”一课中，在学生已有的直边图形面积公式推导过程中的“化归思想”，在圆的面积计算公式推导中同样适用；在推导过程中，学生的思维需要实现化曲为直，实现有限和无限、近似和精确的转换，这是一个科学辩证过程。在这个过程中，运用了极限思想和极限方法。面积是一个二维概念，学生能直观地感受到它所占的区域具有一定的大小。在授课之初，教师要对其度量意义有一定的认识：一是边长为1 个单位长度的正方形作为面积单位；二是“运动不变性”，即图形经过有限次的平移、旋转后面积大小不变；三是“有限可加性”，即两个不重叠的图形合并的面积，等于这两个图形的面积之和。

一、回忆旧知，确定研究方案

圆的面积一课是在学生认识了圆的特征及其本质属性的基础上展开教学的，故在教学圆的面积前，要准确把握学生已有的知识和能力水平。一是课前要进一步的沟通圆各部分与圆的面积之间联系（半径决定圆的大小）；二是要加深圆的面积相关因素的分析（半径、直径、周长）；三是圆面积公式探究的研究方案要细致指导（回忆长方形、正方形、平行四边形面积公式推导过程）。必要的教学前导，能促进学生知识的正向迁移。新课伊始，要让学生复习长方形、平行四边形的面积公式的推导过程，总结、回忆已有的探索平面图形面积的基本策略是数方格、转化为已知图形，并进一步回忆平行四边形的面积公式的探索过程，得出剪拼、观察、推理的活动步骤。

（1）出示大方格中的圆，提出问题：我们先用数方格的形式，得到一个圆的面积。数一数，你有什么感受？

（2）出示小方格中的圆，提出问题：你又有什么想法？要更精确还能怎么做？

学生通过回忆、迁移，发现运用数方格的方法，格子分得越小，越来越接近圆的面积，可以估出圆的面积的取值范围，但是不好测量，比较麻烦，无法精确的探究曲边图形“圆”的面积。课堂上学生的思维自然转移到“转化”上，再根据教师有目的、有意义的学习任务的设计和引导，逐步明晰研究的路径。经历从现象到本质的认识过程是数学探究活动的着力点。在整个研究过程中，教师所设计的学习任务要让不同层次的学生都能动手，并呈现不同的思维方式。学生在同伴互助和思维碰撞中实现知识的获取、情感上的愉悦。班级中不同层次的学生思维的深度与广度是不同的，根据同伴不同的思维表现，学生更有兴趣去探究、倾听他人的想法，完善自己的思考，进而会共同加深对圆面积公式的理解。

二、借助几何直观，发展推理能力

（一）化曲为直，初步体会极限思想

（1）出示圆的外切正方形和内接正方形，你有什么想法？（正方形和圆的面积相差太大）

（2）出示正方形演变成了正八边形，你又有什么想法？

（正八边形与圆的面积更加接近）教师指出这就是化曲为直的数学方法。

在“转化”环节，首先出示圆的外切正方形和内接正方形，让学生直观地感受圆的面积和正方形面积的“大小”关系——圆的面积和正方形的面积相差太大。然后进行切割，得到正八边形，再来说一说切割前后又有什么感受？通过观察，学生自然发现，通过切割得到的正八边形的面积无论是“外切”还是“内接”都接近圆的面积了。教师适时追问：“如果用这两种方法继续切割下去，你觉得会怎么样？”师生共同讨论，最后达成一致意见：当切割的正多边形的边数越多时，它的面积就越接近圆的面积。当切的边数足够多时，正多边形的面积就无限趋近于圆的面积——这就是化曲为直的数学方法。

（二）直观想象，确定圆的转化方向

通过刚才的观察、讨论学生会自然联想：只要求出了所切割的正八边形的面积，就能近似求出圆的面积。研究的问题就转换成了：那如何计算圆内的正八边形得到面积呢？师生交流，将正八边形分割成8个同样的三角形后，可以得出三种策略：

（1）测量其中一个三角形的底和高，再计算它的面积，最后乘三角形个数得出正八边形的面积。

（2）将分割后的8 个三角形拼成一个梯形，梯形的上底等于一个三角形的底；下底等于3 个三角形的底；梯形的高等于2 个三角形的高。测量出它们的长度，然后运用公式算出梯形的面积，算出正八边形的面积。

（3）将这些三角形拼成一个平行四边形，再测量它的底和高，利用公式算出面积。

教师组织学生进行交流讨论，可以得出：根据减少误差（计算三角形面积和梯形面积时有可能出现不是整除的情况）的标准确定第三种转化的策略。

紧接着教师追问：“将正八边形转化成平行四边形可以求出它的面积，圆的面积又接近正八边形，那圆能不能用刚才的办法也求出它的面积？”

动手操作。教师先示范等分4 份的情况。再出示小组活动要求：

活动目的：圆能不能转化为平行四边形

活动要求：1.每组2 个人合作剪一个，拼成平行四边形。

2.观察拼成的平行四边形，随着等分份数的增加，你有什么发现？

学生展开联想：对圆也可以尝试向正八边形一样平均分成若干份，然后拼成近似的平行四边形。等分的份数越多，拼出的图形越接近平行四边形。

（三）体会图形运动过程，进一步感受极限思想

学生在之前的学习中已经了解过“无限”，如直线向两端无限延伸，自然数是无限的。“无限”概念的传授，在小学阶段，一是用有限的动态方式体现“无限”的过程，如“两条直线永不相交”；二是用极限的方法处理“无限”，如圆的周长和面积探索。

而在将圆转化成长方形的过程中，学生动手操作（剪、拼），然后通过同时呈现几幅（将圆等分成4份、8 份、16 份、32 份……）等分拼接图进行想象：当分到足够多份时，圆最终转化成了长方形。学生在直观中经历极限的想象过程，也就是在观察图形“有限分割”的基础上，想象“无限分割”。首先进一步强调转化后的图形面积等于圆的面积；接着组织学生小组讨论，自己联系“转化”前后图形的关系，也就是圆的半径等于长方形的宽，圆周长的一半等于长方形的长；最后自行推导出圆的面积公式。不同层次学生在交流中进行互相启发，从而使各自的思维达到更深层次。

（1）理清圆和长方形之间的联系

小组交流：观察等分32 份的情况，你发现圆和长方形之间有什么联系？

（2）学生推导公式

根据你们找到的圆和长方形的关系，你能得到圆的面积公式吗？先在组内说一说，你们小组是如何想的？再请你写一写。

（3）展示学生成果

（4）回顾反思：回顾一下，我们是怎样将一个圆转化为长方形的？它们之间有什么联系？如何得到圆的面积公式？

（5）介绍割圆术

在学生自主推导出“圆的面积公式”后，“头脑风暴”式的成果交流展示是“重头戏”。一般在平时的课堂中，在此环节教师基本有三种策略：一是从低水平到高水平的分析学生成果；二是展示最高水平的成果，再对比低水平成果中存在的问题，并进行完善和调整；三是同时对比、分析不同水平的作品，组织学生讨论它们的相同点和缺憾。教师采用那种策略取决于教学内容，学生的认知水平以及成果的完成程度也具有一定影响。“圆的面积”一课应采取第二种策略，让学生在思维的碰撞中擦出灵感的火花，更深入探究圆的面积与半径之间的关系，提升学习的兴趣，让不同层次学生在交流、讨论中都能有所思、有所得。

在本课中，学生思维难点在“为什么最终会是一个长方形？”因为在学生看来，有限地等分成小扇形后，它们的弧依然是“弯弯”的，不是直的，所拼成的近似长方形的长是一条曲线。这里的关键是要在“有限”的图形上，引导学生进行想象“无限”：当等分的份数趋向于无限的时候，拼成的图形才越来越接近长方形，长方形就是这个“无限图形”的终极形态。在学生观察想象时，要整体呈现多幅转化后的图形，着重引导学生思考拼成的图形的变化趋势。在这一过程中，教师要强调运动的观点，引导学生思维向“无限”延伸，想象所拼图形的终极形态，从而最终领会圆经过无限等分后拼成的是一个真正的长方形。在推导出圆的面积公式的同时，真正体会到数学中的“极限思想”，提升学生的抽象和推理能力。

三、数学思维要在有价值的学习任务中走向深刻

圆的面积公式的推导有其特殊性，相对学习直边平面图形面积来说，需要学生经过“化曲为直”来操作，有时候甚至是“以直代曲”，从而感悟“极限思想”的内涵，在有限和无限、近似和精确中相互转换思维，这是一个复杂的辩证过程。在教学前，教师要找准学生的知识起点；在教学中要及时掌握学生思维动态，让学生参与连贯的、系列性的圆的面积推导过程；在教学后让学生在知识与技能方面进行实践，运用学习的知识、思想、方法等解释现象、解决问题。直观的图形往往比千言万语更能把握研究对象的的本来面貌。从内接正方形与外切正方形联系猜想圆的面积，再到圆的面积与其他直边图形面积的辩证关系，这些都可以借助几何直观完成，把复杂的问题形象化，把抽象的问题直观化。在学生的整个学习过程中，既有归纳（合情推理），也有演绎（逻辑推理），二者相辅相成。学生在一系列的观察、猜想、验证等探究学习活动中，以“割补法”为推理起点，联系长方形面积公式，并进行归纳，得到推理的结果：圆的面积等于无限分割后所拼成长方形的面积。

在小学数学课堂教学中，数学基本活动经验的积累和数学思维的培养，不仅要看结果，更要重视积累的过程；不仅要引导学生对原有经验的内化，更要促进学生新的生成经验。在平时的教学实践中，教师要善于建构教材，对知识的前后联系和影响要做到心中有数，通过巧妙的教学设计将数学活动经验和数学思想方法直观地呈现在学生面前，帮助学生形成知识脉络，促进经验的正向迁移和内化，让学生学会举一反三，灵活运用和迁移已有的经验解决实际新的问题，以此推动学生多元思维的发展。

总之，高质量的“交流”源于值得交流的数学活动，而承载“值得交流”的，是教师精心设计的有挑战性的学习任务，这样的任务使学生经历真研究、真思考、真理解，从而形成富有生命力的课堂。这样的课堂教学对学生来说，是自信的开端、求知的呼唤、精神的愉悦和个性的彰显；而对教师来说，是经验的分享、智慧的传递、心灵的沟通与真情的交融。