考虑故障概率和净负荷不确定性的鲁棒随机备用优化

李 冉，王明强，杨 明，王孟夏，王纬纶

（电网智能化调度与控制教育部重点实验室（山东大学）,山东省 济南市 250061）

0 引言

在电力系统运行中,为了应对可再生能源出力和负荷、设备故障造成的不确定性,需要配备一定的备用容量。备用容量的配置与电力系统运行的经济性、可靠性密切相关。当备用配置量较高时,系统调度成本增加,但可靠性提高。当备用配置量较低时,系统调度成本减少,但可靠性降低［1］。备用的决策问题已成为电力系统调度的核心问题之一。

为应对可再生能源出力和负荷的不确定性,备用往往按可再生能源和负荷预测值或方差的一定比例设定［2］。若对不确定性以概率、区间等手段精细描述,则可建立起相应的随机优化［3］、鲁棒优化［4-5］、分布式鲁棒［6］、机会约束规划［7］、成本/效益折中优化［8］等备用优化模型。

为应对设备故障造成的不确定性,往往采用N-k安全准则［9］,即配置充足的备用使系统能够应对k个设备同时故障的情况。但该准则却未考虑系统设备故障的随机特性,容易造成过于保守或激进的结果。在考虑设备故障概率的概率性备用优化模型中,对设备故障概率,往往结合统计方法和实际经验取其长期统计平均值。文献［10-11］建立了考虑设备故障的随机优化模型,以最小化各种故障概率与故障下系统成本的乘积之和为目标函数。文献［12］基于设备故障概率计算期望缺供电量来量化故障损失,并以期望损失的减少量来表示效益,最终建立了考虑成本/效益折中的备用优化模型。然而,对设备故障概率采用长期统计的平均值描述可能存在明显误差［13］,进而造成过于保守或激进的结果,其合理性与精确性仍需进一步探讨。

目前,故障概率不确定性已经在调度、规划等领域得到一定考虑和应用。文献［14］以模糊集描述故障概率的不确定性,进而提出一种分布式鲁棒优化机组组合模型。文献［15］在电力系统规划问题中考虑了文献［14］中的故障概率模糊集,提出了一种2 阶段分布式鲁棒扩展规划模型。文献［16］以区间描述故障概率不确定性,后验计算每种场景下输电网的可靠性指标。虽然故障概率不确定性已被考虑在上述问题中,但对于故障概率不确定性对备用决策的影响,以及如何统筹考虑设备故障造成的离散不确定性和风电、负荷造成的连续不确定性对备用决策的影响,目前尚缺乏深入的分析和研究。

本文同时考虑设备故障概率不确定性和可再生能源与负荷造成的节点净负荷不确定性,对备用进行优化决策。对2 种不确定性统一以区间的形式表达,进而建立鲁棒随机备用优化模型。采用对偶理论、上境界转化［17］、KKT（Karush-Kuhn-Tucker）条件、Soyster 鲁棒线性化等方法,将模型转化为混合整数线性规划模型,从而实现模型的快速求解。

1 数学模型

1.1 目标函数

本文所建立的备用优化模型主要基于机组组合模型,可以看做机组组合模型的扩展。模型中共含有2 类随机参数：一类为处于目标函数中的场景故障概率；另一类为约束中的净负荷波动量。目标函数为运行成本、启停成本、上调和下调备用成本以及故障情况下的期望弃风、切负荷成本最小化；约束为正常、预想故障下的各种约束,对机组的启停状态进行决策。基于最佳启停决策,开启的机组在满足负荷需求的同时,可以提供最佳备用容量,从而使得决策周期内系统的调度成本和可靠性成本之间实现最佳折中。模型目标函数具体表述如下。

当单个设备的故障概率用区间内的随机参数描述时,故障场景概率也是一个随机参数。

1.2 约束条件

目标函数需满足的约束条件包括正常情况下和故障情况下的约束。

1.2.1 正常情况下的约束条件

1）系统总功率平衡约束

式中：Ψ为约束条件集合,约束条件中包含发电机组功率的上下限约束、最小运行启停时间约束、初始条件约束、机组输出功率速率约束［18］,它们都被考虑在模型中。

设备故障场景集合Ω中包括机组、线路的单次故障。

1.2.2 不同设备故障场景的约束

1.3 场景故障概率不确定集合的构建

系统场景故障概率与设备故障概率存在严格的解析关系。当设备故障采用两状态模型表示时,以某次故障为例,系统故障场景概率可以表达为：

1.4 净负荷不确定性的处理

净负荷随机参数包含在总功率平衡约束式（6）与潮流约束式（8）中。常规发电机具有一定的调节能力裕度,该调节能力能够应对负荷、风电出力的预测误差和波动,并合理分担系统功率不平衡量,进而实现功率平衡和风电功率的完全接纳［21］。系统内所有在线发电机应对净负荷波动的调节能力与净负荷波动程度以仿射的形式相匹配,如式（29）所示。

此时,系统内净负荷随机参数从功率平衡式里消失,仅存在于潮流约束式（8）中。本文模型正常运行状态下不允许弃风、切负荷现象,即认为系统有充足的调节资源应对净负荷的不确定性,因此仅在调节资源从源侧向荷侧传递时受到的网络约束中考虑随机参数的影响。式（8）中的随机参数将在2.1 节中进行处理。

1.5 min-max-min 模型的建立

在鲁棒随机优化模型［20］的目标函数中,存在事件发生概率乘以事件结果的部分,该部分具有明确的随机优化的特征。当事件发生概率（如场景故障概率）为随机参数,且模型旨在寻找最劣情况下的最优决策时,该部分又具有明确的鲁棒优化的特征。因此,整体模型归属于鲁棒随机优化模型。其目标函数如式（33）所示。当原目标函数中的随机参数通过引入新变量等效处理后,式（33）可进一步改写成式（34）。

最初含随机参数的单层优化模型转变成确定性三层优化模型。其中,最内层以不同故障场景下的弃风量和切负荷量为决策变量,最小化不同场景下的平均惩罚成本；中间层以zω,t作为决策变量,寻找随机参数变化所带来的最劣影响；最外层min 问题以Pg,t、Rg,t、Ug,t、Kg,t为待优化变量,优化考虑故障概率区间不确定性、净负荷不确定性下的总成本。

2 求解方法

2.1 潮流约束中净负荷不确定性的处理

模型中仅潮流约束（式（8）和式（9））中含有随机参数。将随机参数整理到不等号左边,以正向潮流约束为例,可以表达为式（35）。通过Soyster 鲁棒线性化方法［22］,将式（35）约束左端的随机参数消除。线性化后的潮流约束式（8）和式（9）可分别整理为式（36）和式（37）。

2.2 采用对偶理论将三层优化问题转换为双层优化问题

为简化表达,引入Q(ω,t)表示最内层优化问题。Q（ω,t）的具体形式如式（38）所示,约束条件为式（13）至式（18）。

经过上述转化,原模型呈现出单层优化的形式。但由于约束中Q（ω,t）的存在,实际仍为双层模型。对此,可通过KKT 条件,将其进一步化为单层优化。

2.3 采用KKT 条件将双层优化问题转换为单层优化问题

式中：λi和μj分别为第i个等式约束和第j个不等式约束对应的拉格朗日乘子；λ和μ分别为等式约束和不等式约束对应的拉格朗日乘子向量。

该问题对应的KKT 条件为：

对于约束式（64）中互补松弛条件所对应的非线性成分,根据文献［23］中所介绍,采用大M 法线性化,此时完整的优化模型就可转换为单层混合整数线性规划模型,可以调用现成的求解器进行求解。

3 算例分析

对IEEE-RTS 24 节点单区域系统算例进行分析。系统包括24 个节点、26 台发电机、38 条输电线路。其中17个节点接有负荷,负荷峰值为2 850 MW。26 台发电机的参数见文献［24］。为了凸显线路故障的影响,将线路容量缩小为原容量的1/2。两个容量为250 MW·h 的风电场分别连接在节点5、22上。风电出力详细数据见文献［25］。失负荷价格ρVOLL、弃风惩罚价格χ均取1 000 美元/（MW·h）。将发电机成本分段线性化后,取每台发电机最高边际成本的10%作为各自的上调、下调备用价格。考虑发电机、线路单重设备故障,共64 种故障场景。设备故障概率的时间和空间的保守度分别为ΓSt=10,ΓTω=15。ΓSt和ΓTω的取值可以由决策者通过历史经验和风险态度决定,算例中的数值参考文献［26］选取了相同数量级。整个调度时段为1 d,均分为24 h。不同宽度的场景故障概率区间由引入辅助变量h表达为［1/h,h］πˉ的形式。不同的h取值代表不同宽度的区间,πˉ为平均故障概率。

本文所提模型基于GAMS 平台［27］编程实现,调用商用求解器Cplex 进行求解。计算机配置为Windows10 系统,Intel Core i7-8700k 系列CPU,主频3.0 GHz,内存32 GB。

3.1 故障概率不确定性的影响

首先分析故障概率不确定性的影响。假设净负荷波动量为0,当故障概率采用不同的区间时,所提模型的优化结果中各项成本如表1 所示。

区间宽度为［1,1］时,即对应故障概率采用确定值计算的普通随机优化模型。从表1 可以看出,用故障概率的区间代替单值概率后,运行成本相对变化不大,启停成本略有降低,它们的变化是为了更好地提供备用；备用成本逐渐增大,期望停电损失则增加了1 倍之多。结果表明,当区间范围逐渐增大时,为应对不确定性,系统配置的备用量明显增加。仅考虑单值概率可能得到过于乐观的结果。

表1 不同故障概率区间计算结果对比Table 1 Comparison of calculation results with different failure probability intervals

图1 和图2 分别展示了考虑不同区间宽度的优化模型中,上、下调总备用的变化趋势。由图1 和图2 可知,对区间的考虑显著增大了系统对上调备用的配置量,而对下调备用的影响并不明显。这是由于设备故障概率在区间内的波动范围增大,需要比采用单值概率的随机优化模型留有更多的上调备用容量,以保证系统应对故障概率的鲁棒性。

图1 故障概率波动时上调总备用变化趋势Fig.1 Trend of total up reserve with different failure probability fluctuations

图2 故障概率波动时下调总备用变化趋势Fig.2 Trend of total down reserve with different failure probability fluctuations

不同故障概率区间下模型的计算时间见表1。可见,相比不考虑设备故障区间的普通随机优化模型,考虑区间后模型的计算时间并没有显著增长。算例分析发现,场景的数量是影响模型计算效率的关键因素。为提高本文所提模型的计算效率,已有的关于提升随机优化计算效率的技术,如场景压缩技术［28］、约束预筛选［29］、Benders 分解［14］等方法均可以应用在本文模型中。

表2 不同保守度因子对结果的影响Table 2 Impact of different conservative factors on results

3.2 净负荷不确定性的影响

以故障概率区间宽度［0.1,10］πˉ为基准值,净负荷扰动范围设为预测值的百分比的形式,表3 给出了不同扰动区间对成本的影响。

由表3 可以看出,系统总成本随波动范围的增加而上升。在扰动量波动较小时,运行成本、启停成本、备用成本、期望停电损失均变化不大。这是因为此时设备故障所需的事故备用在备用配置中占主导地位,该备用容量在没有故障事件发生时,能够满足波动量的平衡,所以实际运行点不需要做太多的调整,而随着波动范围的增加,运行成本、备用成本逐渐上升。这说明此时波动量的变化开始在备用配置中发挥作用,运行基点做出调整以提供更多的备用。同时该备用量的提升也使事故下的期望停电损失降低。

表3 不同扰动区间对成本的影响Table 3 Impact of different disturbance intervals on cost

图3 和图4 给出了不同净负荷波动范围下的上、下调总备用的变化趋势。由图3 和图4 可见,在波动范围较小时,上调备用变化趋势十分相似。当波动范围超过5%时,对上调备用的影响在第8 h 之后开始显现,上调备用逐渐升高,并在-10%～10%的波动范围下持续保持在较高的水平。净负荷波动对下调备用的影响则更为明显,随着波动范围的增加,下调备用的需求也显著升高。

图3 净负荷波动时上调总备用变化趋势Fig.3 Trend of total up reserve with different net load fluctuations

图4 净负荷波动时下调总备用变化趋势Fig.4 Trend of total down reserve with different net load fluctuations

另外,对比图1 和图2 发现,与故障概率不确定性主要影响上调备用而不明显影响下调备用的特点不同,波动范围变化对上、下调备用均有十分明显的影响。这是由于故障场景下会出现功率不足的情况,需要足够的上调备用作为补充；而波动量的变化范围明显具有双向性,需要双向的调节能力。

3.3 线路输送能力的影响

输电网络传输容量可能会限制部分机组功率输送的能力,进而影响备用的效果。以故障概率区间［0.1,10］、波动范围-7.5%～7.5%为基准,将线路容量由0.4 p.u.逐渐升至1.0 p.u.,得到成本优化的结果如图5 所示。

图5 不同线路容量的成本Fig.5 Cost with different line capacities

由图5 可以看出,总成本、运行成本、备用成本均随线路容量的上升而降低,并在线路容量增加至一定水平时趋于不变。此时,线路容量相对松弛,线路传输容量不再成为系统经济安全运行的限制因素,限制总成本降低的主要原因来自电源的灵活性。提升线路容量可以改善系统资源优化配置,降低发电成本与备用成本,提高火电厂的经济效益。

4 结语

针对电力系统中单值设备故障概率的局限性和净负荷的不确定性,本文提出一种新的同时考虑设备故障概率区间和净负荷波动区间的备用优化模型。针对故障概率不确定性,构建了故障场景概率区间的不确定集合,并最终转化为min-max-min 鲁棒随机备用优化模型。针对净负荷波动的不确定性,则利用仿射策略进行处理。IEEE-RTS 24 节点系统算例计算结果表明,设备故障概率不确定性对系统的经济性和可靠性有着明显影响。随着概率区间的增大,系统对备用的需求量呈上升趋势,且主要影响上调备用的配置量。而波动的双向性则使系统配置了更多的下调备用。

由于计算效率的限制,在考虑设备故障概率不确定性时只考虑了线路、机组的单重故障事件,多重设备同时故障这类小概率大影响事件对所提模型的影响有待进一步研究。下一步的研究会将双重设备故障时间纳入所提模型,研究考虑多重设备故障概率和净负荷不确定性的鲁棒随机备用优化问题。