一种压缩感知下的NSCT-Zernike的鲁棒数字水印方案

张天骐，叶绍鹏，周琳

（1. 重庆邮电大学 通信与信息工程学院，重庆 400065；2. 重庆邮电大学 信号与信息处理重庆市重点实验室，重庆 400065）

21世纪以来，通信信息技术及互联网应用广泛传 播，随之而来的数字化产品被复制盗用伪造的问题亟待解决，数字化信息的保护显得尤为重要，因此数字水印[1]技术应运而生. 目前，数字水印技术已经得到很好的发展，但是旋转、缩放、剪切等攻击伴随有几何失真带来的同步错误，大部分数字水印难以抵抗，因此，如何设计一种能够有效抵抗旋转、缩放、剪切等几何攻击的方案是目前水印技术需要研究的重点话题之一.

目前提出的抗几何水印方案大致可分为4种. 第1种为基于雅克比-傅里叶矩[2]、Legendre矩[3]、Chebyshev多项式[4]、Jordan变换[5]、Zernike矩[6]等几何不变域方案较为常见，但由不变域引起的内插和由矩引起的离散化增加了同步失真，因而只能抵抗常规几何攻击，对于剪切等复杂攻击的抵抗力显得相对弱势. 第2种为基于Harris[7]、SIFT[8]、SURF[9]等特征点提取的水印方案由于提取了图像重要特征信息因而在检测时水印不易受到同步误差影响. ZHILA等[10]利用Harris-Laplace提取图像特征点，在特征点之间通过仿射变换构造和调节稳定三角区域，水印嵌入其中不易受到破坏. CHIH等[11]使用SURF算法提取载体图像特征点，并使用随机抽样一致性算法优化特征点匹配结果，然后对受攻击图像进行SURF校正还原出原始水印，该方法可以有效抵抗旋转攻击，但对于缩放攻击鲁棒性不强.

第3种为基于模板匹配[12]的水印方案，该方案虽然能避免几何失真带来的低鲁棒性问题，但由于水印中添加了同步模板，因而水印信息的嵌入容量也随之降低. 最后一种也是近几年水印技术研究的热门方案，在水印引入机器学习[13]. 该方案通过结合种群的优化算法以及神经网络模型生成用于嵌入水印的动态模式，因而增强水印的抗几何攻击能力. 潘强等[14]提出了一种基于奇异值分解和极限学习机的基于整数小波变换域的鲁棒水印方案，该方法虽然满足水印各种抗几何攻击能力，但却牺牲了水印的不可见性指标.

本文采用变换域与Zernike矩相结合的水印技术，提出一种在压缩感知下的非下采样轮廓波变换结合Zernike矩的方案. 对图像进行NSCT后提取其低频分量，将其稀疏处理后获取稀疏基，利用压缩感知得到新的低频分量，通过量化调制正则化伪Zernike矩幅值的方式将水印信息嵌入. 最后通过正则化正交匹配追踪进行压缩感知的重构. 实验结果显示，在满足水印不可见性的前提下，该算法能够有效抵抗图像的几何攻击如剪切、旋转等以及组合攻击.

1 非下采样轮廓波变换

非下采样轮廓波变换(nonsubsampled contourlet transform, NSCT)避免了Contourlet变换非平移不变的缺点，为本文提供了更多嵌入水印的可能性. 其组成部分由非下采样金字塔分解(nonsubsampled pyramid,NSP)和非下采样方向滤波器组(nonsubsampled directional filter bank, NSDFB)构成. NSCT首先利用NSP进行多尺度分解，产生低频子带和高频子带，随后对高频子带使用NSDFB进行方向分解.

图1 非下采样轮廓波变换示意图Fig. 1 Schematic diagram of nonsubsampled contourlet transform

2 压缩感知

2.1 压缩感知理论

压缩理论可分为稀疏性表示，观测矩阵的求取以及信号的重建3部分. 信号的稀疏基可以通过某种变换获得也可通过正交稀疏变换求得

2.2 正则化正交匹配追踪算法

正交匹配追踪算法(orthogonal matching pursuit ,OMP)[15]是贪婪算法中的一种，OMP是通过递归的方式对现有的原子域做正交处理，由于OMP算法计算复杂度较高，更新速度慢且重构时间长，基于此，正则化正交匹配追踪(regularized orthogonal matching pursuit, ROMP)算法在OMP基础上加以改进，通过其相关性来实现在一次迭代过程中加入满足条件的多个原子，从而大大提高了运算速度.

ROMP算法流程图如图2所示，具体步骤描述如下.

图2 ROMP算法流程图Fig. 2 ROMP algorithm flow chart

3 正则化Zernike矩

Zernike矩是原始图像在一组基上的映射，它定义为在单元圆内x2+y2≤1的任意平方可积函数为

4 数字水印的嵌入和提取

基于上述理论的特性，本文将其与数字水印技术相结合：采用变换域与Zernike矩相结合的方法，提出一种在压缩感知下的非下采样轮廓波变换结合Zernike矩的方案. 数字水印的嵌入与提取过程如流程图3，具体描述如下.

图3 水印嵌入和提取算法流程图Fig. 3 Flow chart of watermark embedding and extraction algorithm

(1)原始图像I进行三层NSCT变换，提取与原始图像相同大小的低频图像ILL，对ILL进行稀疏化处理，本文利用离散小波变换提取细节系数向量ILLcD即获取稀疏基，对稀疏表示后的ILLcD进行压缩感知求得测量向量yc，观测矩阵由M行N列的高斯随机矩阵生成，满足M

综上所述，整个算法流程共分为两个环节：水印嵌入环节和水印提取环节. 由于需要计算L个伪Zernike矩前后的幅值大小，因此水印嵌入过程用时15.7 s，未受攻击图像在水印提取时用时26 s，整个算法共用时41.7 s，该执行时间可能会随着计算机配置的变化而变化. 由式(11)以及式(13)可知，两个环节的算法的时间复杂度均为O(n).

5 仿真实验与分析

本实验的测试图像为 512×512的Lena、Barbara、Barbara标准灰度图像，取l为5 489的独立同分布的随机数字流，从中选取1行64列的均匀随机变量，因此水印信息的长度L大小为64 bit，本文将N将设定为ILLcD的列数，满足M

5.1 不可见性

图4分别展示了Lena、Baboon、Barbara图像的原始图以及水印嵌入效果图，以峰值信噪比(peak signal to noise ratio, PSNR)作为评判水印嵌入效果的指标，3幅图片的PSNR均高于40 dB，满足水印的不可见性要求.

图4 水印嵌入效果图Fig. 4 The figure of Watermark embedding

5.2 鲁棒性

选取PSNR较高的Lena图像进行以下实验，以误码率(bit error rate, BER)以及归一化相关系(normalized coefficient, NC)作为衡量水印鲁棒性的评价标准. 误码率是提取水印错误位数与原始水印位数之比.

5.2.1 简单攻击

由表1可知，该算法对图像滤波、噪声、JPEG压缩以及灰度变化等一般性攻击具有较强抵抗力，提取出的水印出错误位数低于6位，而且NC值均可达0.9以上，特别是对于高斯白噪声、高斯滤波、JPEG压缩攻击，NC值不低于0.96，水印容量较好，检测出的错误位数较少，BER均在0.1以下，因此该算法对简单攻击有相对较强鲁棒性.

表1 本文算法对简单攻击的抵抗力Tab. 1 The algorithm's resistance to simple attacks

5.2.2 几何攻击

图5表示不同水印序列L的NC值和BER随旋转角度和缩放因子的变化情况. 由图5(a),(b)可知，当旋转相同的角度时，L越小NC值越大，BER越小.当L=64 bit时，NC值最低可达0.7以上，BER最高在0.34左右. 随着旋转角度的增加不同L下的NC值的变化规律大体上保持一致，即：以90◦为一个周期，旋转角度为90◦的倍数时，NC值可达1，接受的错误位数几乎为0，整体效果上，满足水印能够有效提取的要求，该算法对于旋转攻击的抵抗力较强.

由图5(c)(d)可知，除了尺度因子在0.6时的NC值和BER不容乐观之外，不同L的缩放因子在0.7～2之间的NC值均可达0.8以上，且误码率在0.2以下. 原因在于图像过于缩小，水印信息也会相应的丢失，此外含水印图像缩放后还要进行压缩感知，其本质就是一种图像采样压缩，因此，水印信息在过度缩小的情况下损失较为严重. 但从整体上看，图像尺度扩大对水印提取的影响很小，当尺度因子大于或等于0.9时，提取水印NC值均在0.9以上，检测到的水印错误位数少于3，误码率低于0.05. 当Δ保持不变时，NC值和BER在L=64 bit时随缩放因子的变化情况效果最好，缩放因子高于0.9时基本可以完全恢复出水印，误码率几乎为0.

图5 不同L下旋转角度和缩放因子的BER和NC值Fig. 5 BER and NC values of different rotation angles and scaling factors

表2展示了不同剪切强度下该算法对边缘剪切以及中心剪切攻击的抵抗能力. 由表2可知，该算法能够抵抗剪切面积达到图像面积40%的攻击，NC值最低可达0.78，检测到的错误水印位数低于18位，BER低于0.3，无论是中间剪切还是边缘剪切，当剪切面积25%～40%之间时，NC值最大能够达到0.92，误码率最低不超过0.07，因此该算法对剪切攻击具有相对较强的鲁棒性.

表2 本文算法对剪切攻击的抵抗力Tab. 2 The algorithm's resistance to cutting attacks

本文算法对其他攻击的抵抗能力如表3所示，本文算法能够有效抵抗锐化、马赛克以及各种组合攻击，提取水印的NC值和误码率较为理想，满足水印提取要求，因此本文算法对某些复杂攻击也有相对较强的鲁棒性.

表3 本文算法对其他攻击的抵抗力Tab. 3 The algorithm's resistance to other attacks

5.2.3 对比实验

为了验证本文算法的鲁棒性，将本文算法与文献[10]和文献[14]进行对比，本文将水印信息L设为1 024 bit. 以误码率作为衡量标准，对比情况如表4所示.

表4 对比实验Tab. 4 Comparative experiment

对比实验结果表明，本文算法在抵抗图像模糊、噪声、缩放、旋转攻击时提取的错误水印位数几乎为0，而且在抵抗边缘剪切以及边缘增强的锐化攻击上均优于文献[10]、文献[14]，验证了本文算法的鲁棒性.

6 结 论

针对水印抗几何攻击鲁棒性不强的问题，提出一种在压缩感知算法下的NSCT-Zernike的数字水印，对原始图像进行NSCT后提取其低频分量，低频分量稀疏处理后构造其测量矩阵，然后将获取的稀疏基进行压缩感知处理，水印信息嵌入在其量化调制正则化伪Zernike矩的幅值当中，最后利用ROMP进行图像压缩感知的重构. 当Lena图的PSNR达到40 dB以上时，本文算法展现了对抗复杂攻击以及组合攻击的优势.