磁悬浮列车相关问题赏析

■浙江省桐乡第一中学 李 鑫

磁悬浮列车问题是相对独立的一类题型,探其源头,可以上溯到2006年全国中学生物理竞赛复赛的第5题。磁悬浮列车问题包含了相对运动、受力分析、能量计算、电机补偿等子问题,下面借助三道例题,将相关子问题进行有序排列,由易到难,帮助同学们有效练习。

例1电磁驱动是现代产业中的重要技术。如图1所示是磁悬浮列车的电磁驱动模型:列车轨道沿x轴方向,轨道区域内固定一系列电阻r=0.5 Ω 的独立线圈,每个线圈通以I0=10 A 的电流后将产生如图所示的磁场,磁感应强度大小均为B=1 T,相邻区域内的磁场方向相反。固定在列车底端的金属框abcd可视为一矩形线圈,其电阻R=0.01 Ω,ab边的长度为l,与磁场的宽度相同,bc边的长度L=0.5 m,平行于y轴,金属框ad、bc两边总处于方向相反的磁场中。驱动列车时,固定在轨道上的独立线圈依次通电,等效于金属框所在区域的磁场以速度v0=12 m/s匀速向x轴正方向移动,驱使列车前进,若列车所受阻力恒为f=200 N。(提示:当线圈与磁场存在相对速度v相时,动生电动势E=BLv相)求:

图1

(1)列车启动时刻,金属框中感应电流的方向和大小。

(2)列车所能达到的最大速率。

(3)当列车以恒定速率匀速行驶时,整个系统驱动列车的效率。

解析:(1)列车启动时刻,根据楞次定律可知,金属框中感应电流的方向为adcba,金属框ad、bc两边切割磁感线产生的感应电动势E=2BLv0,金属框中的感应电流

解得I=1.2×103A。

(2)当列车达到最大速率时,有F安=f,其中F安=2BIL,又有vmax,解得vmax=10 m/s。

(3)当列车以恒定速率匀速行驶时,有P动力=F安vmax=fvmax,P热=2I20r+I2R,η=,解得η=80%。

点评:求解(1)问时要注意金属框的左右两条边都在切割磁感线,两条边产生的感应电动势应该叠加。(2)问的第一个易错点是忽略金属框的左右两条边都将受到安培力的作用,即F安=2BIL;第二个易错点是忽略计算感应电动势时应代入磁场和金属框的相对速度,而不是磁场的速度或金属框的速度。(3)问是本题的亮点,要求考生充分思考列车在以恒定速率匀速行驶过程中的能量转化问题,不仅要清楚使得金属框运动起来的动力的功率,还要清楚回路中产生的热功率,明晰产生磁场需要外界供给电流,产生热损耗。

方法提纯:确定电源,识别电路,注意相对运动与感应电动势的关系;对切割磁感线的导体进行受力分析时,注意受到安培力的导体的数量;依据动力学关系写出相应方程,注意达到稳定状态时的情况;计算功率时注意区分作用在金属框上安培力的功率、金属框的热功率、外界供给电流的热功率。

例2如图2甲所示,间距为L的足够长平行光滑金属导轨MN、PQ固定在同一水平面内,导轨左端接有阻值为R的定值电阻,质量为m,电阻为r的金属杆ab垂直跨接在导轨上,整个装置处于磁感应强度为B的匀强磁场中,磁场方向竖直向下。沿水平方向施加外力F(未知量)拉金属杆ab,使之由静止开始运动,电阻R两端的电压随时间变化的关系如图2 乙所示,t0时刻对应的电压为U0。已知金属杆ab在运动过程中受到的阻力为其对地速度的k倍,设金属杆ab在运动过程中始终处于磁场区域内,导轨电阻忽略不计。(提示:可以用F-t图像下方的“面积”代表力F的冲量)求:

图2

(1)t0时刻,金属杆ab的速度。

(2)0～t0时间内,外力F的冲量I。

(3)若磁场有界,开始时金属杆ab静止在磁场区域的右边界处,如图3所示。现使磁场以速度v1匀速向右移动,则当金属杆ab达到恒定速度时(此时金属杆ab处于磁场中),外界供给导轨、金属杆ab系统的功率多大?

图3

解析:(1)t0时刻,电阻R两端的电压为U0,设金属杆ab的速度为v0,则金属杆ab切割磁感线产生的感应电动势E=BLv0,根据欧姆定律得,解得。

(2)根据U-t图像可知,电阻R两端的电压随时间呈线性变化,则,即,解得,因此金属杆ab做匀加速直线运动,加速度。根据牛顿第二定律得F-f-F安=ma,又有,解得F=ma+,因此0～t0时间内,外力F的冲量。

(3)当金属杆ab受到的阻力等于安培力时,金属杆ab以恒定速度v2做匀速运动,产生的感应电动势E=BL(v1-v2),感应电流,金属杆ab受到的安培力F安=BIL,根据平衡条件得解得。系统消耗的功率包括金属杆ab的发热功率和克服阻力的功率,即P=I2(R+r)+kv2·v2,解得P=。

点评:(1)(2)两问属于匀变速运动问题,根据U-t图像可以断定金属杆ab做匀加速直线运动。因为金属杆ab所受安培力和速度成正比,所以安培力和时间也成正比,为了保证金属杆ab所受外力为恒力,施加在金属杆ab上的拉力肯定和时间呈线性关系。(3)问属于磁悬浮列车问题,着重考查功率问题,且本题中不涉及外界供给电流问题,因此本题中的函数表达式虽然比例1 中的复杂,但其物理过程比例1中的简洁。

例3科研人员为超高建筑物设计出了一种磁动力电梯,其工作原理是利用移动的磁场来带动电梯向上或向下运动,可简化为如图4所示的模型:PQ和MN是两根平行竖直轨道,轨道间有垂直于轨道平面的等大反向的匀强磁场B1和B2,磁感应强度大小B1=B2=B,两磁场可以向上运动。电梯轿厢固定在金属框abcd内(轿厢未画出)。已知电梯载人时的总质量为m,运动时所受阻力为f,金属框ab、cd两边的长度为L,两磁场的宽度均与金属框bc边的长度相同,金属框的总电阻为R,重力加速度为g。

图4

(1)假设两磁场同时竖直向上以速度v0做匀速直线运动来启动电梯,设经过时间t1电梯速度达到最大,求电梯向上运行的最大速度vmax和这一过程中电梯上升的距离x。

(2)假如电梯达到最大速度vmax后向上做匀速直线运动,求经过时间t2金属框中产生的焦耳热。

(3)假设两磁场由静止开始向上做匀加速直线运动来启动电梯,当两磁场运动的时间为t3时,电梯正以速度v1向上做匀加速直线运动,求两磁场开始运动后到电梯开始运动所需要的时间t4。

解析:(1)电梯达到最大速度vmax时,电梯所受合外力为零,根据法拉第电磁感应定律可得,金属框ab边切割磁感线产生的感应电动势E1=BL(v0-vmax),金属框cd边切割磁感线产生的感应电动势E2=BL(v0-vmax),金属框产生的总电动势E=E1+E2=2BL(v0-vmax),金属框中的感应电流,金属框受到的安培力F安=,根据平衡条件得F安=mg+f,解得。根据动量定理得F安t1- (mg+f)t1=mvmax,即4B2L2x=4B2L2v0t1- (mg+,解得x=。

(2)电梯达到最大速度vmax后向上做匀速直线运动,根据法拉第电磁感应定律得,则经过时间t2金属框中产生的焦耳热。

(3)为实现电梯向上做匀加速直线运动,其加速度必须与磁场由静止开始向上做匀加速直线运动的加速度相等,设该加速度为a,在t3时刻,金属框产生的总感应电动势E=2BL(at3-v1),金属框中的感应电流,对电梯应用牛顿第二定律得,解得a=。在电梯开始运动的瞬间,金属框产生的总感应电动势E=2BLat4,金属框中的感应电流,对电梯应用牛顿第二定律得0,解得。

点评:本题是磁悬浮列车问题的进一步变形,与前两个例题相比有三点变化。第一,从水平方向上的运动换到了竖直方向上的运动,分析金属框的受力情况时不要遗忘阻力和重力;第二,前两个例题中的磁场都是匀速运动,而本题中的磁场可以做匀加速直线运动,同学们需要认识到不管磁场是做匀速运动还是做匀变速运动,磁悬浮列车问题关注的都是研究对象达到相对稳定状态时的情况,在稳定状态下,金属框做的是匀变速运动,且金属框的加速度与磁场的加速度相同;第三,本题融入了动量定理的应用,需要应用动量定理和累积思想去求解位移。