对*-素环Jordan理想上广义导子性质的研究

杨 悦

(吉林师范大学 数学学院，吉林 长春 130000)

1976年, I.N.Herstein[1]提出了如果R是2-扭自由素环,d为环上的导子，对于R中任意的x,y, 若满足[d(x),d(y)]=0, 则R为交换环.1991年，Brear等[2]提出了更具一般性的导子的概念，丰富了环上导子的相关研究成果.受Brear的启发,(θ,φ)-导子、(θ,θ)-导子等衍生导子相继出现.

在本篇论文中R是结合环, 在环R中, 所有与R的全体元素可交换的元素的集合, 称为环R的中心, 记为Z(R).设R是素环，如果对于aRb=0，有a=0或b=0，a,b∈R，则称R为素环.设R是结合环, 若aRa=0,a∈R有a=0，则R是半素环.设R是结合环,d是R到R的加性映射，若对任意的x,y∈R都有d(xy)=d(x)y+xd(y)，则d是R上的导子.若环R的可加子群U, 满足[u,r]∈U,u∈U,r∈R, 则称U为环R的Lie理想.若环R的可加子群J, 满足u∘r∈U,u∈J,r∈R, 则称J为环R的Jordan理想.设F是环R上的可加映射，若存在R上的导子d，使得对任意的x,y∈R, 均有F(xy)=F(x)y+xd(y)，则称可加映射F为R上的广义导子，d为R上的伴随导子.∀x,y∈R有x∘y=xy+yx,[x,y]=xy-yx，设R是环，若映射φ：R→R满足：

(ⅰ)φ(a)⊆R,a∈R;

(ⅱ)φ(a+b)=φ(a)+φ(b),a,b∈R;

(ⅲ)φ(ab)=φ(a)φ(b),a,b∈R,

则称φ是R的自同构.令θ，φ是环R的自同态映射，若满足d(xy)=d(x)θ(y)+φ(x)d(y)任意的x,y∈R, 则可加映射成为(θ，φ)-导子.若(θ，φ)-导子存在的情况下，满足F(x,y)=F(x)θ(y)+φ(x)d(y)，d:R→R, 任意x,y∈R, 可称可加映射F:R→R为广义(θ，φ)-导子.设R是结合环,δ:R→R是加性映射,θ是R上的自同构.若存在R上导子δ, 对任意的x,y∈R, 都满足δ(xy)=θ(x)δ(y)+θ(y)δ(x), 则称δ为R上的左(θ,θ)-导子.设R是结合环,δ:R→R是加性映射,θ,φ是R上的自同构.若存在R上导子δ, 对任意的x,y∈R, 都满足δ(xy)=θ(x)δ(y)+φ(y)δ(x), 则称δ为R上的左(θ,φ)-导子.

一些学者发表了许多素环上导子和广义导子的研究成果，Brear和Vukman[2]证明了特征不为2, 3的素环的非零若当左导子，使R是可交换的.近期，许多素环的著名结果由Oukhtite[3]等人推广到了*-素环，本文将这一结果推广到*-素环上*-Jordan理想的广义导子上来研究.

引理1[3]设R是2-扭自由*-素环,J是R的非零*-Jordan理想，若aJb=aJb*=0, 则a=0或b=0.

引理2[3]设R是2-扭自由*-素环,J是R的非零*-Jordan理想，若[J,J]=0, 则J⊆Z(R).

引理3[4]设R是2-扭自由*-素环,J是R的非零*-Jordan理想，若J⊆Z(R), 则R是可交换的.

引理4一个群不可能是它的两个真子群的并.

引理5[1]设R是2-扭自由素环,J是R的非零Jordan理想，θ，φ是R的自同构，若R上(θ,φ)-导子d使d(J)=0, 则d=0或J⊆Z(R).

定理设R是2-扭自由*-素环，J是R的非零*-Jordan理想，并且是R的子环，若F和G是R的广义导子，d和g是F和G的伴随导子，导子g与*可交换，若满足(F(u)v+F(v)u)±(uG(v)+vG(u))=0，u,v∈J，则R是可交换的.

证明

由假设我们有

(F(u)v+F(v)u)=uG(v)+vG(u)u,v∈J

(1)

在(1)中用uv替换u，我们得到

(F(uv)v+F(v)uv)=uvG(v)+vG(uv)

u,v∈J

即(F(u)v+ud(v))v+F(v)uv

=uvG(v)+v(G(u)v+ug(v))

u,v∈J

在(1)右乘v，我们得到

(F(u)vv+F(v)uv)=uG(v)v+vG(u)v

所以ud(v)v=vug(v)+u[v,G(v)]u,v∈J

(2)

在(2)中用wu替换u，我们得到

wud(v)v=vwug(v)+wu[v,G(v)]u,v,w∈J

在(2)中左乘w，可得

wud(v)v=wvug(v)+wu[v,G(v)]u,v,w∈J

结合上式可得

[v,w]ug(v)=0u,v,w∈J

因此[v,w]Jg(v)=0v∈J

(3)

因为J是R的非零*-Jordan理想, 可得

[v,w]*Jg(v)=0

w∈J，v∈J∩Sa*(R)

因此我们得到

[v,w]Jg(v)=[v,w]*Jg(v)=0

w∈J，v∈J∩Sa*(R)

由引理1我们得到

[v,w]=0或g(v)=0

w∈J，v∈J∩Sa*(R)

v，v+v*,v-v*∈J∩Sa*(R)

且[v±v*，w]=0，w∈J，v∈J∩Sa*(R)

或g(v±v*)=0v∈J∩Sa*(R)

因此我们得出[v,w)=0或g(v)=0

v,w∈J.

我们知道J是U两个可加子群的并, 使K={v∈J|g(v)=0}，L={v∈J|[v,w]=0}.

另外，一个群不可能是两个真子群的并，因此K=J或L=J.

在第一种情况下，由引理5可得R是可交换的.

在后一种情况下，[J,J]=0, 即由引理2可得，

J⊆Z(R), 再由引理3可得R是可交换的.