蜂蜜溶液法拉第斑图的研究

张明杰，王 伟，周路群

(北京大学 物理学院，北京 100871 )

1831年，法拉第[1]首次发现，受竖直方向周期性驱动力作用的液体表面能够产生有序斑纹. 为了纪念法拉第的发现，这种有序的周期性结构也被称为“法拉第斑图”，产生法拉第斑图的体系是典型的非线性体系.近些年来，随着对非线性体系理解的深入，关于法拉第斑图的研究受到了广泛关注，人们对斑图形状的选择[2]、斑图产生的条件[3]、斑图的稳定性[4]等问题展开了丰富的研究.

从之前的实验结果[5,6]来看，黄原胶溶液的法拉第斑图比较混乱.本实验的研究发现，在水中加入蜂蜜能够大大提高斑图的整齐程度.实验中观察到蜂蜜溶液的两种斑图产生机制.之后，对蜂蜜溶液这种特殊体系的动力学特性，即临界加速度与色散关系进行了研究.实验发现，蜂蜜溶液与黄原胶溶液在弱非线性区具有相似的动力学特性.对色散关系的测量显示，蜂蜜溶液的色散关系与重力-表面张力波理论色散关系有较好的一致性，但数据点相较于理论曲线整体偏右，这很有可能是蜂蜜溶液的非牛顿黏滞性造成的.

1 实验对象以及设备简介

本实验采用蜂蜜溶液作为实验对象.溶液的密度ρ=1.233 g/cm3，表面张力系数σ=0.046 N/m.使用的圆柱形容器内径d=9 cm，溶液深度h=2.5 cm.信号发生器(TFG6920A，石家庄数英仪器有限公司)输出频率和振幅可调的正弦信号，经功率放大器(YE5878，江苏联能电子技术有限公司)放大后输入模态激振器(JZK-100，江苏联能电子技术有限公司)驱动圆柱形容器振动.利用固定在激振台上的压电式加速度传感器(GA-YD-107，江苏联能电子技术有限公司)测量平台的加速度，信号经电荷放大器(YE5852，江苏联能电子技术有限公司)放大后输入示波器[TDS1002，泰克科技(中国)有限公司].在容器正上方安装高速摄像机(AOS S-MOTION，瑞士AOS公司)，以环形LED照明灯进行照明，可以拍摄高速清晰的液体表面影像.

图1 实验装置示意图(参考自同一平台进行实验的相关论文[6])

2 斑图的有序度

实验中发现蜂蜜溶液的法拉第斑图呈现极高的有序程度，这是水或黄原胶溶液所不具备的.实验中拍摄了水、5 mg/ml黄原胶溶液、蜂蜜溶液的法拉第斑图.调节激振台驱动频率，控制三种液体产生的斑图波长相近，这样三种液体中等相位点的间隔相当，能更好地比较斑图有序程度.故对于水，激振台频率f控制为f=100 Hz，对于黄原胶溶液控制f=100 Hz，对于蜂蜜溶液控制f=60 Hz.

从图2可以看出，在这些频率下，三者法拉第斑图具有接近的波长.由于三种液体对光的反射与吸收不同，为了使液体表面对光有相同响应从而进行对比，在液体中各滴入500 uL黑墨水，同时拍摄过程中保持摄像系统参数不变.截取一块斑图区域进行二维傅里叶变换.可以看出，水的斑图不太规则，相应的其二维傅里叶变换的峰也不规则(中心的峰对应直流量)，见图2(a).黄原胶溶液的斑图在中心处比较规则，但到了接近容器壁的地方开始变得混乱，其傅里叶变换的峰近似成周期性排列，见图2(b).对于蜂蜜溶液，斑图非常整齐，在距离容器壁数个波长的地方仍保持非常好的周期性，以至于对图像进行傅里叶变换后能看到非常清晰而尖锐、有序的峰，见图2(c).

f=100 Hz，水的法拉第斑图

为了进一步定量描述斑图的有序程度，在二维傅里叶变换频谱上找到距原点最近的峰，以原点为中心，该峰到原点的距离为半径画圆，记录圆上谱强度随角度的变化.可以看出，在圆上走过一圈，对于纯水，峰比较杂乱；对于黄原胶溶液，有4个较大的峰，但信噪比不高，有强度较大的次峰；对于蜂蜜溶液，由于原图像中亮点呈正方形整齐排布，所以出现了4个非常清晰的峰.取图3中数据的样本标准差s作为斑图有序程度的衡量，s越大，斑图越有序，三个体系的s值见表1.

水 黄原胶溶液 蜂蜜溶液图3 谱强度随角度的变化

表1 各液体的s值

3 斑图产生的两种机制

实验中发现斑图有两种形成机制.在临界振 幅以下非常缓慢地增加激振台振幅，可以看到表面局部先产生稳定的横向条纹.随着振幅变大，纵向条纹开始出现，横向条纹和纵向条纹相交区域形成了稳定的局域方形斑图.进一步加大振幅，方形斑图范围逐渐扩大，直到充满整个区域(图4).当激振台的振幅较小时，外界输送给体系的能量无法满足全局斑图的耗散，所以只能在局部出现斑图.出现横向条纹的区域总是固定的(图中右上角)，这很有可能是由于体系在该区域存在缺陷，例如圆形的容器边界条件遭到破坏.

V=370 mV V=372 mV

如果在临界振幅以下突然加大振幅至高于临界值，得益于高速摄像机的超高帧率，可以观察到一种完全不同的斑图形成过程.系统会短暂地出现环形条纹，这些条纹代表的液面模式是许多贝塞尔函数的叠加.随后在边缘出现格状条纹，并逐渐向中心拓展.此时格状条纹并不完全是正方形的，还有六边形等其它形状，并且由中心向外呈辐射状排列.随着时间t增加，这些条纹排列逐渐趋于规则，最后形成稳定的正方形斑图.从六边形的暂态条纹向正方形的稳定条纹的演化，可以说明体系对于斑图形状和对称性选择的过程(图5).

t=0 s t=0.84 s

4 动力学特性的研究

4.1 临界加速度的研究

产生斑图的临界加速度与驱动台频率的关系是法拉第斑图体系一个重要的动力学特性.在激振台频率f一定的情况下，从临界振幅以下缓慢增加激振台振幅，直到体系出现法拉第斑图，记录下此时示波器上电荷放大器输出电压的峰峰值Von(这一数值正比于激振台振动的加速度).文献[5]中的理论认为，当液体表面最大速率达到某一临界阈值后，体系出现法拉第斑图.在这一理论下，临界加速度对应的电荷放大器电压峰峰值Von与激振器频率f之间的关系为Von∝f4/3.文献[5]中对黄原胶溶液体系进行了检验，结果符合较好.对于蜂蜜溶液体系，线性拟合lnVon与lnf(图6)，拟合结果为lnVon∝1.30lnf.可以看出与该理论符合得也相当好，说明对于蜂蜜溶液体系，斑图出现条件是液体表面最大速率达到一定阈值这一理论也是合理的.因此可知在弱非线性区蜂蜜溶液与黄原胶溶液具有相似的动力学特性.

图6 Von与f 对数线性拟合

4.2 色散关系

实验中还对蜂蜜溶液的色散关系进行了测量.由于参变共振[3]，液体振荡角频率ω与激振器振动角频率Ω的关系为ω=Ω/2.认为液体的色散关系符合经典的无黏滞重力-表面张力波形式.

(1)

其中k是波矢，h是溶液深度，g是重力加速度，σ是表面张力，ρ是液体密度.对该色散关系进行了近似，实际上色散关系还和驱动力振幅以及非线性效应有关，但在临界点附近这些因素影响不大[7]，更细致的计算可以参考文献[7].

在高频区获得了非常规则的晶格状斑图，因此 可以比较准确地算出晶格常量(图7).利用不同频率下规则的正方形斑图，可以算出溶液的色散关系(图9).

f=40 Hz f=60 Hz

另一方面，可以利用同心圆环状的暂态波纹(图8)算出波长[2]，从而得出色散关系(图9).

f=40 Hz f=60 Hz

图9 色散关系

从实验结果可以看出，用晶格状斑图和暂态圆形条纹得出的色散关系与理论上的重力-表面张力波色散关系[式(1)]有较好的一致性.但数据点相较于理论曲线整体偏右，意味着在相同驱振频率下，蜂蜜溶液形成的斑图波数更大，波长更短，斑图的结构更为紧致.这很有可能是蜂蜜溶液的非牛顿黏滞性导致的.

5 结论

本实验对蜂蜜溶液这一特殊体系形成的法拉第斑图进行了研究.蜂蜜溶液的特殊性在于，其产生的法拉第斑图具有极高的有序度.实验中观察到了斑图产生的两种机制，并且对体系的动力学特性，即临界加速度与色散关系展开了研究.尽管蜂蜜溶液产生的法拉第斑图与黄原胶等溶液在有序度上有很大不同，两类液体在弱非线性区具有相似的动力学特征.本实验的研究仍然有限，还有诸多问题值得进一步研究，例如为何蜂蜜溶液的斑图会如此整齐等.从图像结果来看，这种整齐程度很有可能跟蜂蜜溶液的非牛顿黏滞特性有关.

6 致谢

感谢参与同一课程的同学们，在与他们的交流中受益良多.本实验受到了实验室前辈相关研究的启发，在此表示感谢.