培养深度思维 落实核心素养

程伟

摘要：新高考中文理合卷且数学思维要求更高，文科学生面临更大挑战，转化与化归思想是高考数学中必备的素养，受全国Ⅰ卷（理科）11题以及根据教学实践的启发，给出四点如何在教学中提升文科学生转化与化归思想的实践研究.

关键词：文科生;数学思维提升;转化与化归思想

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2022）03-0029-03

1 问题提出

在最近结束的数学市统测中，有这样的一道题：在平面直角坐标系xoy中，已知圆O：x2+y2=1，直线x-y+m=0m∈R与圆O的两个公共点为A，B，C为圆O上一点，若△ABC为等边三角形，求直线AB的方程.

本题是解答题第20题第1问，共5分，笔者所在四星级学校生源质量还不错，所带的班级是文科最好的班级，但学生得分情况却让人大失所望.

49人班级只有9人满分，37人却0分.

此现象引起作者的思考：新高考数学试题强调开放性，减少机械刷题、死套结论等现象，且文（历史方向）、理（物理方向）共用一张试卷.而文科生本身数学思维相对偏弱且固化，靠刷题时的记忆以及模型的套用来解题，很多数学知识的本质理解不透，且数学学习的兴趣不浓.面对新高考，教学中提升文科生数学思维能力迫在眉睫.

2 教学思考

片段1：推陈出新，感悟转化与化归

平时教学中可以对书本题目或者一些典型练习进行再“加工”.让学生有种耳目一新的“错觉”，既提高了转化与化归的素养，也培养了数学学习的兴趣.让学生感受到数学的魅力和具备不畏难勇于探索的毅力.下面以书本一道经典习题为例：如图1，在半径为R、圆心角为60°的扇形AB弧上取一点P，作扇形的内接长方形PNMQ，使点Q在OA上，点M，N在OB上，求长方形面积的最大值.本题是道经典的三角函数运用辅助角公式求最值问题.连接OP，设∠POB=θ，PN=Rsinθ=QM，在△QOM中，OM=33Rsinθ，所以MN=Rcosθ-33Rsinθ.故长方形面积为：S=RsinθRcosθ-33Rsinθ=33R2sin2θ+π6-36R2，又∵θ∈0，π3，故当θ=π6时，Smax=36R2.

笔者在一次测试中，对此题进行改编：如图2，扇形MON是一个休闲公园的平面示意图，其中扇形半径为10米，∠MON=π3，在休闲公园内规划一个三角形区域花圃ABC，其中顶点B在弧MN上，A，C分别在半径OM，ON上，且AB//ON，AC⊥ON，求△ABC面积的最大值.

学生在分析解决问题时发现此题就是上题的变式，如图3过B作BD⊥ON，垂足为D，连结OB后完全就是课本题，转化与化归思想太重要了.此时又有学生提出：由于AB∥ON，S△ABC=S△ABO，顿时吸引班级学生兴趣，这个转化太有意思了，三角形ABO面积怎么表示呢？讨论很快得出：设∠AOB=θ，在△ABO中由正弦定理可得：

AB=203sinθ，OA=203sinπ3-θ，

又由余弦定理知：OB2=OA2+AB2-2OA·AB·cos∠OAB，∴OA·AB≤1003，

当且仅当OA=AB=103时取等;

∴S△ABC=12OA·AB·sin120°≤12×1003×32=2533（m2）.

无论哪种解法都让学生深刻体会了转化与化归思想的重要性，让学生感受到了数学的魅力，提高了数学学习的兴趣.

片段2：一题多解，探索转化与化归

有些题引入多种解法，可以从不同的角度引导学生分析问题、解决问题.从不同解法探索中体会到转化与化归思想的重要性.以下题为例：在平面直角坐标系xoy中，已知圆O：x2+y2=1，直线x-y+m=0m∈R与圆O的两个公共点为A，B，C为圆O上一点，若直线x-y-3=0上存在点P，且满足AP·BP=0，求m的范围.

学生1：条件AP·BP=0，可以转化为以AB为直径的圆和x-y-3=0有公共点.设A（x1，y1），B（x2，y2）.则以AB为直径的圆为：（x-x1） （x-x2）+（y-y1） （y-y2）=0，联立x2+y2=1，x-y+m=0，2x2+2mx+m2-1=0Δ1≥0，且结合韦达定理可得以

AB为直径的圆的方程为

2x2-23x+m2+3m+2=0，此方程有实数解Δ2≥0-1+32≤m≤1-32.

此方法虽然不难理解，但感觉繁琐，还有其他思路么？

学生2：由于直线AB的斜率确定，则AB的垂直平分线经过圆心O且斜率为-1，直线x-y-3=0与该圆有公共点d≤r，从而可得m的范围.

明显此方法借助直线和圆的几何性质，数形结合，简化了计算.又学生通过转化化归还可以进一步简化计算.

学生3：发现直线x-y+m=0与x-y-3=0平行，AB为直径的圆的圆心到直线x-y-3=0的距离就是这两条平行线之间距离，则d=m+32，又AB为圆O的弦，所以AB2=1-m+322，只需AB2=1-m22≥m+32即可.教学时多角度引导学生探索思考才能把转化與化归的意识渗透到学生脑海中去.

片段3：一题多变，领会转化与化归

例题教学环节，变式训练很重要，不仅能让学生认识清楚问题的本质，也无形中培养了学生转化与化归的能力.下面以一道基本不等式题为例进行说明：

原题：若正数x，y满足：4x+1y=1，求x+y的最小值.

变式1：若正数x，y满足：x+4y-xy=0，求x+y的最小值.

变式2：若正数x，y满足：x+4y-xy=0，求3x+y的最大值.

变式3：若正数x，yy>1满足：4x+1y-1=1，求x+y的最小值.

变式4：若正数x，y满足x+y=2，求1x+1y+1的最小值.

变式5：若正数x，y满足x+y=2，求yx+2y的最小值.

原题让学生体会“1”的代换的思想，变式1条件变形，让学生体会化归到4x+1y=1上;变式2让学生进一步体会到转化与化归的思想：求3x+y的最大值，只需求出x+y的最小值即可.变式3，4让学生体会到通过换元转化后就是“1”的代换的思想.变式5让学生体会到把2等价转化为x+y.“授人以鱼不如授之以渔”由此可见一题多变的方式教学让学生既掌握了处理一类问题的方法更学会了重要的数学思想：转化与化归.

片段4：模型识别，运用转化与化归

高中数学中一些式子的几何意义以及一些定义作为常见模型，教学中必须时刻提醒学生，让学生植根于脑海中.解题时马上就能意识到把式子转换成它的几何意义，这样处理问题才能游刃有余.如：设φ（a，b）=（a-b）2+lna-b242+b24（a>0，b∈R），当a，b变化时，求φ（a，b）的最小值.

仔细观察可以发现函数：φ（a，b）=a-b2+lna-b242+b24，就是平时常见的模型，可以等价转化为点Aa，lna和Bb，b24的距离加上B的纵坐标，而这两个点分别是函数fx=lnx和抛物线x2=4y上的点，且函数式最后加上B的纵坐标又可以转化为抛物线上点到准线距离减去1即BD-1，如图4所示，根据抛物线的定义BD-1又可以转化为BF-1，所以：AB+BC=AB+BD-1=AB+BF-1≥AF-1，且当A，B，F三点共线时取到等号.AF的最小值怎么求呢？此时引导学生又可以转化为以F为圆心作个圆，当圆F：x2+y-12=r2和函数fx=lnx图像相切时最小.切点

A01，0AF≥A0F=2，则φ（a，b）的最小值是2-1.

3 反思总结

新高考更注重对学生的思维能力的考查，而转化与化归思想既能把题中隐含的条件挖掘出来，也能化繁为简，从而时间上也得以保障，应试时也会得心应手.教学中我们更应实施精准教学，不断提升文科学生的转化与化归的能力，培养文科生多思少算的思维意识.

參考文献：

[1]张伟.对化归思想的几点思考.中学数学教学参考，2015（21）：48-49..

[2]彭永宁.例析解题教学中转化与化归思想的渗透.数学教学通讯，2020（21）：76-77.

3383500338284