次分数跳-扩散模型下重置期权的保险精算定价

孙明明

（南京财经大学 应用数学学院，江苏 南京 210046）

重置期权是当下金融市场中一种新型的被广泛运用的期权，它要求当股票价格达到某一预先给定的水平时，按照合约规定重新设定敲定价格。重置期权是一种依赖路径的期权，其定价方法有很多，如偏微分方程法、鞅方法、保险精算法等，其中保险精算法应用范围更广，不管市场有无套利，保险精算法都能适用，而且不需要对市场进行一些金融假设。

经典的B-S模型假设标的资产遵循几何布朗运动，而实际金融市场中，股票价格变化具有长相依性、自相似性等分形特征［1］，几何布朗运动不能很好地刻画这些特征。一些学者提出用修正的几何布朗运动来描述股票价格过程，如分数布朗运动［2］，但金融市场中股票价格不总是连续的随机过程，有时会出现“跳跃”现象。一些学者将跳引入到股票价格过程，然而分数布朗运动不是半鞅，直接将它运用到金融市场中会产生套利机会。

双分数布朗运动在一定条件下是半鞅，董莹莹等［3］研究了双分数跳-扩散环境下重置期权的定价问题。而次分数布朗运动比分数布朗运动收敛速度更快［4］，是更为一般的高斯过程，没有平稳增量性，同时具有长相依性、自相似性等特征，使它成为未来期权定价方面的一种重要工具。本文将次分数布朗运动模型引入跳-扩散过程，能更加贴切地描述现实金融市场［5-6］，使得次分数跳-扩散模型下重置期权的定价研究更为科学，可以作为分数跳-扩散模型和双分数跳-扩散模型的一个重要补充。

1 模型介绍

1.1 次分数布朗运动

定义1对任意的s、t≥0（s、t表示时间），次分数布朗运动{BH(t)}是一个Hurst 指数H ∈(0，1)的连续高斯过程，期望为E[BH(t)]= 0，协方差为

次分数布朗运动{BH(t)}具有以下性质：

（2） 次分数布朗运动是自相似的；

次分数布朗运动具有长相依性、自相似性等特征，不具有平稳增量性。有关次分数布朗运动性质在文献［7］中详细介绍。

1.2 次分数跳-扩散模型

次分数跳-扩散模型是把跳-扩散模型中的几何布朗运动扩展为次分数布朗运动。假设股票的期望收益率和波动率都是常数，标的资产价格过程{S(t)，t ≥0}满足随机微分方程如下：

式中：{BH(t)，0 ≤t ≤T}（T 为股票到期日）为概率空间(Ω，F，P)上的次分数布朗运动；P(t)服从强度为λ 的泊松过程，且BH(t)、P(t)相互独立；u 为股票收益率；λ 为泊松过程P(t)的强度；ϕ 为股票价格跳跃的相对高度；v 为ϕ 的无条件数学期望；σ为股票波动率。

引理1［8］随机微分方程（式（1））的解为：

式中：ϕi表示股票第i 次跳跃的高度，是独立同分布于ϕ 的随机变量，且ln(1 + ϕi)服从N(ln(1 +的方差）。

2 重置期权定价公式

不失一般性，讨论只有一个重置时间的重置期权。假定期权敲定价格为Y，到期日为T，重置时间为T1(0 ≤T1≤T)，则重置执行价格为：

式中：ST1为重置时间为T1时的标的资产价格。

定义2 重置期权在t 时刻的损益函数F（t，T1，T）为：

式中：ST为重置时间为T 时的标的资产价格；I 表示示性函数，上标+表示正部。

引理2［9］用F(t，T，K)表示执行价格为K、到期日为T的欧式看涨期权在时刻t的价格，则次分数跳-扩散环境下欧式期权的保险精算价格为：

其中：

式中：n为股票价格在［0，T1］内的跳跃次数；r表示利率；N(*)为标准正态分布函数。

定理1重置时间为T1的欧式看涨期权在时刻t的保险精算定价FRS（t，T1，T）为：

（1） 当T1≤t ≤T时，FRS(t，T1，T)=F(t，T，Y)I{ST1≥Y}+ F(t，T，ST1)I{ST1

（2） 0 ≤t < T1时，

其中：

式中：m 表示股票价格在T1～T 时间段内的跳跃次数；ρ表示随机变量ξ和η的相关系数。

证明：

（1）当T1≤t ≤T时，根据次分数-跳扩散过程下欧式期权，易得结论。

（2）当0 ≤t < T1时，记

式中：βu为股票期望收益率，这里取βu=u。则根据定义2

记

则ξ服从

η服从

接下来，分别计算I1、I2、I3和I4。

由于

令

则

令

服从N(0,1),

服从N(0,1),

又

则

根据I1、I2、I3、I4，得定理1。

推论1当λ= 0时，可得次分数布朗运动下重置期权定价公式。

推论2 当T1=T时，可得次分数跳-扩散过程下标准欧式看涨期权的保险精算定价（引理4）。