基于图论的无人机传动系统构型设计

王向胜，林文琦，韩璇璇，袁毓雯，宋文锦

基于图论的无人机传动系统构型设计

王向胜，林文琦，韩璇璇，袁毓雯，宋文锦

（西北机电工程研究所，陕西 咸阳 712099）

传动系统作为无人机的核心系统，一定程度上决定了无人机的性能。针对传统传动系统设计效率低下的问题，本文提出基于图论的传动系统构型设计方法。首先，介绍传动系统图论表示、网络流、最小费用网络流等图论相关理论；其次，提出一种针对无人机传动系统的功率流建模方法，建立数字化模型，通过计算机自动化传动比分配，进行功率流分析，得到最优的传动系统构型方案；最后，以单发动机双旋翼传动系统为例，利用本文提出的最小费用网络流分析方法对传动系统进行构型分析，从而检验所提出方法的合理性和采用约束条件的正确性，为后续无人机传动系统的计算机自动化设计建立基础。

传动系统构型；图论；无人机；功率流

无人机因结构紧凑、垂直起降、能在空中悬停、机动性高和野外适应环境能力强等优势，被广泛应用于情报侦察、环境监视、通信中继、电子干扰与对抗等军事和民用方面。传动系统作为无人机的重要组成部件，其性能的优劣在一定程度上决定了飞行器的综合性能。

在传动系统的开发过程中，构型设计是传动系统的初始阶段，其任务是根据设计技术要求设计传动总体方案，并拟定出符合设计要求的初步设计方案；经论证筛选之后进一步确定传动系统结构方案。传动系统构型设计和评估，作为传动系统总体设计的顶层思维和方案设计内容之一，旨在协调功能（运动、动力的传递）和形式（传动件空间结构、传动件空间布局或分布）两者相互影响、相互制约且不可分割的和谐、统一关系。传统的传动系统设计方法存在效率缓慢、费时费力、易被人为干扰等问题。

随着计算机技术的发展，为避免人为因素对传动方案选择造成的局限性，构型的计算机自动生成技术得到越来越多关注。E. Pennestri等[1]对差动轮系进行基于图论的功率流和静力学分析。姜景明[2]等以航空发动机附件平行轴传动系统为研究对象，运用图论理论建立系统传动模型，以自定义比例疏远度函数值为权值，进行系统构型生成、分析和优化。刘振涛等[3]以拓扑图论为分析工具，采用分层图论模型，根据完全图理论对EVT（Electronic Variable Transmission，电控无级变速器）行星齿轮传动系统建模，进行了基于能量流的全局最优化、EVT传动方案性能仿真和分析。李剑锋等[4]基于螺旋理论和图论提出了正方形单元机构瞬时自由度计算公式，验证了模型的正确性并解决了机构运动中自由度变化的问题。唐岁迎等[5]基于图论法针对直升机传动系统进行方案穷举和筛选实现了传动系统原理方案的自动生成。

旋翼无人机传动系统较传统航空器来说，向多发动机多旋翼方向发展，在传动系统构型的生成过程中传动级数不易过多，但可行的传动系统方案集较大。借助图论技术自动生成构型方案时，需要引入更多的约束条件、更加有效的评判标准。

1 传动系统图论

1.1 传动系统图论表示

图论是研究集合元素之间二元关系的学科的一个分支，图论研究这些拓扑的结构特性。图论中的图是客观事物之间联系的数学抽象，这种图由顶点集和相应边集构成。顶点代表事物，顶点之间的连线称为边，代表事物之间的联系。图的分析与研究过程中要对图进行优化管理，基于流分析其基本问题包括最小费用最大流问题、最短路问题、最大容量路问题、最大流问题、最大利润流问题、最小饱和流问题等。传动构件的一种图论表示方法如图1所示。

图1 构件设计图论模型图

1.2 网络流

将传动系统用顶点与连线进行简化，以矩阵()表示其顶点集，以矩阵()表示其边集，以矩阵()表示其关联矩阵，以矩阵()表示其邻接矩阵，假设存在一个连通无环弧的有向图，其满足：

（1）顶点子集称为发点集或源点集，其中每个顶点的入度都为0；

（2）顶点子集与不相交，其中每个顶点的出度都为0；

（3）每条弧都有一个非负的权值称为弧的容量。

则可将其定义为一个网络(,)，其由源点、汇点、中转点组成，每条弧上都有传输能力的限制。

1.3 最小费用网络流模型

对网络(,)，其非线性最小费用网络流问题可表达为：

满足：

式中：为网络中节点和弧的集合；为可微的费用函数；为网络的发点；为网络的收点；a为以、为端点的弧，其方向由指向；为网络的可行流集合；e为弧a上的流；为网络源点的净输出量。

2 无人机传动系统功率流建模

无人机飞行器传动系统是一个多输入多输出系统，某型飞行器传动系统图论模型如图2所示。传动系统中功率分流时，每条支路的流量占比与传动比的分配无关，只与输出负载有关。然而传动比会影响功率流质量花费函数的计算，因此首先应基于熵权理论优化配比模型的传动比分配方法[6]，对网络中的边进行传动比分配，从而把传动系统构型问题转化为网络上流的花费问题，如图3所示。

图2 传动系统网络流模型示意图

图3 网络流模型中的传动比分配

将传动系统构型问题转化为非线性最小费用网络流问题[7-8]时，给出如下定理，作为非线性网络流的最优性定理：

满足：

式中：A为给定网络中弧的集合；r为流经弧a上的费用；e为弧a上的流。

在网络中寻找一条费用最大的减广路径，即正向弧流量减少、负向弧流量增加，沿此路径使发点的净输出量减小，数学描述为[9]：

满足：

式中：e为从节点到节点的弧a上的流量增量；为网络发点；为网络收点；为发点净输出量的变化值。

在网络中寻找一条费用最小的增广路径，即正向弧流量增加、负向弧流量减少，沿此路径使发点的净输出量增加，数学描述为：

满足：

2.1 无人机传动系统设计

传动系统的设计与计算过程中，功率作为网络中的流动变量，满足网络中流的属性，对功率流的分析也是传动系统构型设计中的必经步骤。功率是各传动单元设计的依据，因此可以将功率流作为传动系统构型设计时的主要设计参数。通过建立各个传动构件及传动轴的质量与功率流之间的函数关系，可以对整个传动系统进行基于质量花费的功率流分析。质量与功率流之间的关系是非线性的，因此可以归类为非线性最小费用网络流问题。

对于非线性问题，求解时需反复迭代。各传动单元的类型、所使用的材料等都会影响功率与质量间的关系，且同一构件、相同传动比下质量也会是功率的非线性函数。因此需要大量经验设计数据作为二者间关系求解的支撑。当二者间的非线性关系相当复杂时，也可根据实际情况设置一定的权值作为边上的花费。

这里需建立一种网络，它将以多种形式把指定动力装置的能量传递到旋翼部件输出；同时，从构件库中选择满足一定约束条件的构件来实现功能传递的中间环节。具体步骤如下：

（1）从构件库中选择常用的构件，并对构件做基于属性的分类。属性包括传动轴的空间角度改变量、旋转构件旋向、功率容量限制等。

（2）假如传动系统有个发动机、个旋翼，则系统共有条功率传递链路。寻找一组满足约束条件的构件，完成从发动机到旋翼传动功能的实现，此时，传动系统的传动级数为最小传动级数。

（3）对同级的不同路径上的相同构件进行合并，对可以实现相同传动功能的构件进行并联；同时进行构件传动级数的扩展，即用多级传动形式代替一级传动形式，替代过程中必须保证传动功能的一致。

某型无人机从发动机至旋翼之间传动系统的所有部件，系统为单发动机双旋翼输出，发动机最大功率84.5 kW，额定转速2386 r/min，旋翼最大转速596 r/min，旋翼功率60 kW[10]。如图4（a）所示。

按功能传递要求向(,1)、(,2)中添加实现传动功能的构件。经上述分析，选取构件1和构件2，如图4（b）所示。合并图4（b）中的同级相同构件，得到图4（c）。将图4（c）中的两条传动链支路取相同顶点进行合并，得到两级传动系统模型，如图4（d）所示。对两级模型中的构件2，由于是齿轮变角度传动，可以扩展为两级传动，如图4（e）中可以用两级锥齿轮传动代替一级传动。进一步得到单发双旋翼传动系统图论模型，如图4（f）所示。

s为发动机输入轴；t1、t2为旋翼输出轴；b1为构件1；b2为构件2；b1、b2从带传动、锥齿轮、面齿轮和行星齿轮中选取。

2.2 功率流求解

基于最小花费功率流，采取线性加权的方法，对建立的传动系统构型图模型进行求解。

对两级传动系统模型（图4d）进行分析，提取基于最小费用网络流方法的初步信息和计算参数。

首先，作为下一步分析时的区分，对图4（d）的中间层轴段进行标号，将经由构件1、2传递功率到的轴段分别标号为顶点1与顶点2，指代不同轴，如图5所示。

图5 两级传动系统模型标号图

此时提取图论模型特征，可以得到邻接矩阵为：

对两级传动系统模型，手动进行线性规划分析。

设分析步长为1个功率单位，初始条件为：

则系统总花费为：

第1次迭代，即有1单位的功率流向(, 2)，此时：

经多次迭代可以得到：

2.3 结果分析

对该系统功率流链路进行分析，若各边权重为功率值，则其关联矩阵为：

发动机的输入功率值为，旋翼输出功率为1、2，则有：

对于一个固定传动系统构型方案，经上述功率分析，可得传动系统中任意边上的功率值。对所有传动系统构型方案进行功率分析，保留得到的功率值的最大值、最小值在min与max之间的方案，剔除剩余的传动系统构型方案。

2.4 构型方案进一步优化

对生成的传动系统构型方案集进行基于使用需求的初步筛选，需要考虑功能和结构两个方面的约束问题。功能约束有空间角度、传动比、回转构件旋向、质量分布的对称性、传动效率和可靠性等。沿着功率流向，每个构件都会引起功率流向的变化；锥齿轮对总体空间位置改变的贡献是一个角度范围，一般为25°～155°。一些构件安装位置的变动也会产生空间角度的变化，直齿轮对也会因为安装位置不同产生空间角度的变化。当传动系统确定时，可以建立三维坐标系，进行空间角度方面传动系统的评估。每组构件都有一个输入轴和一个输出轴，输入、输出轴线的夹角，以同时垂直于旋翼轴和发动机轴线的向量为法向量，取得平面1，在平面1中取得旋翼轴与发动机轴线投影之间的夹角，作为系统输入参数。

将每个构件视为一个对象，给它定义一个属性值来作为方案筛选时判断的依据。由于一些构件在设计参数未确定的情况下，其轴间夹角是一个范围，可以将最小、最大夹角属性值分别记为min、max。

在传动系统的设计中，传动比设计属于总体设计，相应的传动比为总体约束指标。一个完整的传动系统有多级传动构件，如何合理分配各级传动构件的传动比将直接影响到传动系统的外形尺寸、重量、润滑条件、成本、构件的圆周速度及精度等级。传动比分配原则指出：

（1）分配后各级传动比的承载能力要求近似相等；

（2）在此传动比条件下，传动系统的润滑条件最为便捷；

（3）传动系统总体积与重量最小。

一般的传动比分配方法是选择传动构件传动比的参考范围的中值，或是利用经验公式对各级传动比进行估计与递推，进而通过调整其中某一构件的传动比来满足总的传动比要求。这种方法操作简单，但存在人为主观分配的局限性，因此在传动系统构型设计的过程中通常采用基于Willis重量最小的衍生传动比分配方法和基于熵权理论优化配比模型的分配方法。其中，基于Willis重量最小的衍生传动比分配方法是在保证系统总体积最小的条件下，理论上计算出系统应该具有的传动比的分配方法。

由于基于Willis重量最小的衍生传动比分配方法在设计过程中可能会取到构件常用传动范围之外的值，且该方法只给出了一对传动轴之间构件传动比的计算推导公式，当它扩大到整个传动系统时计算将变得复杂，准确度降低，因此出现了基于熵权理论的传动比分配方法。该方法是建立一个传动比评价指标分级矩阵，根据评价指标的差异来修正各传动比的权值，对传动比参考区间的中值进行加权。评价指标分级矩阵是将各传动构件的参考范围进行分级，分为等差数列作为评价指标分级矩阵的一行。

假设有个构件将其传动比参考范围分为级等差数列，则指标数据矩阵为：

对指标矩阵标准化，得到标准规一矩阵为：

第个构件的第项指标所占的比重为：

从而第项指标的熵值为：

系统的熵权为：

此时，系统传动比分配优化模型为：

式中：为构件传动比参考范围的中值；为引入常量，由总的传动比计算得出。

传动系统构型设计包括设计出系统基本结构尺寸，以满足强度要求。这些强度、性能要求就是系统设计时需要满足的结构尺寸约束。齿轮在设计过程中应采用合理的尺寸，以满足齿根弯曲疲劳强度及齿面接触疲劳强度，并保证齿轮拥有一定的抗点蚀、抗胶合能力。同时，齿轮的支撑跨距和齿宽受到结构布局的约束；齿轮总体结构受传动系统总质量的约束，所采用尺寸尽可能使构件拥有最小质量。本文对质量这一约束做了详细研究，结果表明，该约束能很好地评价得到的方案集的优越性。

3 结论

本文利用最小费用网络流模型对无人机传动系统图论模型进行了分析。得到以下结论：

（1）基于功能导向的传动系统图论模型建立方法可以得到更为全面的传动系统构型初始方案集；

（2）设计过程提取了传统系统功率这一特征，把传动系统看成功率流网络，从流的角度对系统进行分析，进一步进行构型方案的自动生成是可行的；

（3）将传动单元各自的质量作为功率流的指示参数之一进行网络流的分析时，可以作为基础约束条件对生成的构型方案进行初选。

同时，该方法可减少设计过程中的人为干预，有利于突破思维局限，提高设计效率。为传动系统计算机自动生成方案提供理论参考。

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[2]姜景明，王三民，李浩. 航空附件平行轴传动系统方案设计的智能化方法[J]. 机械科学与技术，2018，37（2）：324-328.

[3]刘振涛. EVT混合动力传动系统的图论建模与构型综合设计理论研究[D]. 重庆：重庆大学，2016：16-20.

[4]李剑锋，王三民，智常建. 基于螺旋理论的正方形单元及其组合机构瞬时自由度分析[J]. 西北工业大学学报，2017，35（5）：863-869.

[5]唐岁迎，吴立言，杨小辉. 直升机主减速器传动系统运动方案生成技术研究[J]. 机械传动，2017，41（4）：28-33.

[6]李沛刚. 基于功构模式的产品概念设计理论和方法研究[D]. 济南：山东大学，2010：12-16.

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Configuration Design of Unmanned Rotorcraft Based on Graph Theory

WANG Xiangsheng，LIN Wenqi，HAN Xuanxuan，YUAN Yuwen，SONG Wenjin

( Northwest Institute of Mechanical and Electrical Engineering, Xianyang 712099, China )

The transmission system as the core system of unmanned aerial vehicles, to a certain extent, determines the performance of the aircraft. In order to solve the problem of low efficiency of traditional transmission system design, this paper proposes a transmission system configuration design method based on graph theory. Firstly, the graph theory, including graph-theoretic representation of transmission system, the theory of network flow, and minimum cost network flow, are introduced. Secondly, we propose a method for power flow modeling of unmanned rotorcraft transmission system. A digital model is established through computer automated transmission ratio distribution. Power flow is analyzed and the optimal transmission system configuration scheme is obtained. Finally, taking a single dual-engine rotor drive system as an example, the drive system configuration analysis is carried out by using the proposed method of minimum cost network flow analysis to verify the rationality of the method proposed and the correctness of using constraints. It establishes the foundation for the computer automation design of the subsequent unmanned rotorcraft transmission system.

transmission system configuration；graph theory；unmanned rotorcraft；power flow

TH132

A

10.3969/j.issn.1006-0316.2022.02.003

1006-0316 (2022) 02-0015-07

2021-04-22

王向胜（1992－），男，甘肃会宁人，硕士，主要研究方向为机械动力学、传动构型设计、结构设计分析，E-mail：1421779947@qq.com。