由一道三角形最值问题引发的思考

单文勇

在学习中，我们经常会遇到有关三角形的最值问题.三角形最值问题常与三角函数、平面几何相结合，侧重于考查正余弦定理以及三角函数的定义、性质、图象的应用.本文以2020年全国II卷理科数学第17题为例，谈一谈解答三角形最值问题的思路.

题目：在ΔABC中，sin2 A - sin2 B - sin2 C = sin B sin C. （1）求 A ；（2）若 BC = 3 ，求 ΔABC 周长的最大值.

本题中的第一个问题比较简单，着重考查考生对 正弦定理、余弦定理的综合应用.根据正弦定理及 sin2 A - sin2 B - sin2 C = sin B sin C 可得 b 2 + c 2 - a2 = -bc ， 再根據余弦定理得 cosA = b 2 + c 2 - a2 2bc = - 1 2 .又因为 0 < A < π ，所以 A = 2π 3 .第二个问题侧重考查三角形的 最值（或取值范围）.需灵活运用解三角形、基本不等 式、三角函数、三角形的周长公式等解题.下面重点讨 论一下第二个问题的求解思路.

思路1：利用基本不等式求解

在处理与二元变量有关的最值问题时，通常会想 到基本不等式：若 a > 0，b > 0 ，则 a + b 2 ≥ ab .基本不 等 式 的 常 见 变 形 式 有 ：（1） a + b ≥ 2 ab ；（2） ab ≤（ a + b 2 ） 2 ；（3）a + b + c ≥ 3 abc 3 .运用基本不等式解 题需确保三个条件“一正”“二定”“三相等”同时成立. 对于本题，我们可先根据余弦定理建立三角形三边之 间的关系，再运用基本不等式求得 b + c 的最值，这样 便能根据三角形的周长公式求得三角形周长的最值.

思路2：利用三角函数的有界性求解

在解答三角形最值问题时，我们可利用正余弦定 理将三角形的三边之间的关系转化三角之间的关系，建立关于角的三角函数式，这样便将问题转化为三角 函数最值问题，利用三角函数的有界性即可求得最值.

该解法中运用了正弦定理以及正弦函数的有界 性.将问题转化为求 3 + 2 3sin（B + π 3 ） 的最值，根据角 B的取值范围，便可根据正弦函数的有界性求得三角 形周长的最值.在解题时，需注意挖掘“三角形内角和 为180° ”这一隐含条件.

变式题：在 ΔABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别 为 a，b，c ，若 c = 3 ，C = π 3 ，求 ΔABC 的周长 l 的取值 范围.

解法1主要运用了三角函数的有界性；解法2主 要运用了基本不等式.这两个解法都先灵活运用了正 余弦定理，分别将边化为角、将角化为边，以便运用基 本不等式和三角函数的有界性求得最值.

该解法灵活运用了同名三角函数和差化积公式： sin α + sin β = 2 sin α + β 2 cos α - β 2 以及余弦函数的有界 性.相对于解法1而言，该解法更加简便.

变式题：在 ΔABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别 为 a，b，c ，若 c = 3 ，C = π 3 ，求 ΔABC 的周长 l 的取值 范围.

解法1主要运用了三角函数的有界性；解法2主要运用了基本不等式.这两个解法都先灵活运用了正余弦定理，分别将边化为角、将角化为边，以便运用基本不等式和三角函数的有界性求得最值.

相比较而言，运用基本不等式解答三角形最值问题更加简便一些，解题过程要相对简单一些；运用三角函数的有界性求解，一般运算量较大，且易出错.总之，解答有关三角形的最值（或取值范围）问题需注意两点：（1）灵活运用正余弦定理将边、角互化；（2）关注角的取值范围；（3）关注与三角形相关的隐含性质、定理，为解题创造更多有利条件.

（作者单位：江苏省如皋市第二中学）