由一道两圆公共弦所在直线的方程问题引发的思考

葛彩云

如果两圆相交，那么这两个圆就会有两个交点，这两个交点的连线就称为两圆的公共弦.該弦较为特殊，弦的端点分别在两个圆上，端点的坐标满足两个圆的方程.那么如何求两相交圆公共弦所在直线的方程呢？

下面，我们一起来探究一道题目.

例1.求两个圆 x2+ y2+3x - y =0和3x2+3y2+2x + y =0公共弦所在直线的方程.

仔细研究本题，可以发现，将（1）×3-（2），消去两圆的方程中二次项后的方程为7x -4y =0，该方程即为所求的两圆公共弦所在直线的方程.这是不是一种巧合呢？下面来证明一下此结论的正确性.

结论1：圆 x 2 + y2 + D1x + E1y + F1 = 0 （D1 2 + E1 2 - 4F1 > 0）与圆 x 2 + y2 + D2 x + E2 y + F2 = 0（D2 2 + E2 2 - 4F2 > 0） ， 且 E1 ≠ E2 的公共弦所在直线的方程为 （D1 - D2）x +（E1 - E2）y +（F1 - F2）= 0 .

结论2：若两曲线的二次项系数成比例，则过其交 点的直线方程即为消去二次项后所得的二元一次方 程.

例2.若圆C1：x 2 + y2 - 4x + 6y = 0 与圆C2：x 2 + y2 - 6y = 0 的交点为A、B，求直线AB及其垂直平分线的方程.

利用上述结论1，消去两圆方程中的二次项，即可 得出相交弦所在直线的方程，这样大大简化了运算.

例3.求两圆 x 2 + y2 - 10x - 10y = 0 ，x 2 + y2 + 6x + 2y -40 = 0 的公共弦的长.

解答本题，需先根据结论1，将两圆方程联立，通 过变形将其二次项消去，求得两圆公共弦所在直线的 方程；然后根据圆的性质：弦心距、弦的一半、圆的半 径为直角三角形的三边，利用勾股定理进行求解.

例 4. 如图，过原点作圆 C：（x - 3） 2 +（y + 4） 2 = 1 的 两条切线，求过两切点的直线方程.

通过构造一个圆，将过两切点的直线问题转化为 求过两圆的交点的直线方程，即两圆公共弦所在直线 的方程问题来求解，那么解题过程就会变得十分简洁.

“题海”训练是一种低层次的学习方式，而跳出 “题海”最有效的办法，是探究一些典型、常见题目的 通性通法，总结解题的规律.这就要在面对每一道数学 问题时，不仅仅停留在解题的层面上，要对其进行更 深入的研究，在不断的探究中积累解题经验，提高解 题的能力.（作者单位：江苏省盐城市大冈中学）