含时硬币算符作用下量子行走的传输和纠缠特性

贾雅利，李志坚

（山西大学 理论物理研究所，山西 太原 030006）

0 引言

量子行走是经典随机行走概念在量子力学中的推广，最初由Aharonov等人提出［1］。与经典随机行走不同，量子行走以一定的概率幅在不同的传播方向上相干叠加，表现出许多独特的量子行为。在离散量子行走中，行走者的动力学行为由演化算符决定，演化算符的作用就是先用硬币算符进行硬币旋转，再用条件平移算符实现粒子移动，移动方向由称为硬币态的内部态来控制。当行走者从一个位置开始随时间演化时，经典随机行走表现出概率分布呈高斯分布的扩散行为，而量子行走由于不同路径上概率幅的相互干涉表现出位置标准偏差正比于时间的弹道传输行为。鉴于这种不同的传输行为，量子行走相比于经典随机行走具有许多不同且优势明显的动力学性质，利用量子行走模拟一些复杂的量子系统并基于这些优势性质加以应用是当前研究的重要内容，比如量子行走在位置空间中的传播速度优于经典行走，由此量子行走成为许多高效量子算法的强大工具［2］。量子行走有连续时间量子行走和离散时间量子行走两种类型，它们被证明都可以用来实现普适的量子算法，也就是说通过量子行走可以有效地完成任何量子计算任务［3］。此外，量子行走还被用来模拟各种系统的量子特性，包括探索系统的拓扑特性［4-5］，设计和制备一些特殊的量子态［6-7］，以及模拟人工光合物质的能量传递［8］等等。目前人们已经在超冷原子系统［9］，光学系统［10］，离子阱［11］，玻色-爱因斯坦凝聚体［12］和核磁共振［13］系统中实现了量子行走并进行各种模拟操作。

纠缠是量子系统特有的特性，在经典系统中没有对应［14］。作为量子资源，量子纠缠在超密集编码［15］，密码学［16］和算法构造［17］等量子信息处理和应用中起着至关重要的作用，因此，产生量子纠缠并加以应用，是量子信息和量子计算中的关键一环。由于离散时间量子行走中本身存在位置自由度和硬币自由度，而且通过量子行走的动力学演化过程可以实现许多量子算法，利用和控制量子行走中的位置自由度和硬币自由度之间的纠缠也是人们研究的热点问题。

近年来，人们已经研究了许多不同构型的量子行走，包括具有多个硬币的量子行走［18］、不同硬币算符按一定顺序交替操作的量子行走［19］、二维或多维量子行走［20］、多粒子量子行走［21］以及无序和退相干量子行走等等。这些量子行走都有各自不同的传输和纠缠特性，表现出许多新的物理现象。我们现在考虑依赖于演化步数的含时硬币算符作用下的量子行走，该形式的量子行走对量子操控以及模拟更复杂的物理系统具有重要的意义。在本文中，分别研究单个含时硬币算符和两个含时硬币算符直积作用下一维离散时间量子行走的传输特性和纠缠特性。

1 单个含时硬币算符作用下的量子行走

1.1 单个含时硬币算符作用下量子行走的传输特性

一般地，硬币算符的形式为C=Ix⊗R(θ)，其中Ix是位置空间的单位算符，R(θ)为对硬币态的操作算符。我们选取R(θ)的形式为

其中只包含对硬币旋转的一个旋转角参数θ，本文考虑含时硬币操作，令参数θ=θ0t，也就是硬币算符依赖于演化步数t。单步量子行走的演化为

当（2）式中的硬币参数θ=θ0t与演化步数有关时，称U为含时硬币算符操控下的量子行走（SDQW）；当θ=θ0而与演化步数有关时，称U为不含时硬币算符操控下的量子行走（SIQW）。t步后的量子态一般地可表示为

行走者在位置空间的概率分布相应为

为了描述行走者的扩展特性，引入位置标准偏差，其定义为

为了更好理解含时硬币算符对量子行走演化过程的影响，我们讨论不同旋转参数θ0下的SDQW概率分布特性，并将其与SIQW的行为相比较。选取量子行走的初态为

图1 在不同旋转角度θ下，SDQW（红色实线）和SIQW(蓝色虚线)演化50步后在位置空间中的概率分布图,（a）θ0=π/2,（b）θ0=π/3,（c）θ0=π/4,（d）θ0=π/12Fig.1 Probability distribution of SDQW（red solid line）and SIQW（blue dashed line）after 50 steps by using different rotation angles，（a）θ0=π/2,（b）θ0=π/3,（c）θ0=π/4,（d）θ0=π/12

图2（a-d）分别给出当θ0=π/2、π/3、π/4 和π/12时，量子行走位置标准差随演化步数的变化图，其中红色实线和蓝色虚线分别对应SDQW和SIQW的情形。如图2（a）显示，当θ0=π/2时，不管演化步数是多少，SDQW和SIQW的标准差都为0，量子行走没有扩散行为。在图2（b）中，SDQW和SIQW的标准差都随演化时间的增加呈现线性增长的行为，显示出了量子弹道传输特性，而且比较两条曲线的斜率，说明SDQW比SIQW具有较快的传播速度。当θ0=π/4和π/12时，图2（c）和图2（d）中的位置标准偏差具有相同的变化特征，SIQW仍然具有量子弹道传输行为，而SDQW则呈现出近似的局域化特征，行走者在位置空间中展宽的范围很小，而且呈现周期性的展宽和聚束变化。

图2 在不同旋转角度θ下，SDQW（红色实线）和SIQW（蓝色虚线）标准差随演化步数的变化图。（a）θ0=π/2,（b）θ0=π/3,（c）θ0=π/4,（d）θ0=π/12Fig.2 Standard deviation as a function of time for SDQW（red solid line）and SIQW（blue dashed line）with different rotation angles，（a）θ0=π/2,（b）θ0=π/3,（c）θ0=π/4,（d）θ0=π/12

由上可见，硬币参数θ0随演化步数的变化会对量子行走的传输特性产生重要影响，在不同的旋转角参数θ0下，SDQW的概率分布不仅可以出现弹道传输特性，而且可以出现局域化特性，对操控量子行走进行模拟量子系统的动力学演化具有重要意义。

1.2 单个含时硬币算符作用下量子行走的纠缠特性

或

其中λi是约化密度矩阵ρC(t)的特征值。

选取方程（7）为量子行走的初态，在不同的旋转角参数θ0=π/3、π/4 和 π/12下，图2（ac），给出SDQW（红色实线）和SIQW（蓝色虚线）的冯诺依曼熵随演化步变化的图。因为在θ0=π/2时，SDQW和SIQW的概率分布都是完全局域化，相应的位置自由度和硬币自由度之间熵的值为0，所以就不再分析θ0=π/2的纠缠的情况了。在SIQW的情况下，熵随着演化步数的增加而增加，经过较短时间后，熵的值会在一个常数值附近振荡，而且量子纠缠的行为与θ0的取值无关。而对于SDQW情况，熵的行为依赖于θ0的取值。在θ0=π/3的情况下，SDQW的熵的行为和SIQW的情况很相似，都是随着步数的增加而增加，而且在较短时间后，熵的值在一个常数值附近振荡，振荡的幅度要比SIQW的大一些如图3（a）所示。图3（b）是θ0=π/4的情况，我们看到熵有一个周期性的行为，也就是说可以有规律地找到重复的熵值，而且熵的值最小为0。这是因为该情况下的概率分布呈现一个周期性的局域化行为，局域化发生在熵为零的地方。在θ0=π/12的情况下，同样可以看到熵有一个周期性的行为，熵的最小值也是0如图3（c）所示。但是和θ0=π/4的情况不同的是，在熵最大值的附近有一个振荡的存在。

图3 选取不同的旋转角度θ，SDQW（红色实线）和SIQW（蓝色虚线）硬币自由度和位置自由度之间的纠缠随演化步数的变化，（a）θ0=π/3，（b）θ0=π/4，（c）θ0=π/12Fig.3 Variations of entanglement with time steps are plotted for SDQW（red solid line）and SIQW（blue dashed line）for differ⁃ent rotation angles，（a）θ0= π/3，（b）θ0= π/4，（c）θ0=π/12

2 两个含时硬币算符直积作用下的量子行走

2.1 两个含时硬币算符直积作用下的量子行走的传输特性

本节把一个含时硬币算符作用下的量子行走推广到两个含时硬币算符直积作用下的量子行走，考虑行走者具有四个内部硬币态

研究它的传输特性。硬币空间HC由四个内部硬币态张开，相应的硬币算符R′是由两个单个含时硬币算符的直积给出，也就是有

我们选取 R1=R2=R(θ)，则 R′的矩阵形式为：

在四维硬币算符下，相应的条件平移算符定义为

在每一步演化中，根据步行者的内部状态，步行者可以向右、向左移动或不移动。单步演化算符U′=S′C′，t步演化后，行走者的状态为

相应地，在位置x处的概率为类似地，位置标准差仍由方程（6）给出。

在本节的研究中，我们考虑两种形式的初态，它们分别为

图4 自初态开始，使用不同的旋转角度概率密度作为演化步数和位置的函数的图（，a）θ0=π/2（,b）θ0=π/3（,c）θ0=π/4（，d）θ0=π/5Fig.4 From the initial state ，probability density as a function of evolutionary steps and position under different rota⁃tion angles（，a）θ0=π/2（,b）θ0=π/3（,c）θ0=π/4（，d）θ0=π/5

图5 自初态开始，使用不同的旋转角度概率密度作为演化步数和位置的函数的图（，a）θ0=π/2（,b）θ0=π/3（,c）θ0=π/4（，d）θ0=π/5Fig.5 From the initial state ，probability density as a function of evolutionary steps and position under different rota⁃tion angles（，a）θ0=π/2（,b）θ0=π/3（,c）θ0=π/4（，d）θ0=π/5

可以看到初始态的内部态和旋转角度的选择都会影响由两个含时硬币算符直积作用下的量子行走的传输特性，而且通过选择演化的步数可以选择不同概率分布的类型，比如局域的概率分布或者扩散的概率分布。

2.2 两个含时硬币算符直积作用下的量子行走的纠缠特性

我们同样利用方程（9）式，来研究纠缠硬币驱动下且在含时硬币算符控制下的量子行走的硬币自由度和位置自由度之间的纠缠。

图6 自初态开始，在不同的旋转角度θ0下硬币自由度和位置自由度之间的纠缠随演化步数的变化，（a）θ0=π/2，（b）θ0=π/3，（c）θ0=π/4，（d）θ0=π/5Fig.6 From the initial state ，The variations of entanglement with time steps under different rotation angles θ0，（a）θ0=π/2，（b）θ0=π/3，（c）θ0=π/4，（d）θ0=π/5

图7 自初态开始，在不同的旋转角度θ0下硬币自由度和位置自由度之间的纠缠随演化步数的变化，（a）θ0=π/3，（b）θ0=π/4，（c）θ0=π/5Fig.7 From the initial state ，The variations of entanglement with time steps under different rotation angles θ0，（a）θ0=π/3，（b）θ0=π/4，（c）θ0=π/5

3 结论

在一维晶格离散时间量子行走中，我们引入了含时硬币算符，也就是说硬币算符依赖于演化步数，首先研究了单个含时硬币算符作用下的量子行走的传输特性和纠缠特性。发现硬币算符在取不同的旋转参数时，行走者的概率分布是多样化的，有的行走者会完全局域在一个位置上，有的会随着演化步数增加出现周期性局域，也有的会出现通常量子行走的弹道传输现象。行走者位置自由度和硬币自由度的纠缠行为也依赖于旋转参数的选择，不同参数值下，纠缠熵可以随演化步数的增加出现周期行为，也可以在较短时间内增加到最大值附近，并作无规则的微小振荡。接着，我们还研究了两个含时硬币算符直积作用下的一维量子行走的传输特性和纠缠特性，发现初始硬币态和硬币算符旋转参数的选择都会影响行走者的概率分布，可以通过控制演化步数来获得不同特征的概率分布，比如局域在一个格点上、集中分布在初始位置附近的格点上，或扩散到远离初始位置的格点上等等。