求函数值域的几种常规思路

顾清

函数的值域是指函数中因变量的取值范围.因变量的取值范围一般受函数的自变量、解析式的影响，因此求函数值域的关键是明确函数的定义域，研究函数的解析式.本文重点谈一谈求函数值域的三种常规思路.

一、采用判别式法

对于二次函数问题，我们通常采用判别式法求其值域.首先将y视为参数，把函数的解析式变形为关于x的一元二次方程.若二次项的系数为0，需利用一次函数的单调性，根据函数的定义域确定y的取值范围；若二次项的系数不为0，需使一元二次方程的根的判别式？≥0，建立關于y的不等式，解不等式即可求得函数的值域.

运用基本不等式法求得最值后，还需检验两式相等时不等式是否成立.

相比较而言，第一、三种思路的适用范围较窄，第二种思路的适用范围较广.在运用第一、三种思路解题时，也可同时运用第二种思路，即通过数形结合来求得问题的答案，这样可使解题思路变得更加明朗，且使解题变得更加简单.

（作者单位：江苏省靖江市第一高级中学）