构建知识据点 勾勒数学系统

【摘要】數学知识据点是教学中的堡垒，构建合理的数学知识据点，使得数学教学有轮有廓.保持内部结构连贯性的同时，又使得数学系统具有模块性，形成认知的片段性，有力地勾勒出连续与绵长的知识版图.既照顾了数学知识本身的独立性，又关注了数学系统的整体性.

【关键词】知识据点;系统;增长点;策略

构建数学知识的据点，使其成为巩固数学知识的坚定堡垒，使得数学本质内容更容易为学生所理解，数学讲授形式更丰富精彩，教学效果对学生的影响更深刻.

1找准数学知识据点，描绘数学框架系统

数学知识据点是指对某一部分数学知识，进行特定的教学活动，使得学生对这一部分数学知识掌握得更加透彻，把握得更加准确，使用得更加熟悉，使其对整个数学知识系统有着承上启下的作用.数学知识据点一般布控在难点、盲点和生长点上.这三个关键点如同一个铁三角，足以支撑数学教学的整体知识脉络，同时又发挥相互补充、相互促进的重要作用.

1.1将据点建在难点上，化难为易，降低数学系统构建门槛

数学难点是指学生学习过程中的一个短板板块.比如讲授“回归分析的基本思想及其初步应用”时，发现整节教学内容概念很多，且是学生相对不熟悉的领域，学生已经学习了两个变量之间的相关关系，包括画散点图，求回归直线方程，利用回归直线方程进行预报等内容，因此确定教学难点：1.解释残差变量的含义;2.了解偏差平方和分解的思想.教师以难点为据点，分清主次，区别轻重，突出重点，解决难点.教师可以以PowerPoint为操作平台，界面活泼，操作简单，能有效支持多种其它技术，用EXCEL图表展示，直观形象，节约时间，帮助学生顺利完成学习内容.使得学生学习更加轻松，知识更加清晰，为理解以后新知识和掌握新技能提供方便.因为难点具有很多的不确定性，给学生储存的信息造成混乱，学生对于数学知识的理解和掌握，很大程度有赖于学生自身的知识水平、理解能力，以及教师的妥善指导.另外，难与易是相对，只要教师在教学中，了解学生需要，选择问题驱动，善于处理，知识的难易是可以转化的.

1.2将据点建在盲点上，由模糊到清晰，明确了数学系统构建方向

数学知识盲点是学生在学习过程中看不透、想不准、理不清的部分.例如在讲授“回归分析的基本思想及其初步应用”时，学生的盲点在于不知道如何讨论一元线性回归模型，分析模型中产生随机误差项的原因，难以从相关系数的角度研究两个度量间线性相关关系的强弱，更不清楚在什么情况下可以考虑使用线性回归模型.教师应该以点带面，让学生通过实际问题去理解回归分析的必要性，从散点图中点的分布上我们发现直接求回归直线方程存在明显的不足，从中引导学生去发现解决问题的新思路——进行回归分析，进而介绍利用R2来表示解释变量对于预报变量变化的贡献率，从中选择较为合理的回归方程，最后是建立回归模型基本步骤.

1.3将据点建在生长点上，促快促优，激活了数学系统完善的动力.

数学知识生长点是数学引申的源头，同样，在讲授“回归分析的基本思想及其初步应用”时，教师在教学中明确统计思想，函数思想，数形结合的方法是本节的生长点，在教学中适当地增加学生合作与交流的机会，多从实际生活中找出例子，着力利用整体的观点和互相联系的观点来分析问题，以科学的态度评价两个变量的相互关系.

2运用数学据点构建策略，升华数学系统勾勒版图

由学生数学学习的特点，归纳、演绎、类比往往是构建数学据点的快速策略，也是勾勒数学系统的有力手段.

2.1归纳包括纵向归纳和横向归纳，纵横交错，在纵向中深化，在横向中扩展

2.1.1纵向归纳

（1）已知平面上不同两点A（x1，y1），B（x2，y2），求以线段AB为直径的圆的方程.（圆上动点为P，则kPA·kPB=-1）

（2）设A，B是椭圆的左右顶点，P是椭圆上一点，求kPA×kPB=.

（3）设A，B在椭圆上，且关于原点对称，P是椭圆上一点，求kPA×kPB=.

2.1.2横向归纳

（1）已知圆O：x2+y2=1，点P在直线l：x+3y-8=0上，过P作圆的切线PA，PB，切点为A，B，则四边形OAPB面积的最小值是.

两个基本思路：

①P在直线上，设P点的坐标，OP的长可用P点坐标参数表示，由于S四边形OAPB=2S△OAP，再根据二次函数求最值.

②设OP=t，则S可用t表示，只有OP⊥直线l时，t最小.

这两个思路不足以巩固经验思维，比较引入新问题：

（2）求向量PA，PB的数量积的最小值.

数量积变化的根本原因是线段OP长度的变化，设OP=t，∠APO=θ，则tsinθ=1，cos2θ=1-2sin2θ，于是PA·PB=（t2-1）1-2t2=t2+2t2-3≥22-3.这个结论是错误的，原因就是等号不成立，因为问题中的t≥4105，根据函数的单调性知，t=42 瘙 綋 4105，+∞，当且仅当t=4105时，可求最小值.

2.2演绎包括逆向演绎和反思演绎，在逆向中寻找据点，在反思中升华系统

2.2.1逆向演绎

比如：设f（x）=exx+k在区间（2，3）上不单调，求k的范围.

f′（x）=ex（x+k-1）（x+k）2在区间（2，3）上不单调，有两种情况：

在（2，3）上连续，则f（x）=0有根，

即f（2）f（3）<0，得-2

在（2，3）上间断，由x+k=0及2

综上，k∈（-3，-1）.

本题对“不单调”进行演绎分析，挖掘出在（2，3）连续与间断两个关键据点，逆向思考在（2，3）上连续时k的范围，在（2，3）上间断时k的范围，两面开花，从而完整把这道题进行解答.

2.2.2反思演繹

比如：在已知曲线3y=x3+4上，求过点P（2，4）的切线方程.

（1）因为P在曲线上，可求出切线斜率为4，所以切线方程为4x-y-4=0.

（2）先设切点，写出切线方程，将P点带入切线方程，得到切点的横坐标为2或-1，所以切线方程为4x-y-4=0，或x-y+2=0.

而（1）是对题目的表征意义不明确，或是把“过P点的切线”与“过P点处的切线”当成了同一个意思.

2.3类比包括对比表征和比较猜想，在类比中巩固据点，在类比中完善系统

2.3.1对比表征

例如：已知x2+px+1>2x+p，

（1）x∈＼[2，4＼]时，不等式恒成立，求p的取值范围;

（2）|p|≤2时，不等式恒成立，求x的取值范围.

对第一问，常规思路1：函数法，研究函数f（x）>0，借用对称轴进行分类讨论;比较复杂（通法）.

常规思路2：分离变量，因为x>1，所以p>1-x，求其最大值.

启示：图象法，原不等式化为：（x-1）2 >-px+p，作两函数图象，x∈＼[2，4＼]，（x-1）2min=1.

当p>0，得（-px+p）max<1;

当p<0，得（-px+p）max<1;

当p=0，恒成立.

对第二问，常规思路1：函数法，此时，转化后的左边表示一次函数，只需端点的函数值大于0.

常规思路2：分离变量.

启示1：图象法，不等式变为（x-1）p>-（x-1）2.x>1，p>-x+1，只需1-x<-2，所以x>3;x<1，p<1-x，只需1-x>2，所以x<-1.

启示2：讨论，把不等式看成方程，有两个根1，1-p，对根进行比较：

1-p>0，所以x<1或x>（1-p）max=3;

1-p<0，所以x>1或x<（1-p）min=-1;

1-p=0，此时x≠1.取交集：x<-1或x>3.

2.3.2比较猜想

（1）过抛物线焦点的光线通过反射得到平行于对称轴的光线，这条光线实际上是入射点的切线反射出来的，引申到过焦点的直线与抛物线交于A，B两点，过A，B的切线互相垂直.切线交点的轨迹就是抛物线的准线.

（2）猜想椭圆也有这样的性质？反之，过椭圆外一点P引椭圆两条互相垂直的切线，P点的轨迹是一个圆（2014年广东20题）.

（3）猜想双曲线也有这样性质？

3找点建系，找准数学知识据点，描绘数学框架系统

“找据点”需要教学善喻、善导、善联、善点、善讲，“建体系”使得教学更合法、合情、合理、适时.

3.1知识据点注重点与点迁移连接

数学知识通过知识据点连接，由知识点与点迁移，由对照来揭示知识的本质属性和非本质属性之间的关系，从而展示知识的形成过程，促进学生对知识的理解＼[1＼].

例如：（1）已知数列{an}满足a1=1，an+1-an=2，则该数列的通项公式为;

（2）已知数列{an}满足a1=1，an+1=2an，则该数列的通项公式为.

等比数列与等差数列的知识隔阂得以打破.

3.2知识据点注重线性发散递进

通过知识据点教学，变式教学侧重对例题、习题的变形，提高学生自身的基本技能＼[2＼].

例如：如果x>0，求函数f（x）=x+1x的最小值.

递进1：如果x<0，求函数f（x）=x+1x的最值;

递进2：如果x>3，求函数f（x）=x+1x-3的最值;

递进3：如果x>0，求函数f（x）=-x2-2x+3x的最值.

3.3知识据点注重面到体伸展迁移递进

知识据点考虑知识面上的完整性，也要注重知识板块的整体性.例如：“平面内，垂直于同一直线的两条直线是否平行？”

“空间内，垂直于同一直线的两条直线是否仍然平行呢？”

在正、反、侧立体化迁移，纵横知识，以完整打通知识内容联系.

我们在构建知识据点，切实提高学生相应的感性认识，避免教学中已知对新知的负迁移作用压倒了正迁移作用，确定好教学中切合实际的静态和动态重点难点.

参考文献

[1]何正文.基于核心素养的多阶数学思维的培养＼[J＼].中学数学杂志，2019（01）：1416.

[2]何正文.何谓弹性游击教学＼[J＼].课程教学研究，2014，（09）：9394.

作者简介何正文（1988—），男，广东茂名人，广东省肇庆市学科委员会委员，中学一级教师;主要研究课堂教学;发表论文40多篇，主持课题10多项，参与课题20多项.