在深度思维中追寻数学本质

江苏省滨海县东坎街道中心小学 李艾娣

教师要由“知识本位”向“素养本位”转向，促进数学学科思维的培养，让学生通过深度学习去探寻数学规律，形成深度的数学理解，获得有意义的建构。教师要借助挑战性的问题引导学生积极参与，在深度的思考中获得创新的见解。

一、比较：凸显本质，形成深度理解

比较，能借助于相对点与不同点的研究理解知识，分析事物特征，形成有深度的理解。比较，能厘清概念与性质的异同，把握概念间的逻辑关系，能化解难点内容，暴露出错根源，探寻分析错根。教师要借助于知识的比较，加强横向与纵向的联系，能促进学生对本质内容的理解。

1.比较工具，掌握优势。教师要借助于不同数学工具的比较，让学生去发现优势，从而不自觉地探寻其中蕴含的规律。如在学习苏教版五下《圆的认识》一课内容时，教师提出问题：如果让大家画一个圆，你会用怎样的方法去画？学生想到了不同的方法，有的学生想到用瓶盖、硬币、钮扣等圆形的物体去画，有的学生想到借助三角尺中间的圆去画，也有学生想到用圆规画图。教师让学生试着用圆形物体、圆规这些方法画圆，并说说自己的体会。学生通过比较，发现圆形物体画得容易，但只能画出与物体一样大小的圆，圆规画得慢，但可以画出大小不等的圆。

为了让学生发现圆规的特征，教者故意不去讲述圆规的正常使用方法，而为他们留有探索使用圆规的空间。教师呈现标准的圆以及用圆规画出的不规则的圆，让学生分析“病因”，有针尖动了的，有两脚距离发生变化的，有旋转不流畅的……教师顺势引导学生认识圆规的各个部分，让他们掌握画圆的“窍门”，懂得“定点”“定长”这两个关键点。

2.比较方法，多向思维。教师要引领学生立足于不同的视角去分析问题、探寻规律，以不同的方法去分析、归纳，从而获得相同的答案。教师将多种方法加以对比，既能激活学生的思维，也能让学生学会从不同的角度去思考问题、解决问题。

如在学习苏教版五下《圆的面积》一课内容时，为促进学生对“转化”思想的认识，教师引导学生将圆的面积“切割”成等大的小扇形（32 份、64 份……），并将之重组成近似的长方形，这个长方形的长就是圆周长的一半，高就是圆的半径，因而可以自然地推导出圆的面积公式。教师也可以借助于多媒体动画将圆的面积“层层剥离”，从外圈逐步向内层剥起，将之转化为一个底为圆的周长、高为圆的半径的三角形，这样学生也能轻易地推导出圆的面积。教师通过形式化的推导，让学生感受转化的数学思维，也学会从多角度去探寻解决问题的方法。

3.比较主体，明晰特征。传统教学中教师是“主体”，通过教师的讲解，让学生掌握数学规律。教师要让学生成为探求知识的“主体”，弹性设计内容，为他们留有操作验证的空间，通过优化教学活动，促进教学融合。教师要善于让学，让出课堂的“C 位”，让出话语的机会、体验的空间，给他们更大的探索空间，形成自己的独特感悟，从而能探寻出数学知识的本质，形成有深度的理解。

在学习《圆的认识》一课内容时，教师让学生用折、画、量等方式去找到圆片的圆长、最长的线段，并验证圆的直径与半径之间的关系。学生在探索中会发现折痕交叉的点就是圆心、折痕就是直径，并发现圆是轴对称图形，直径有无数条且每条长度都相等，通过测量、对比等方法发现圆的直径是半径的2 倍。双主融合，能为学生搭建探索知识的平台，让学生形成的认识更深刻。

二、整体：纵横联系，建立知识脉络

教师要立足于数学系统化、整体化的视角，对教学内容加以整合，疏通逻辑关系，建立内在联系，优化学生的认知结构，能促进学生对数学思维方法的理解，将数学教学不断引向深入。

1.纵向联系，疏理知识脉络。数学知识结构是呈螺旋上升的，教师要抓住知识的生长与延伸之处，能寻找数学概念的前世今生，建立局部与整体之间的关联，再现知识的发展脉络，能帮助学生获得整体的认知。教师要借助“前知识”学习中积累的经验去探索新知，让学生去运用掌握的方法模型去解决问题，从而能形成整体化的理解。

如在学习苏教版五上《除数是小数的小数除法》一课内容时，教师要立足于学生的认知经验，让学生回顾两、三位数除以一位数，除数是整数的小数除法的计算方法，探索将除数是小数的除法转化为除数是整数的除法，在“转化”思想的运用中掌握计算的方法。教师提出问题：三峡船闸最大的一扇门高38.5 米，宽20.2 米，被称为“天下第一门”，小男孩家的门高是2.2 米，根据上面的信息，你会提出怎样的问题？通过学生探讨交流，他们采用的方法是将米转化为分米，或将除数、被除数都扩大10 倍，在探讨中他们发现被除数与除数的小数点移动的位数要相同，商的小数点要与被除数移动后的小数点对齐。

2.横向关联，建立思维网络。教师加强知识的横向关联，引领学生去分析、比较、概括、类比等活动，能帮助他们获得整体的认知。教师只有联系相关联的内容，处理好知识之间的关联，才能帮助学生建立结构化的知识体系。

如在学习苏教版五下《三角形的面积》一课内容时，教师引领学生回顾“平行四边形面积的推导”，让他们结合“转化”的数学思想将三角形的面积转化为平行四边形的面积。三角形的面积推导也为后面梯形的面积推导做好铺垫。教师让大家猜一猜：能不能将三角形转化为已有的图形来求面积？学生在小组探究中思考：将三角形转化为学过的什么图形？三角形与转化后的图形有什么关系？大家拿出准备好的三种类型的三角形，通过动手拼一拼、摆一摆或剪拼等方式进行探索。学生有了平行四边形面积公式的支撑，必然会想到将三角形转化为平行四边形进行探究，从而能找到新旧知识之间的联系，让旧知识成为新知识的铺垫。

学生要建构知识之间的联系，能从整体关联的角度将相关的知识点串连起来，能将零散、碎片的知识由点及面地联系起来，形成一个纵横交错、立体化的知识“网络”，能促进学生对所学知识点的系统理解。

3.融会贯通，拓展认知路径。教师要立足于学生的已有经验，通过有层次、递进性的探索，促进他们对知识的理解内化。教师要对所学问题进行合理改变，如由长方体的表面积问题迁移到计算“制作无盖鱼缸所用的玻璃”问题，以实现知识的正向迁移，实现知识的融会贯通，能丰富他们的知识经验，完善他们的认知结构。

教师要不满足于结论的探寻，为学生留有思维拓展的空间，能加深对所学内容的理解，使他们的思维向纵深处延伸。如在学习《圆的认识》一课内容后，教师提出诸如“轮胎为什么设计成圆形的，而不是方形的？”“井盖为什么是圆的？”学生通过查阅资料等方式，经历探索、理解、应用的过程，能加深他们对圆的理解。教师让学生剪下一个圆，折一折、画一画，看谁在自己的圆中画的半径最多？并追问：还能继续画吗？能画得完吗？这说明了什么？学生通过积极的探索，能说出“半径有无数条”的结论。教师让学生用刻度尺量一量这些半径，看看有什么发现？学生发现半径都相等。教师追问学生：你们手上的圆的半径与老师黑板上圆的半径相等吗？什么情况下半径的长度才相等？在同一圆内有多少条直径？这些直径相等吗？教师以问题导学，让他们探寻圆的内在规律，能准确地把握圆的特征。

三、类推：触类旁通，孕育创新思维

类推，是从两个对象部分属性相同，推出其他属性亦相同，这是一种从特殊到特殊的推理，能使学生的思维实现“从0到1”质的突破。类推，在猜想、判断、验证等活动中建构知识间的关联，将新的知识、新的方法纳入到知识体系中。类推，能打破思维定式，让学生经历由此及彼的发现，提升学生触类旁通的能力。

1.探寻对象，借猜想促顿悟。学生面对超出旧知范围的内容进行思考、猜想，能产生全新的思考。教师要引导学生去寻找与探索对象相关的类比对象，让他们去猜想、验证，能从不同的视角去解决问题。

如在学习苏教版四下《乘法分配律》一课内容时，教师提出问题：公园里共种植芍药 12 排，牡丹 8 排，每排 9 棵，芍药和牡丹一共有多少棵？学生找到了两种方法解决问题：一种方法是，先求出芍药与牡丹一共种了多少排，再求出共有多少棵，即（12+8）×9=180（棵）；另一种方法是，分别求出芍药与牡丹各种了多少棵，即12×9+8×9=180（棵）。学生通过结果的对比，发现虽然算法不同，但结果是一样的。教师引导他们联系前面所学的运算律，会产生怎样的猜想？学生将交换律与结合律放一起类比，从而对“乘法分配率”产生猜想。

2.大胆探索，借验证促提升。类推能促进学生创造思维的发展，但很多类推未能获得严密的论证，有些是片面的、不严谨的，教师要引导他们去验证自己的猜想，使自己的思维变得更加严谨。教师要教会学生验证的方法，可以通过举例来验证，也可以通过画图来验证，学生通过分工协作，以不同的方法验证自己的猜想，从而能促进学生思维品质的提升。

在学习苏教版四下《三角形的内角和》一课内容时，教师让学生量一量自己的三角板各个角的度数，并求出三个内角的和，再让他们类比两个特殊的直角三角形，猜想一下不同类型三角形的内角和是多少？为验证他们的猜想，学生使出了“浑身解数”，有的学生通过测量各个角的度数，并求出内角和；有的学生用拼一拼的方式验证，将三个角剪下来，拼在一起，看是不是平角；有的学生通过折一折的方法，先找到两条边的中点，并用线连起来，按这条线折起来，再将另外两个角折起来……教师为学生验证的机会，让他们聚焦问题核心，运用不同的方法验证，从而能促进创造思维品质的培育。

3.多元表征，借关联促发展。学生在类推的过程，能从不同的角度探索，形成了多种验证方法，能打通知识之间的关联，让他们在深度探索中形成自己的理解。教师要引导学生将符号、图形、文字等多种表征方式联系起来，深化学生对所学内容的理解。如在学习“乘法结合律”内容时，教师要类推加法结合律的学习方式，先让学生用文字表述，再以符号简化(ab)c=a(bc)，还可以运用图形表达，不同表征方式彼此联系、相互验证，能促进学生对乘法结合律的理解。

四、批判：质疑问难，精确理解内容

教师要革新传统的教学文化，改变“记忆、模仿、训练”的模式，让探究成为课堂学习的常态。批判不是简单的质疑与否定，而是在探究中对概念、原理的分析与论证，能形成更好的判断与理解。

1.合理质疑，精准把握概念。教师要围绕重点处、疑点处引生质疑，让他们能提供科学的证据、有力的推理对概念进行深度的再思考，从而能更精准地把握概念。如在学习四下《认识三角形》一课内容时，教师让学生依图试说什么叫三角形，当学生说出“由三条线段组成的图形叫三角形 ”时，教师让学生在操作中感悟，并举出反例，从而使自己的表述变得更加严谨。在分类时，教师要追问“是否还有其他情况”，能促进他们对概念内涵的理解以及分类讨论思考的渗透。

2.让导发现，自探数学问题。学生对数学学习充满好奇，教师要以“发问”激发学生的好奇心，引导他们探索在学习中遇到的问题。教师要善于“留白”，为学生留有自主探索数学规律的空间，让他们在自主思考中有所发现、有所感悟。如在学习苏教版二下《直角的初步认识》一课内容时，教师引导学生从实物抽象出直角，并通过直角特征的观察建立表象。教师让学生观察钟面上的时针与分针所形成的角，让他们说说哪个是直角？学生在交流后，借助于三角尺上的直角去比一比，验证自己的判断，并强化了对直角的认识，并发现直角比锐角大、比钝角小。

3.观点交锋，形成深度见解。教师要为学生营造开放的学习氛围，引导学生从不同角度去思考问题，对不同观点进行辩论，为自己的观点寻找证据的支持，修正对方的误解，也要直面错误，对自己的不足进行补充、完善。教师要引导学生敢于质疑、大胆批判，在辨析中形成深度的思考。学生在持有批判精神的同时，也要能理解他人的不同观点，并探寻其中蕴含的数学思想。

总而言之，在小学数学教学中，教师要围绕核心内容，引导学生经历探索过程，形成深度的数学理解，能把握其中的数学规律，感悟蕴含的数学思想。教师要变“教”为“引”，变“授”为“启”，能发掘学生的思维潜能，让他们在体验、感悟中获得有意义的建构。