2021 年高考平面向量问题聚焦

■卢智军

2021年高考对平面向量主要围绕“向量平行或垂直的条件、向量的数量积运算、向量的线性运算、向量加减法的几何意义以及最值”等问题展开，凸显向量“数与形”双重身份求解问题的数学素养。

聚焦1：向量平行与向量的线性运算

聚焦2：向量的模的有关运算

聚焦3：向量的数量积的几何意义

例3（多选题）（2021年新高考全国卷）已知O为坐标原点，点P1（cosα，sinα），P2（cosβ，－sinβ），P3（cos（α＋β），sin（α＋β）），A（1，0），则（ ）。

回味：本题涉及平面向量的数量积及坐标运算，又涉及三角恒等变换，是一道难度适中的好题。

聚焦4：向量的坐标法的应用

解：建立平面直角坐标系xDy（如图1），利用坐标关系进行判断。

图1

回味：借助数量积的坐标运算，探究轨迹方程，凸显向量“数与形”的双重身份。本题主要考查转化能力和计算求解能力。

聚焦5：向量的数量积的最值问题

回味：通过向量的数量积运算，将所求问题转化为解方程或解不等式或求函数值域，这是解决这类问题的常用方法。

聚焦6：向量与不等式的交汇问题

例6（2021年高考浙江卷）已知平面向量a，b，c（c≠0），满足＝2，a·b＝0，（a－b）·c＝0。记向量d在a，b方向上的投影分别为x，y，d－a在c方向上的投影为z，则x2＋y2＋z2的最小值为____。

解：由题意可设a＝（1，0），b＝（0，2），c＝（m，n），则（a－b）·c＝m－2n＝0，即m＝2n。

回味：解答本题的关键是由平面向量的投影转化为x，y，z之间的等量关系，再结合柯西不等式求得最小值。