基本不等式的配凑技巧

朱东海

(云南省蒙自市蒙自第一高级中学 661119)

1 拆项与添项

就是在保证正数和相等的前提下，通过拆项与添项配出定值.

有的时候需要对给出的式子变形后，才能看出怎样配凑.

解析由已知，得

a2+ab+bc+ac=a(a+b)+c(a+b)

=(a+b)(a+c)

所以3a+b+2c=(a+b)+(2a+2c)

当且仅当a+b=2a+2c时等号成立.

2 乘方与开方

对有些无理式问题，可以先化为有理式，然后再配凑.

≤(a+1)+(b+1)+(a+1)+(b+1)

=2(a+b+2)=8，

当且仅当a=b=1时取等号.

3 配系数

配系数的目的是为了配出定值.

4 部分代入法

对某些二元函数的条件最值问题，可以用一个变量来表示另一个变量，代入目标式子，从而变为一个变量的问题.

例5已知x>1，y<0，且3y(1-x)=x+8，求x-3y的最小值.

解析因为3y(1-x)=x+8，

所以x-3y的最小值为8.

5 整体代入

就是把已知的式子或变形后代入目标式子，从而配出定值.

有时候需要先把式子变形后再代入.

解析由a>1,b>0，若a+b=2，得(a-1)+b=1.

所以a+2b=(a+1)+2(b+1)-3

6 整体解出

就是把目标式子看成一个整体，利用基本不等式构造出新的不等式，然后通过解这个不等式求解.

≥k2+6+10.

解得2≤k≤8.

故a+b的取值范围是[2,8].

7 利用等号成立的条件

若不能直接取等号，则可以利用等号成立的条件来拆分式子，满足等号成立.

当且仅当sin2x=1时取等号.

注意两次放缩后必须每一次取等号的条件一样，最后等号才能成立.

8 多次应用基本不等式

有时候需要多次应用基本不等式才能求解.

解析因为a，b都为正实数，