一种非均匀地应力下椭圆井眼套管-水泥环-地层力学特性半解析解

吴烁， 房军， 王宴滨， 翁炜， 贺云超， 张德龙

(1.北京探矿工程研究所， 北京 100083； 2.中国石油大学(北京)石油工程学院， 北京 102249)

油气井固井作业完成后，井筒需经历试油、试气、生产和压裂改造等多个过程，套管时刻处于地应力、作业应力等多载荷共同作用的复杂环境下，容易出现套管变形与破坏等力学问题，井筒完整性失效风险高[1]。为探究套管变形的力学机理，中外专家学者针对套管-水泥环-地层组合体(简称“组合体”)应力分布情况开展了大量研究，比较典型的有：文献[2-5]依据厚壁筒理论采用弹性力学方法建立了非均匀地应力作用下圆形井眼内套管、水泥环应力分布模型，并推导了模型解析解；文献[1，6-7]采用有限元方法研究了圆形井眼内套管、水泥环的应力、应变影响因素；文献[8-10]研究了多层套管组合体在非均匀地应力和均匀内压作用下的应力分布与变化情况。近年来，随着以页岩气为代表的非常规油气资源大规模开发，研究的重点逐渐转向压裂过程中套管应力变化规律与失效机理，郭雪利等[11]推导了温压耦合作用下组合体的应力解析解，研究了压裂施工时水泥环对套管应力的影响；范明涛等[12]、杨广国等[13]采用有限元与实验方法研究了多级压裂过程中水泥环失效演变过程中应力、位移变化情况。

然而，前人对固井后组合体应力分布规律的研究多建立在井眼为圆形基础上，由文献[14-15]可知，多数井眼在钻井过程中都会发生不同程度的井壁失稳形成椭圆形井眼，固井完成后套管受力情况与圆形井眼条件下有所不同。目前针对椭圆形井眼固井后套管应力分布特点的研究较为少见，Firme等[16]、李军等[17]、梅超超[18]通过有限元法研究了井眼椭圆度对套管应力的影响，缺乏深入的理论研究，且并未探究不同椭圆度条件下水泥环力学特性变化引起的套管应力变化规律，对正确认识套损机理，指导固井设计改善套管受力情况提供的帮助有限。有鉴于此，根据弹性力学理论，结合复变函数方法，建立椭圆井眼内套管-水泥环-地层在非均匀地应力与均匀内压力共同作用下的力学模型，推导其半解析解，并探究水泥环的几何、弹性参数对套管受力的影响规律，为钻井液密度选择、固井水泥环性能设计提供参考。

1 椭圆井眼套管-水泥环-地层组合体力学模型

由于固井后，套管与水泥环沿井眼轴线方向的变形受到限制，因此可将组合体简化为平面应变模型，由井壁崩落理论可知最大水平地应力σH的方向应与椭圆短轴方向重合，系统在最大、最小地应力σH、σh与内压pi双重作用下的受力情况如图1所示。根据弹性力学受力变形叠加原理可将系统分为3部分：中心为椭圆孔的无限大地层、水泥环、套管。

图1 套管-水泥环-地层组合体受力情况图

由于井壁为椭圆，导致出现了几何不对称。因此，作用在井壁与套管外壁上的外力除了正压力之外还有剪切力。设作用在椭圆井壁上的正压力及剪切力分别为N2、T2，作用在套管外壁上的正压力及剪切力分别为N1、T1，由参考文献[19]可知，N2、T2和N1、T1是极坐标系中与角度θ有关的函数，在一阶近似的情况下可设

(1)

式(1)中：F0、F1、F2、F3为待求常数。

据此简化得到的组合体受力情况如图2所示。

图2 简化后的力学模型

(2)

2 组合体各部分应力与位移的求解方法

采用复变函数法求解析解的过程是：首先假设应力势函数φ(ζ)、ψ(ζ)；然后将其代入应力边界条件；求出应力势函数后代入化简的古萨公式；分离应力函数的实部和虚部即可求得套管外壁处的应力与位移。

复变函数法的应力边界条件为

(3)

化简的古萨公式为复应力函数φ(ζ)、ψ(ζ)与待求位置所受的径向应力σr、 切向应力σθ、径向位移u、 切向位移v的关系表达式[20]，即

(4)

式(4)中：κ=3-4μ；μ为泊松比；G为切变模量，MPa。

2.1 求解围岩应力与位移

假设应力势函数后代入无穷远处的应力边界条件与井壁处的应力边界条件,求解过程可参考文献[21]，即

(5)

解得的应力势函数为

(6)

代入化简后的古萨公式并分离实部与虚部后即可得到复应力势函数φ(ζ)、ψ(ζ)与应力、位移的关系表达式，进而可由给定的ρ、θ解得对应位置处的应力与位移分量大小。

2.2 求解套管应力与位移

与求解围岩应力方法类似，首先假设应力势函数，然后将其代入应力边界条件与位移单值条件，求出应力势函数后代入化简后的古萨公式即可求得套管外壁处的应力与位移，得到的应力势函数为

(7)

式(7)中：d为套管内径，m。

2.3 求解水泥环应力与位移

在建立水泥环部分的力学模型时，先分别研究仅有外压力和仅有内压力作用下水泥环的受力情况，然后根据弹性力学叠加原理，得到水泥环在内外压共同作用下的合应力与合位移。

2.3.1 只有外压力作用下水泥环的应力与位移

假设应力势函数后代入应力边界条件式(8)

(8)

按照ζ项的次数对比等式左右两侧相应项的系数可得：

ρ=1时，

(9)

ρ=R0时，

(10)

根据式(9)和式(10)可知，α-4～α4、β-4～β4均不为0，其余均为0，共有18个未知数，需18个方程，上面仅有14个方程，因此还需4个方程。将假设的应力势函数代入边界条件式

(11)

可得4个补充方程式

(12)

即可解出α-4～α4、β-4～β4，进而得到应力势函数φ(ζ)、ψ(ζ)，进而求得应力与位移σ′2θ、σ′2r、τ′2ρθ、u′2、v′2。

2.3.2 只有内压力作用下水泥环的应力与位移

推导方法同上，得到的方程组为

(13)

(14)

由式(13)、式(14)可知γ-4～γ4、δ-4～δ4均不为0，其余均为0，共有18个未知数，需18个方程，上面仅有14个方程，剩余的4个补充方程通过边界条件公式得到，即

(15)

(16)

即可解出γ-4～γ4、δ-4～δ4，进而得到应力势函数φ1(ζ)、ψ1(ζ)，进而求得σ″2θ、σ″2r、τ″2ρθ、u″2、v″2，即

(17)

(18)

根据边界处的变形协调方程式(18)可解出F0、F1、F2、F3，进而求得套管-水泥环界面处的应力。

3 套管应力变化规律

以大庆油田葡13区块某井为例，按照本文建立的组合体力学模型编写程序，将组合体各部分弹性参数代入计算，探究椭圆形井眼内套管所受径向应力与Mises应力变化规律，该井主要参数为：井眼直径215.9 mm，最大水平地应力σH=32 MPa；最小水平地应力σh=20 MPa；套管内压Pi=10 MPa；套管外径Do=177.8 mm，壁厚10.36 mm，弹性模量E1=210 GPa，泊松比μ1=0.32；水泥环弹性模量E2=20 GPa，泊松比μ2=0.21，短轴长b即为钻头直径215.9 mm，长轴长a与椭圆度s有关，a=bs；地层岩石弹性模量E3=8 GPa，泊松比μ3=0.27。

3.1 井眼椭圆度影响

保持地层、水泥环、套管各项参数与外加应力不变，仅控制井眼椭圆度在1.0～1.5范围内变化，套管外壁所受径向应力和Mises等效应力如图3所示。由图3可知：

图3 不同椭圆度井眼内套管外壁应力分布情况

(1)非均匀地应力作用下的椭圆井眼内，套管外壁所受应力呈现非均匀性，套管外壁所受的最大径向应力和最大等效应力均与最小地应力σh方向一致，最小径向应力和最小等效应力均与最大地应力σH方向一致。

(2)随着井眼椭圆度的增加，套管受到的最大应力逐渐减小，井眼椭圆度由1.0增大到1.5时，径向应力由44.37 MPa降低至37.96 MPa，等效应力由87.66 MPa降低至75.02 MPa；最小应力逐渐增大，径向应力由23.68 MPa增大到28.86 MPa，等效应力由55.57 MPa增大到66.98 MPa；受力的非均匀程度逐渐降低，径向应力非均匀系数[9]由1.87降低至1.31，等效应力非均匀系数由1.58降低至1.12，套管的受力情况有所改善。

3.2 水泥环弹性模量影响

保持地层、套管各项参数与外加应力不变，当水泥环弹性模量由10 GPa增大到40 GPa时，不同椭圆度井眼内套管外壁所受的最大径向应力和最大Mises应力如图4所示。由图4可知：

图4 不同水泥环弹性模量条件下套管外壁最大应力变化情况

(1)井眼椭圆度不变时，随着水泥环弹性模量的增加，套管所受最大应力先增大后减小，E2≈20 GPa时，套管外壁所受应力最大。

(2)随着井眼椭圆度增大，套管外壁应力随水泥环弹性模量变化产生的波动逐渐减小，当s=1.1时，E2由20 GPa增大至40 GPa，套管外壁径向应力降低了1.45 MPa；s=1.5时,E2由20 GPa增大至40 GPa，套管外壁径向应力降低了0.43 MPa。

(3)E2小于20 GPa时水泥环弹性模量对套管外壁应力影响高于E2大于20 GPa时的影响。以套管外壁径向应力为例，当s=1.2时，E2由15 GPa增大至20 GPa，套管外壁径向应力由40.3 MPa增大至41.26 MPa,变化了0.96 MPa；E2由20 GPa增大至25 GPa时，径向应力由41.26 MPa降低为41.01 MPa，变化了0.25 MPa，小于0.96 MPa。由于实际固井时所采用的水泥环弹性模量不高，约为10 GPa左右，在固井前可考虑降低水泥环弹性模量，增加水泥环韧性以降低套管受力，延长套管寿命。

3.3 水泥环泊松比影响

水泥环泊松比由0.12增大至0.33时，不同椭圆度井眼内套管外壁所受的最大径向应力和最大Mises应力如图5所示。由图5可知：

图5 不同水泥环泊松比条件下套管外壁最大应力变化情况

(1)井眼椭圆度不变时，随着水泥环泊松比的增加，套管外壁应力最大值平稳下降，提高水泥环泊松比有助于降低套管最大应力，但是泊松比造成的影响较小。以s=1.3为例，水泥环泊松比由0.12增大至0.33时，套管最大径向应力由40.27 MPa降低至40.14 MPa，降低了0.13 MPa，应力变化率仅为0.32%；最大Mises应力由80.48 MPa降低至79.94 MPa，降低了0.54 MPa，应力变化率仅为0.67%。

4 结论

(1)结合了弹性力学与复变函数方法，建立了非均匀地应力作用下椭圆形井眼固井后套管-水泥环-地层组合体的力学模型，并得到了其位移、应力场的半解析解。

(2)椭圆形井眼套管外壁最大应力与最小地应力方向一致，最小应力与最大地应力方向一致。井眼椭圆度与水泥环弹性模量对套管受力均有一定程度的影响，水泥环泊松比对套管受力影响效果不明显。随着井眼椭圆度的增大，套管最大应力与受力非均匀程度均有所下降；随着水泥环弹性模量的增大，套管最大应力先增大后减小；随着水泥环泊松比的增大，套管最大应力微微减小；优选高泊松比、低弹性模量水泥环有利于减小套管受力。

(3)非均匀地应力作用下的直井段钻井过程中，在保证钻井安全与固井质量的前提下可不过分追求井眼圆整性，在合理范围内适当降低钻井液密度，释放部分地应力，允许一定程度的井壁失稳，以便利用近平衡或欠平衡状态提高机械钻速，降低钻井液对地层的污染，同时利用井壁失稳后形成的椭圆形井眼改善固井后套管的受力情况，保障井筒安全。