基于粘弹性人工边界的掉层结构地震响应分析

舒丞 吴永红 杜孟翔

(昆明理工大学建筑工程学院 昆明 650500)

0 引言

近年来，随着城市化进程不断的加快，而我国以山地和丘陵地形为主的中西部地区平地资源非常有限，为了满足社会发展的需要，扩展山地建筑的趋势已然势不可挡。由于山地建筑结构受力、变形特点、动力响应等方面具特殊性[1]，在进行山地建筑结构的地震响应分析需要充分考虑山地地形陡坎所带来的地震动的影响，在结构底部的地震动输入不再准确，必须计入山地土体与结构的相互作用的影响[2]。而在对山地土体-结构相互作用体系进行动力分析时，半无限地基土体的模拟与地震动输入是不可避免的两大问题，二者都将直接影响到分析结果。

地基是一个半无限空间介质，分析区域是无限大的。而无限区域难以在模拟中实现，故需要从半无限介质中截取出有限的计算区域，将无限区域化为有限区域。在计算区域输入地震波后，波不会向远域地基逸散，而会在边界面处发生反射，使整个模型产生新的地震响应[3]。目前有两种方法可以较好解决波在边界上发生反射的问题：一是设置动力人工边界，保证地震波传至人工边界时被吸收而非发生反射；二是将整个地基模型设置得足够大，使得波因土体自身的阻尼到边界时被大部分消耗，或是使反射波在所取计算时间内无法反射到达计算区域从而确保了计算的准确性，由于随着模型区域的变大，对计算机硬件要求也随着变高，计算分析的时间将大大加长，甚至无法完成计算，所以第二种方法很少应用于模型的计算分析，而是用于验证人工边界准确性的参考模型。现阶段常用的人工边界有粘性边界、粘弹性边界、投射边界、旁轴近似边界，其中粘弹性人工边界不仅克服了粘性边界低频失稳且不能模拟远域地基的弹性恢复性能的问题[4]，而且在各种大型通用有限元软件中已初步实现，在土-结相互作用数值模拟分析中得到了广泛的应用。

本文基于大型有限元软件Abaqus，编写粘弹性人工边界的施加程序并通过算例对比验证了边界与地震动输入的准确性。然后采用基于粘弹性人工边界的有限元模型对山地地形掉层框架进行地震响应分析，得出山地陡坎地震响应差的变化规律。

1 粘弹性人工边界理论

粘弹性人工边界的本质是在介质边界截断处设置连续分布的弹簧并联阻尼器的系统，它既能吸收反射波的能量，又能模拟半无限介质的弹性恢复能力，而且还克服了粘性边界低频失稳的问题。弹簧刚度K与阻尼系数C由介质的材料所决定，计算公式如下：

切向人工边界：

(1)

法向人工边界：

(2)

其中式(1)、式(2)中αT、αN为粘弹性边界的切向修正系数和法向修正系数，其取值参考刘晶波等[5-6]的研究，见表1；G为介质的剪切模量；R为地震波源至相应人工边界节点的距离；ρ为介质的密度；CS与CP分别为介质的剪切波波速与压缩波波速，可由下列公式计算得出：

表1 修正系数ɑN 与ɑT的取值

(3)

(4)

(5)

通过式(1)—式(5)计算出KBN、CBN、KBT、CBT后，在对应的边界节点处施加法向弹簧-阻尼器单元与切向弹簧-阻尼器单元即可完成粘弹性边界的施加。然而在实际的工程分析中，计算模型的边界节点数量庞大，通过逐点添加弹簧与阻尼器单元的边界施加方式效率十分低下，模型的前处理工作将耗费大量时间，所以本文基于粘弹性人工边界理论，编制了可以实现粘弹性人工边界自动批量施加的Matlab程序。

2 粘弹性人工边界的施加与地震动输入

2.1 等效节点力计算

图1为粘弹性边界所在的人工边界节点的示意图，弹簧与阻尼器一端与人工边界节点连接，另一端固定。尽管粘弹性边界能够很好的模拟无限地基的阻尼辐射作用，保证了在土体模型计算区域内的反射波和散射波在边界上不发生反射，但是在设置粘弹性人工边界后，加速度形式的地震动输入不再适用于外源波动问题，需要将地震波转化为等效荷载，并以集中力的形式施加在边界节点上来实现地震动输入。何健涛等[7]通过弹性力学与波动理论，把自由场的应力求解化解为了自由场的速度求解，得出作用在人工边界上的等效集中力为：

图1 粘弹性边界示意

(6)

(7)

将式(7)代入线弹性应力-应变关系得：

(8)

2.2 粘弹性边界波动输入及其准确性验证

图2给出了程序流程，基于式(1)—式(8)使用Matlab计算出各个边界节点的相关参数并编写了弹簧-阻尼器单元与等效节点力自动施加的程序，生成的程序符合Abaqus软件inp计算文件的格式，程序通过写入*Spring/Dashpots字符来输入弹簧-阻尼器，写入*Load与*Amplitude关键字来实现等效节点力的输入，最后将相应的inp文件导入Abaqus从而实现对模型的粘弹性人工边界的施加与等效节点力的地震波输入。

图2 程序流程

上述程序计算可方便、有效的完成模型各个节点弹簧-阻尼器以及等效节点力的输入，从而完成粘弹性边界的施加与地震动输入。下面将通过一数值算例验证粘弹性单元及波动输入的准确性：

算例模型如图3所示，计算区域大小为400 m×400 m×600 m，网格大小△x=20 m介质的弹性模量E=3.23 MPa，泊松比为v=0.3，剪切波波速与压缩波波速通过式(3)—式(5)可得到CS=803.74 m/s，CP=1 392.01 m/s，介质密度ρ=2 000 kg/m3，模型设置A、B两个参考点，分别位于模型底面中心与顶面中心，从模型底部分别入射S波与P波，位移方程均为：

图3 算例模型

(9)

采用Abaqus对其进行动力时程分析，时间间隔△t=0.01 s，总计算时间取3 s。图4—图5给出了参考点A与参考点B在S波入射时的x向位移响应与P波入射时z向位移响应，由两个参考点的位移时程曲线可以看出：由模型底部入射的S波首先在参考点A产生位移响应，随后经0.746 s(600/CS=0.746)后达到参考点B，且此时参考点B入射波与反射波叠加，位移响应为A点的2倍，在经模型顶部自由表面反射后，在1.493 s(1200/CS=1.493)时再次到达模型底部A点产生位移响应，最后S波完全穿过模型底面，向地基无限远域传播，模型内部的位移响应消散。P波入射时模型的响应规律与S波入射完全一致，符合波动理论均匀介质的动力响应规律[8]。由此可以说明本文编写的粘弹性边界与地震动等效节点力的输入程序的正确性与精确性。

图4 S波入射位移响应

图5 P波入射位移响应

3 工程案例分析

3.1 计算模型

以山地地形掉层框架结构为例，分析陡坎上、下两端地震动差为山地地形结构动力响应带来的影响。如图6所示分别设置考虑土-结相互作用的模型与刚性地基假设的模型，上部结构均为4×5跨钢筋混凝土掉层框架，各向跨度均为6 m，楼层布置为坎上6层坎下2层，掉层跨数为2跨，层高为3.6 m，结构按7度 (0.15g) 设防要求来进行设计, 场地类别二类, 设计地震动分组第一组，楼面恒荷载为2.5 kN/m2(不包含自重)，活荷载为2.0 kN/m2，填充墙线荷载取8 kN/m，然后根据规范要求[8]，采用PKPM程序进行结构内力分析、荷载组合和构件配筋，完成上部结构建模后通过接口软件导入Abaqus。对于不考虑陡坎上下两端地震动差采用刚性地基的模型，直接在上部结构的底层柱端进行边界条件的设置；对于考虑上下两端地震动差而采用土-结相互作用体系的模型，进行上部结构和土体-桩基础模型的装配(采用一柱一桩基础)。构件截面及材料参数见表2(桩基础为直径1 m长度9 m的混凝土圆桩)。

(a)刚性地基假设模型

(b)土-结相互作用体系模型

表2 上部结构构件参数(梁柱桩)

地基土体长宽高分别为100 m、50 m、30 m，土体采用均质土，不考虑不同土质条件的多层土在地震波的传播过程中在各土层分层面的反复折射、反射给地震波带来的影响。为了研究不同条件的陡坎土体对上、下接地端及上部结构地震响应的影响，取3种地基土体分别进行分析，命名为土体1、2、3，陡坎高度依据结构掉层层数定为7.2 m，各土体参数如表3所示。

表3 土体参数

3.2 地震波信息

选取EL-Centro波N-S方向对结构进行分析，地震波的持时均取20 s，为研究算例在大震下的响应规律，将其幅值调整为0.2g(7度罕遇地震)后再进行输入，图7为经调幅后地震波的加速度时程曲线。

图7 地震波加速度时程曲线

3.3 大震作用下的动力响应

将刚性地基下的结构模型记为M-1,3种地基土体的土-结相互作用的结构模型记为M-2-1、M-2-2、M-2-3，为研究上、下接地端地震动输入的差异，在模型M-1各柱底端同步输入地震加速度时程，模型M-2使用本文的粘弹性人工边界及等效节点力自动施加程序在土体模型底部进行地震波的加载，各模型地震波输入完成后分别进行动力时程分析。4个模型在相同的地震波作用下的加速度峰值响应如表4所示，可以看出：①不考虑陡坎上、下地震动差的模型M-1与考虑陡坎上、下地震动差的模型M-2相比，顶层加速度增幅系数明显增大；②结构顶层峰值加速度响应最大的为采用土体1的结构模型M-2-1，其次为M-1，M-2-2的响应介于M-1与M-2-3之间，采用土体3的结构模型M-2-3响应最小；③考虑陡坎上、下端地震动差异的模型M-2中，采用土体3的模型结构M-2-3地面加速度增幅系数和陡坎地面加速度峰值响应均为最小，M-2-2次之，M-2-1最大；④3种条件的土体对地震波均有不同程度的放大作用，对于陡坎上下两端地面的峰值加速度响应，土质条件最差的土体1的响应最大，且上下两端地震动差值达到了0.42g，而土质条件最好的土体3的响应最小，上下两端地震动差为0.21g，土体2介于两者之间，上下两端地震动差为0.35g。可见在较为软弱的土体场地建立的山地地形结构进行抗震分析时，需要注意考虑陡坎土体对结构地震响应的放大效应。

表4 模型地震加速度峰值响应

对各个模型进行动力时程分析，图8为4个模型在大震作用下的最大层间位移沿楼层的分布。可以看出，各结构层间位移曲线沿楼层变化的整体规律基本相似，在坎上一层时各结构的层间位移达到了最大值，验证了山地掉层结构位于陡坎上端的上接地层为薄弱楼层的结论。采用软弱土体场地的结构模型M-2-1的各层层间位移均较大且大于其余3个结构模型，其与其他结构模型的响应差在结构的上接地层与掉层楼层更为明显。而采用土质条件相对较好的土体结构模型M-2-2的上接地层与掉层楼层的层间位移均小于M-2-1和刚性地基假设的模型，整体层间位移响应稍大于采用土体3的结构模型M-2-3。可见陡坎采用软弱土体结构时与刚性地基假设结构相对比，掉层结构在土-结相互作用下会变得更加不利，在进行结构抗震分析时需要考虑山地地形陡坎给掉层结构动力响应带来的影响，在进行结构设计时还需采取一定的构造措施来改进掉层结构的薄弱楼层。

图8 各结构最大层间位移

4 结语

本文基于粘弹性人工边界理论，编制了可以实现粘弹性人工边界与等效地震节点力自动批量施加的Matlab程序，从而实现了土-结相互作用模型地震的有效输入，提高了模型的前处理效率。将用此方法输入的粘弹性人工边界应用于山地地形掉层框架的动力响应分析，并与刚性地基假设的掉层结构做对比，可以得出结论：对于位于较为软弱的土体场地的掉层结构，陡坎对地震作用的放大效应较为明显，掉层结构的动力响应显著增大，其上接地层与掉层楼层与土质条件较好的场地结构相比较显得尤为不利，在对其进行结构设计时可采取加强接地层的非接地柱其下层的梁、柱构件和设置拉梁等措施来改善掉层结构的抗震性能。