中文中的大小数名

刘钝

[编者按]语言与数学密不可分。任何自然语言都有关于数的词语，有各自的进位系统;而且，数学作为一切科学的基础（达尔文语），定义精准，推理严密，对语言表述（尤其是学术语言）和思维有深刻的影响。本期专栏邀请了4位数学史家，从不同的角度讨论数学与语言的关系。

本文所论之大数名和小数名，指中文中对较大和较小数值单位的特定称谓，并不表示绝对的大小关系。如同其他早期文明一样，中国人对大数的认识是逐步发展的，甲骨文中最大的数词是“万”，虽然出现了“兆、京”等字，但不做数词。先秦文献中“亿”“兆”并见，但都表示“很多”而无固定的对应量级（后世儒生的注疏另作别论）。南北朝董泉所撰《三等数》，应是系统介绍大数记法的书，可惜早已亡佚。从唐代学官把它与北周甄鸾《数术记遗》并列为辅助读物来看，其内容恐与《数术记遗》有相似之处，而后书中介绍的三等数，正是万以上的大数记法，原文为：

黄帝为法，数有十等。及其用也，乃有三焉。十等者，亿、兆、京、垓、秭、壤、沟、涧、正、载。三等者，谓上、中、下也。其下数者，十十变之，若言十万曰亿，十亿曰兆，十兆曰京也。中数者，万万变之，若言万万曰亿，万万亿曰兆，万万兆曰京也。上数者，数穷则变，若言万万曰亿，亿亿曰兆，兆兆曰京也。从亿至载，终于大衍。下数浅短，计事则不尽。上数宏廓，世不可用。故其传业，惟以中数耳。

公元400年前后成书的《孙子算经》“大数之法”一节从“亿”到“载”都从万万进，相当于上述中等记数法;而“量之所起”一节从“亿”到“载”都从十进，相当于上述下等记数法。敦煌文献中有两种唐代算经也涉及大数记法：其中编号为P.3349、S.0019和S.5779的3种写经实为同一部书，介绍的是中等记数法，不同的是“载”后还有一个单位“极”（万万载曰极）;编号为S.0930的一种介绍的是下等记数法。

唐代所译佛经中又出现了许多印度数名（数词），例如实叉难陀所译《大方广佛华严经》在“万”后面就提到124个数名，第一个“洛叉”等于10万，第二个“俱胝”等于1000万，从“俱胝”开始皆按“数穷则变”的上等记数法进位，如“俱胝”个“俱胝”等于1个“阿庾多”（100万亿）。佛经所译数名大多佶屈聱牙，其中有些也被中国采用，成为汉语中的数词。元代朱世杰《算学启蒙》在“载”之后，就还有“极、恒河沙、阿僧祗、那由他、不可思议、无量数”等大数单位，大多来自佛经。

实际生活中，“亿、兆”之后的大数很少用到，两字连用的“亿兆”通常表示很大的数目。另一方面，由于古代官方数学教育承认“三等数”均合乎法度，人们对“亿、兆”的量级就难免产生困惑。举个例子，严复《论中国之阻力与离心力》中称“二万里之地，四百兆之人”，这里的“兆”相当于百万，“四百兆”就是“四万万”，其实他用的是逢十进位的“下等记数法”，即十万为亿，十亿（即百万）为兆;而我们今天所用的“亿”，则是“中等记数法”的结果，即万万为亿。

至于小数，中国古代一般借助十进制长度单位来表达，如果以尺为基本单位（相当于数字1），以下依次为“寸、分、厘、毫、丝、忽、微”。公元3世纪数学家刘徽说：“微数无名者以为分子，其一退以十为母，其再退以百为母。退至弥下，其分弥细”，建议采取十进小数表达更小的数值单位而无须给出具体名目。《隋书·律历志》记祖冲之以圆径一丈，推出“圆周盈数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽，朒数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽”，相当于给出3.1415926 < π < 3.1415927，所谓祖冲之将圆周率近似值精确算到小数点后第6位和第7位之间，其根据就在这里。

南宋秦九韶《数书九章》曾用“沙、莽、轻、清、烟”等字表示十进小数。朱世杰《算学启蒙》卷首列出大、小数名目，其小数在“微”以下还有“纤、沙”两个单位，俱为十进（退）;下面依次为“尘、埃、渺、漠、模糊、逡巡、须臾、瞬息、弹指、刹那、六德、虛、空、清、净”，都是万万进（退），例如1沙等于1万万尘，1尘等于1万万埃，等等。后面那些小数名目显然也来自佛经，不过在经文中只是表示很小的事物或很短的时间，并无精确的数值意义。

为了表达很大或很小的数目，近世普遍采用A × 10n形式的科学记数法，其中A为1～10之间的有理数，n为整数（n为正整数则全数大于1，n为负整数则全数小于1），这样大数或小数的量级就一目了然，既不需要大数或小数的专名，也无须借助分隔符来判断数目的量级。举例来说，阿伏伽德罗常数6.02214 × 1023，一看就知道是个6打头的24位数;电子的静止质量以千克计的数值为9.10938 × 10- 31，是一个小数点后连续30个0后才出现第一个有效数字9的数。

西方许多语言中都有“千、百万、十亿、万亿”等千进位的数词专名，现在通行的阿拉伯数字写法每3位用一逗号分隔的方法，就是西方人为了辨识和诵读大数而使用的一种手段。与此相应，当代许多物理单位也是根据千进原则划分量级的，如重量单位的“纳克（ng，10- 9克）、微克（μg，10- 6克）、毫克（mg，10- 3克）、克（g）、公斤（kg，103克）、吨（t，106克）”，长度单位的“纳米（nm，10- 9米）、微米（μm，10- 6米）、毫米（mm，10- 3米）、米（m）、千米（km，103米）”，等等。

人类进入数字化时代之后，计算机信息技术中用于表达存储量的单位就显得格外重要了，一些汉字被赋予新意进入我们的日常生活，但也往往给一些人带来困惑。比如说表示电子设备存储量或像素大小的“兆”，就是个百万级（106）的量，与严复的“四百兆之人”意思类似;而在其他场合，它又可能是万亿级（1012）或亿亿级（1016）的量。实际上，表达信息量的等级是按准千进原则划分的，因为进位数值210 = 1024，接近1000。信息量的基本单位是字节（Byte，简写作B），向上依次为千字节（KB，1024B）、兆字节（MB，10242B）、吉字节（GB，10243B）、太字节（TB，10244B）、拍字节（PB，10245B）、艾字节（EB，10246B）、泽字节（ZB，10247B）、尧字节（YB，10248B）……。尧字节中的“尧”字，已经代表一个很大的数词了，将其展开是1 208 925 819 614 629 174 706 176。