球形腔小孔节流空气静压轴承优化设计

李一飞， 尹益辉

(1.青海民族大学 土木与交通工程学院， 青海 西宁 810007； 2.中国工程物理研究院 总体工程研究所， 四川 绵阳 621900)

引言

空气静压支承轴承具有摩擦小、运动精度高、使用寿命长的优点，已成为超精密加工或测量设备中的主流功能单元[1-6]。在该类轴承中具有多种节流方式，其中节流小孔易于制造且具有良好的可维护性， 因此获得了最广泛的应用。对于小孔节流空气静压支承轴承，在节流小孔下游所布置气腔的尺寸、形状可直接影响轴承的力学性能，而力学性能对采用了该类轴承设备的使用性能有显著影响。因此，在设计中，通过合理的腔形状、尺寸优化设计，获取轴承的最佳力学性能，以提升超精密加工、测量设备的使用性能，具有重要的工程应用价值。

气腔形状、尺寸对空气静压轴承力学性能的影响已被广泛讨论，重点关注轴承参数对静力学性能与动力学稳定性的影响，后者包括轴承运行时的气锤激振与微振动特性。CHEN X D等[7-10]基于不同腔形讨论了轴承的静力学性能与动力学稳定性，重点分析有、无气腔以及不同气腔形状下轴承的气锤振动与微振动特性。GAO S Y等[11]考虑无腔、圆柱腔、锥形腔等不同腔形对比了轴承的承载力、刚度等力学性能。AOYAMA T等[12]研究了腔形对微振动的影响。LI Y T等[13]基于圆柱腔，分析了轴承气膜厚度、小孔孔径、气腔尺寸对微振动的影响。由分析可知，微振动是一类涡激振动，漩涡的形成可直接导致微振动的产生。对于无腔小孔节流空气静压轴承，在气膜入口位置若产生激波则可导致漩涡流动与微振动产生，而无超音速区时，轴承无微振动[14]。然而，对于带腔轴承，由于气腔提供了充足的流动发展空间，因此始终存在漩涡流动，从而始终存在微振动。微振动产生后，轴承气膜无法稳定支承被支承件，使被支承件产生纳米甚至微米级别振动，对于使用了空气静压轴承的现代超精密加工、测量设备，这种扰动已足以对设备的加工、测量精度产生不利影响[15]，因此，在轴承设计中，应削弱或消除微振动；而气锤振动的产生，则会引起强烈激振，甚至导致轴承失效[16]，因此，在设计中需要尽量削弱微振动并避免气锤振动的产生。研究证实，当采用较大容积气腔时易于产生气锤振动，而无腔时未观测到气锤激振[9,17]，因此，在设计气腔时常通过减小气腔容积避免气锤产生。然而，当气腔容积减小时会降低轴承的承载力、刚度等静力学性能，因此，在轴承设计中需要权衡静、动力学性能，选择使轴承综合力学性能最佳的气腔形状、尺寸，故有必要引入最优化设计。优化设计在轴承设计中已得到了一定运用[18]，但目前仍以静力学性能优化为主，且对腔形考虑较少。在轴承设计中引入多目标优化设计，同时考虑静、动力学性能的优化，在考虑尺寸变量的基础上进一步增加腔形形状为设计变量，必可进一步拓展设计空间，有效提升空气静压轴承的力学性能。

球形腔兼具圆柱腔与锥形腔的特点，在工程中获得了一定应用。本研究以球形腔小孔节流空气静压支承轴承为研究对象，讨论兼顾轴承静、动力学性能的优化设计方法，在优化设计中考虑腔形的形状优化与气膜厚度、小孔孔径的尺寸优化。首先，采用数值仿真分析轴承间隙的流动特性，讨论间隙流场中可能出现的流动结构；其次，基于流场分析建立优化设计数学模型，以轴承静、动力学性能综合最优为设计目标，并基于径向基神经网络方法建立用于优化设计的力学性能近似拟合模型，在不同工况下寻求最优轴承参数组合；最后，基于优化结果，针对该类轴承的力学性能进行扩展讨论。

1 轴承几何与数值仿真模型

在轴承节流小孔的下游，可视工况增加气腔，气腔的形状常选圆柱形、圆锥形、球形等。相比无腔，增加气腔可有效提升轴承的静力学性能，但气容的增加会提高气锤振动产生的风险，不利于运转稳定性，因此，腔形选取在轴承设计中至关重要，需权衡考虑静、动力学性能。球形腔气容介于圆柱腔与圆锥腔之间，相比无腔轴承，可提供更大的承载力；而相比圆柱腔轴承，其产生气锤激振的风险更低。因此，该腔形可兼顾静、动力学性能，在设计中获得了一定关注。

本研究针对球形腔小孔节流空气静压支承轴承展开研究，轴承构型及间隙流场边界设置分别如图1与图2所示， 由于流场具有旋转轴对称特性，在分析中可建立二维旋转轴对称模型以简化计算。

图1 球形腔小孔节流空气静压支承轴承构型Fig.1 Configuration of aerostatic bearing with spherical pocketed orifice-type restrictor

在力学性能分析与优化设计中，设计变量及范围分别为：小孔孔径d取0.1～0.2 mm；气膜厚度h取5～17 μm；供气压力ps取0.30～0.60 MPa。此外，球形气腔的球心位于小孔中轴线上，如图2所示，在形状优化中，球腔半径R作为优化设计变量，范围为0.2～2.0 mm。其余轴承参数尺寸包括：轴承直径D=40 mm；小孔长度l=0.5 mm；腔深s=0.2 mm。

图2 轴承流场边界示意图Fig.2 Boundary conditions of bearing flow field

在小孔入口处设置压力入口条件等于供气压，在气膜出口处设置出口压力等于大气压，对称轴处为旋转轴对称边界，轴承壁、小孔壁、止推面为绝热不可穿透壁面。在采用气腔后，轴承间隙，尤其气腔内部流动复杂，以存在大量不同尺度漩涡为特征，因此在流场分析中，采用湍流k-ε模型。

2 轴承跨音速流动特性

相比无腔，采用球形腔的小孔节流空气静压支承轴承发生微振动、气锤振动的风险更大，需要在设计中进行控制。为进行轴承力学性能的优化设计，需首先明确轴承间隙的流动特征，为优化建模提供基础。在流场特性研究中，采用数值仿真求解可压流动的连续性方程、动量方程组与能量方程，获取轴承间隙的流动状态。为验证数值仿真的准确性，采用与文献[19]实验研究中相同的轴承构型、尺寸进行对比计算，获取压力沿轴承止推面的径向分布。图3为压力分布的数值仿真、实测结果对比，图中r为止推面某点距中轴线的距离，R为轴承半径，p为止推面某点压力。由图3可见，数值仿真具有足够的计算精度。

由于气腔内流动在整个间隙流场中最为复杂，因此进行着重分析。小孔孔径0.1 mm、气膜厚15 μm，并分别取小腔半径为0.2 mm与大腔半径为2 mm，改变供气压而得到小腔和大腔流场跨音速压力、马赫数云图，如图4～图7所示。

图3 空气静压轴承压力分布仿真、实测结果对比Fig.3 Comparison between numerical and experimental results of bearing pressure distribution

由图4～图7可见，由于气腔容积远大于小孔，气流经小孔进入气腔时会形成内部射流，其后气流冲击上止推面，在止推面与对称轴相交处形成高压的速度滞止区，在其挤压下流道方向发生偏转，从而形成漩涡流动。

由图4～图7易识别漩涡中心的低压区，可见无论采用大腔或小腔，在不同供气压下均有漩涡流动形成，而漩涡流动可引起压力波动并形成微振动[14]。当采用较小气腔时，由于气腔容积较小，漩涡流动发展的空间更小；而采用大气腔时，漩涡流动发展的空间更大，故漩涡流动的影响更大，压力波动范围也更大， 但相应的，轴承承载重量也增加，可削弱微振动幅值。可见，微振动幅值需考虑漩涡流与承载重量的综合影响。当供气压增加时，气流速度逐渐增大，小孔内气流流动时边界层不断加厚，导致有效流道截面积减小，而当气流自小孔流入气腔时，射流边界外偏，又导致有效流道截面积增加，因此，有效流道截面积先减小后增加，类似于拉瓦尔喷管，形成了产生超音速流的条件。当小腔供气压为0.60 MPa，以及大腔供气压为0.45，0.60 MPa时，都产生了超音速流动。由图4c、图5c、图6b、图6c、图7b、图7c可见，当产生超音速流动后，在气腔入口附近形成了明显的膨胀波系，气流流经膨胀波，速度进一步增加，而压力减小。

图5 小腔马赫数云图Fig.5 Mach number contour of bearing with small pocket

图6 大腔压力云图Fig.6 Pressure contour of bearing with large pocket

图7 大腔马赫数云图Fig.7 Mach number contour of bearing with large pocket

由分析可知，对于球形腔小孔节流空气静压支承轴承，无论采用大、小腔或有、无超音速流动存在，在气腔中均存在漩涡流动，从而存在微振动。因此，针对该类轴承的设计，在提升静力学性能的基础上，需尽量削弱轴承微振动，并且需消除气锤振动。对于止推轴承，为避免气锤振动，一般要求气腔容积占轴承间隙总容积的比例小于2%～10%[16]；而对于带腔轴承由漩涡流动引起的微振动，在设计中可通过降低流场湍动能进行有效削弱[11-12]。基于以上认识，可进一步开展轴承的优化设计建模。

3 优化设计建模

对于空气静压轴承，需要在一定的承载条件下，具有尽可能大的刚度，并且具备稳定运转的能力，即需削弱微振动与气锤振动。因此，在优化建模中需考虑轴承的刚度、微振动、气锤振动特性。

3.1 力学性能分析的近似模型

获取轴承参数对力学性能的影响是进行优化设计的基础。对于无腔轴承，可基于雷诺润滑方程求解承载力、刚度，但由于流量连续方程的复杂性，无法获取解析解，且雷诺润滑方程假设压力、密度沿膜厚方向不变，流动为层流，在增加气腔后，这些假设不再适用。同时，基于雷诺润滑方程，也无法研究轴承的微振动等动力学特性，故需采用数值仿真方法进行流场分析，讨论轴承的力学性能。为进行轴承优化设计，需获取以轴承参数表示的力学性能解析表达式，因此首先建立轴承力学性能关于设计参数的近似拟合模型。

径向基神经网络模型在轴承力学性能的分析中获得了广泛应用，可获取高精度拟合，故本研究采用该模型建立轴承力学性能分析的近似拟合模型，模型具体形式如文献[14]优化近似模型建立部分。针对球形腔小孔节流空气静压支承轴承，基于正交试验设计理论，采用小孔孔径d、气膜厚h、腔半径R、供气压ps为设计因素，每因素各取7水平，建立正交表L49(74)，采用数值仿真的方式，共进行49组采样计算。轴承气膜刚度K定义如式(1)：

K=∂W/∂h

(1)

式中，W表示承载力。

刚度在计算中以中心差分方式获取，在优化设计中将刚度最大作为设计目标。要求轴承具有良好的动力学稳定性，则需削弱轴承的气锤振动与微振动。对于空气静压止推轴承，为避免气锤振动，一般要求气腔容积占轴承间隙总容积的比例小于2%～10%，在本研究中取2%作为设计约束；对于微振动，则通过最小化流场湍动能进行削弱[11-12]，在优化设计中，通过最小化流场最大湍动能Tk达到最小化流场湍动能的设计目标。因此，对于每个样本点，需通过数值仿真采集的力学性能包括刚度、最大湍动能与承载力，气容占比根据轴承结构的几何关系计算。

通过建立近似模型， 可获取轴承力学性能关于参数的数学模型。图8为球腔半径R为2 mm、供气压ps为0.6 MPa时，轴承气膜刚度、流场最大湍动能关于小孔孔径、 气膜厚度的变化规律。 可见刚度随气膜厚度、孔径非单调变化；而湍动能随膜厚增加而增加，随孔径减小而增加。

图8 轴承参数对力学性能的影响Fig.8 Influence of bearing parameters on mechanical performances

3.2 优化设计数学模型

在优化设计中，要求对于给定的承载力，寻求使气膜刚度最大、流场湍动能最小，且腔容积小于轴承间隙总容积2%的参数组合，属于多目标优化问题，优化目标为刚度最大与流场最大湍动能最小。为进行多目标寻优，需首先在变量设计域内，考虑无约束优化得到最大刚度Kmax与最大湍动能Tkmax，以其对设计目标进行归一化处理，将多目标优化转化为单目标优化问题，轴承优化设计的数学模型如式(2)：

(2)

式中, (K/Kmax-Tk/Tkmax)代表归一化后的优化目标，在优化设计中通过寻求其最大值获取最佳的刚度与流场最大湍动能组合；Vc与V分别为气腔与轴承间隙总容积；Wload为给定负载；x=[d,ps,R]T，为设计向量；E为设计域，即变量空间。

4 轴承优化设计

在优化中首先采用多岛遗传算法寻求全局最优点，其后以最优参数为初值并采用Hooke-Jeeves直接搜索方法，进一步寻求更精确的最优解。考虑给定负载F为100, 120, 150 N，分别进行优化设计。采用多岛遗传算法不需给定变量初值，优化结果如表1所示。通过优化，气膜刚度达到最优值，同时流场最大湍动能被极大削弱，并且气腔容积占比小于约束值，即轴承在获取最大刚度的同时削弱了微振动，并降低了气锤振动发生的风险。

对比图8、表1分析可见，在考虑多目标优化的最优值中，权衡考虑了2个目标，即获取了2个目标的综合最优解。在3组优化结果中，孔径均趋于最小值，即采用小孔径有利于使轴承获取更优良的刚度与动力学稳定性；供气压均趋于上限，虽然单纯增加供气压会提高气流速度，使湍动能增加，但同时提升了气膜刚度， 使得综合目标最优； 对于腔半径， 最优值在变量区间中，未趋于上、下限，即该变量对于力学性能具有非单调的影响，最优参数应根据工况采用最优设计得到。

表1 轴承优化设计结果Tab.1 Optimization results of aerostatic bearing

5 结论

本研究针对球形腔小孔节流空气静压支承轴承的力学性能展开分析与优化，该腔形兼具圆柱腔与锥形腔的结构特点， 可在提供优于无腔轴承承载力的同时具有相较圆柱腔轴承更优的动力学稳定性。基于流场分析讨论了该类轴承间隙内的跨音速流动特性，明确轴承间隙，尤其是腔内的流场结构；采用径向基神经网络模型建立力学性能关于轴承参数的数学模型，并基于流场分析进行优化建模；考虑轴承的静、动力学性能进行了优化设计。由分析可得到以下结论：

(1) 对于球形腔小孔节流空气静压支承轴承，微振动始终存在，故应在设计中对其进行削弱，此外，需控制气腔的容积占比以削弱气锤振动。球形腔内流动结构复杂，具有超音速流、马赫波、漩涡流动等特征。气流自小孔进入气腔形成内部射流，流道截面先减小再增加，形成产生超音速流的条件，超音速流动产生伴随着膨胀波系的形成，同时，气流冲击止推面，产生折转并形成漩涡流动，进一步使轴承产生涡激微振动。对于不同的腔尺寸，均有漩涡流动产生，故微振动始终存在，在设计中应尽量削弱。在带腔轴承的设计中还可能存在气锤激振，因此，需控制气腔在整个轴承间隙中的容积占比小于2%；

(2) 在球形腔小孔节流空气静压支承轴承的设计中引入多目标优化设计，有利于权衡静、动力学性能，进一步提升设计质量。针对轴承的设计需兼顾静、动力学性能，即在给定负载下，要求获取最大的刚度，同时尽量削弱微振动、气锤振动，为多目标优化。考虑多目标的优化设计，虽然单个目标的最优值不如相应的单目标优化结果，但可获取综合最优值。气腔半径等设计参数对于力学性能具有非单调影响，因此，在设计中有必要引入最优化设计；在不同负载下，采用较小孔径时获取了更好的力学性能，但孔径的减小会增加制造难度，在工程设计中应权衡考虑力学性能与可加工性确定合适孔径。